Уравнения совместности деформаций конечны

Конечно, можно найти такие распределения температур по системе при ее нагреве, чтобы ее деформация не сопровождалась возникновениями усилий в стержнях. Например, для показанной на рис. 4.34 фермы нагрев 3-го стержня можно сопровождать таким охлаждением 1-го и 2-го стержней, чтобы их температурные удлинения и укорочения полностью компенсировались, т.е. удовлетворяли условию (4.6.17). Тогда в ферме никаких усилий не возникнет. При решении это обстоятельство выразится в том, что уравнение совместности деформаций после перехода к усилиям станет однородным. А это вместе с однородностью уравнений равновесия приведет к единственному нулевому решению. [c.98]

Подстановка в уравнения равновесия (I) показывает, что они также тождественно удовлетворяются. (Такое напряженное состояние может существовать, если призму заменим блоком той же формы, составленным из отдельных стержней, параллельных оси Ог, в предположении, что между ними нет трения и взаимного нажатия тогда каждый стержень воспримет ту часть нагрузки, которая приходится на его концы, и напряжение Z в нем будет постоянным по длине и не будет зависеть от г при этом условия совместности деформаций конечно, не будут удовлетворены.) Остается построить общий тензор напряжений, как сумму основного (11.73) и корректирующего (11.76) от тензора (11.76) он отличается только тем, что в формуле компонента Zg добавится слагаемое F (х, у). [c.356]

Полученное решение имеет следующие особенности. В явном ви-де выделено элементарное решение теории сопротивления материалов. Каждый член полученных рядов точно удовлетворяет условию защемления правого торца панели, условию совместности деформаций ребра и прилегающей кромки пластины, а также уравнению равновесия каждого ребра. Условие отсутствия нормальных усилий на свободном левом торце панели удовлетворяется не каждым членом ряда, а всем рядом в целом. Такое удовлетворение некоторому условию можно назвать приближенным, так как при замене ряда конечной суммой, что, естественно, придется делать в практических расчетах, это условие будет выполнено приближенно. [c.83]

Подставив эти выражения в уравнения (1лд). убедимся в том, что они тождественно удовлетворяются. К ним необходимо добавить, конечно, условие совместности деформаций в декартовых координатах оно имело вид (IVn, 39) [c.187]

Истинные методы конечных элементов отличаются от подходов, в которых рассматривается разбиение масс, главным образом тем, что при разбиении конструкции жесткости элементов определяются посредством классических способов статических исследований самих элементов, а не в процессе идентификации конструкции [1.40—1.46]. На рис. 1.12, а показано несколько обычно используемых типов элементов. Каждый элемент определяется с помощью 6, 8, 16 или 20 точек или узлов, в которых задаются условия совместности для перемещений и нагрузок. Исходными переменными являются пространственные перемещения в этих узлах уравнения движения обычно записываются с помощью того или иного вариационного подхода. Энергия деформаций, вычисляемая для каждого элемента, выражается через все узловые перемещения каждому узлу приписывают некоторую массу, и кинетическую энергию выражают через узловые скорости. Поскольку разбивка на элементы производится с учетом геометрии конструкции, отпадает необходимость в процедуре задания жесткостей, а соответствующие члены уравнений вычисляются из непосредственного рассмотрения геометрии каждого элемента. Для адекватного представления сложной конструкции необходимо большое число узлов, поэтому главными вопросами в методе конечных элементов являются [c.38]

Использование уравнений пластичности, уравнений равновесия, условия постоянства объема н соотношения между обобщенными напряжением ае и деформацией ее позволяют получать величины напряжений с учетом совместного влияния основных технологических факторов. Неизвестные величины Е(, Sp, о , Oj,t определяются в конечном числе точек заготовки. Для этого рабочая часть заготовки разбивается на п колец одинаковой ширины. В качестве меры деформаций используются истинные (логарифмические) деформации. [c.51]

Рассмотрим двусвязное тело, изображенное на рис. 1.2, и сведем его к односвязному с помощью барьерной поверхности Q. Выберем произвольный замкнутый контур С, начальная (i) и конечная (/) точки которого лежат на 2. Применяя уравнения (i) и (ii) задачи 4 к контуру С, докажите, что даже если деформации тела являются непрерывными и удовлетворяют условиям совместности (1.15), то [c.46]

Чтобы удовлетворить граничным условиям, надо использовать уравнения (3.74), предварительно найдя с их помощью деформации при вычислении выражений (3.41) для компонент напряжения и з г, которые должны обращаться в нуль на поверхности цилиндра, где г— а. Это приводит к трем совместным уравнениям, из которых можно исключить Л, 5 и С (эти уравнения можно записать так, что они будут содержать только две постоянные, например Л/Б и Л/С), и затем вывести уравнение частот. Ляв установил, что, как и в случае продольных волн, решения не описывают точно свободные изгибные колебания цилиндра конечной длины, так как условия, что [c.70]

Как известно [15], эффект памяти формы инициируется не только фазовой деформацией рассматриваемого типа (т. е. пластичностью прямого превращения), но и деформацией мартенсита, происходящей его двойникованием, потому в уравнениях (1.50), (1.53) вторые слагаемые в общем случае должны содержать не множитель а сумму типа (оР + Рд.)Ф , где оР вычисляется согласно (1.36) — (1.38) путем совместного решения этих уравнений и (1.43) — (1.50). Следует, конечно, учитывать, что при произвольных вариациях температуры пластичность двойникования мартенсита р согласно (1.51) должна вычисляться с учетом парциальной его доли [c.26]

Дальнейшее развитие метода конечных элементов связано с так называемым гибридным методом напряжений. Для каждого элемента применяются формулы для напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия элемента. Независимо от этого выбираются формулы для перемещений, обеспечивающие совместность перемещений на границах элементов, причем распределение перемещений на границах должно однозначно устанавливаться по перемещениям узловых точек. При вариационной формулировке оперируют принципами минимума потенциальной энергии и минимума дополнительной энергии деформации или расширенным вариационным принципом (привлекается модифицированный принцип дополнительной энергии Пиана [44, 45]). [c.140]

Наша задача заключается в определении Х и К, как функции от х, у из следующих условий 1) диференциальное уравнение (2) должно удовлетворяться в каждой точке поперечного сечения 2) условие (3) должно выполняться во всех точках контура этого сечения 3) напряжение иа конечном сечении (г = 7) должно быть статически эквивалентно силе Ш, которая параллельна оси х и приложена в центре тяжести сечения 4) напряженное состояние, для которого Х = У = Х = 0, определяются по формуле (1), должно быть таким, чтобы выполнялись условия совместности для компонентов деформации ( 17). [c.346]

Рассмотрим общую теорию оболочек симметричной по толщине структуры. Для развития теории трехслойных оболочек существенное значение имели исследования Э. Рейсснера по теории упругих плоских пластин конечного прогиба. Определяя деформации с точностью до квадрата угла поворота, считая несущие слои мембранами, работающими при конечных прогибах а заполнитель — воспринимающим только малый поперечный сдвиг, несжимаемым в поперечном направлении и присоединен ным к срединным поверхностям несущих слоев, он получил совместную систему дифференциальных уравнений относительна прогиба W, силовой функции плоской задачи F и функции по- [c.70]

В теории упругости имеются три системы соотношений (1) дифференциальные уравнения равновесия (2) соотношения, связывающие деформации с перемещениями, и условия совместности (3) уравнения состояния материала. Для любого тела, имеющего конечные размеры, системы (1) и (2) дополняются граничными условиями. В данной главе выводится каждое из этих соотношений, а затем в общих чертах показано, как нз совокупности указанных соотношений получить определяющую систему уравнений. В заключение приводятся некоторые замечания, касающиеся вопроса единственности решения задач упругости и его значимости для метода конечных элементов. [c.107]

Рассмотрим особенности применения метода конечных разностей в плоской задаче на примере использования функции напряжений (см. 4.4). В этом случае задача сводится к решению уравнения совместности деформаций в виде бигармо1гического уравнения [c.235]

Если уравнения совместности деформаций не удовлетворяются (шесть функций деформации не обращают уравнения совместности в тождество), то деформируемое тело в конечном состоянии уже не заполняет часть пространства наблюдателя сплошным образом. Пространство I , состоящее из точек деформируемого тела, в конечном состоянии не является непрерывным, имеет зазоры , а потому не является евклидовым. Действительно, в этом случае декартову систему координат можно ввести только в пределах каждой отдельной частицы, на которые распалось деформируемое тело, поскольку зазоры между частицами принадлежат пространству наблюдателя, а не пространству . Следовательно, уравнения совместности деформаций можно получить из условия принадлежности начального и конечного состояний сплошной среды (деформируемого тела) евклидовому пространству. [c.83]

Поскольку шесть компонентов деформациий и искривлений выражаются с помощью дифференциальных операций по криволинейным координатам через три компонента вектора перемещения w точки серединной поверхности, они должны удовлетворять уравнениям совместности деформаций. В общем случае уравнения совместности можно выразить только через силы Т и моменты М, но в случае (4.83) они будут содержать ещё одну функцию координат е ,. Таким образом дифференциальных уравнений равновесия и условий совместности деформаций будет недостаточно для определения сил Гц Гд, Т 2, моментов Лi , Мд, М12 и неизвестной функции е . Недостающим уравнением и будет конечное соотношение (4.70 ) между силами и моментами. В виду того, что это соотношение не дифференциальное и из него следует, что силы и моменты и даже их квадратичные формы Ql, Q , Q ограничены по величине, ясно, что при произвольных внешних силах равновесие оболочки невозможно. [c.181]

Если величины ссц постоянны, то распределение температуры, линейно зависящее от координат, не вызывает напряжений в теле. Действительно, уравнения совместности содержат только вторые производные от компонент деформации, следовательно, они будут удовлетворены тождественно, если ец = е] представляют собою лпнеппые функции от х Конечно, при этом предполагается, что поверхность тела не закреплена, в противном случае может оказаться, что перемещения, соответствующие данной системе деформаций и определенные по формулам Чезаро ( 7.3), окажутся недопустимыми вследствие граничных условий тогда в местах закрепления возникнут реактивные силы, которые вызовут напряжения в теле. [c.385]

Сравнение расчетов с экспериментами. В работе [31] для определения деформаций и напряжений во фланцевом соединении сосудов без нажимных колец использовались также два расчетных метода. Приближенный метод осуществлялся путем разбиения фланцевого соединения на базисные элементы - кольца, оболочки, балки. Поперечные силы и моменты в местах их соединений определялись из уравнений равновесия и совместности деформаций. Второй подход использует метод конечных элементов, для чего применялась программа MAR для ЭВМ /5Л/-370. Наличие в программе специальных люфтовых элементов позволяет моделировать нелинейную контактную задачу, связанную с локальным смыканием и (или) раскрытием зазора между поверхностями фланцев и проклад- [c.153]

Ввиду сложности уравнений, описывающих деформацию нетонких оболочек переменной толщины, затрудняющих их аналитическое исследование, поставленные задачи следует решать применяя численные методы, в частности метод конечных разностей. Целесообразно использовать совместно метод конечных разностей и аппарат тензорного анализа, позволяющие описывать в общем виде геометрию деформируемой поверхности. Это позволяет произвольно выбирать очертание разностной сетки, ее густоту, учитывать ее изменение в процессе деформации. [c.172]

Несущей способностью оболочки называется то предельное значение внешних сил, при котором внутренние силы Т и моменты М удовлетворяют конечному соотношению (4.70 ), уравнениям равновесия, условиям совместности деформаций и граничным условиям. В некоторых частных случаях благодаря конечному соотношению задача о равновесии становится статически определимой и не требует условий совместности деформаций. Тогда вопрос о несущей способности оболочки решается сравнительно просто. Он ещё более упрощается, если силы и моменты могут быть выражены через внешние силы только с помощью уравнений равновесия, что имеет место, например, в безмоментной теории оболочек в таком слу,чае конечное соотноще ние (4.70 ) определяет несущую способность. [c.181]

Для нелинейных тензоров деформаций efjt, sfj аналога уравнений (3.77) совместности линейных деформаций не установлено. Условия совместности в случае конечных деформаций представляют собой более сложные нелинейные соотношения, [c.75]

В работе [Р.67] развивается далее метод расчета неоднородного поля скоростей и высших гармоник нагрузок. При этом аэроупругие деформации лопасти, в частности зависимость угла взмаха р от азимута ip, определяются одновременно с интенсивностью присоединенного вихря. Как известно, в уравнения движения лопасти входят члены с первой и второй производными по времени. Для интересующего нас периодического решения эти производные могут быть выражены через коэффициенты разложения в ряд Фурье соответствующих смещений. Указанные коэффициенты выражаются в свою очередь через значения смещений в конечном числе точек по азимуту. Таким образом, уравнения движения лопасти преобразуются в систему линейных алгебраических уравнений относительно смещений в ряде точек по азимуту. Поскольку алгебраические уравнения для циркуляции и движения лопасти связаны между собой, для определения Г(г/, ijji) и P(ij3/) требуется совместное их решение. Авторы [c.666]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Уравнения (4.78) согласуются с результатами более чем 2000 опытов по анализу напряжений и деформаций при элементарных деформациях для 28 различных отожженных материалов. Как будет показано ниже, уравнения (4.78) также описывают данные экспериментов, полученные для полностью отожженного алюминия при совместном растяж нии и кручении при сложном нагружении, когда вслед за простым растяжением происходит кручение при постоянном уровне растяжения. Совсем недавно ряд опытов по растяжению и кручению образцов из полностью отожженных меди и алюминия при сложном нагружении, поставленных так, чтобы обеспечить более строгий контроль пригодности уравнений i) (4.78), показал, что эти уравнения являются одной из общих форм модифицированных определяющих уравнений теории течения. Коэффициенты поликристалличности и поверхности нагружения определяются по-прежнему уравнениями (4.74) и (4.75). Конечно, для всех случаев простого нагружения уравнения (4.77) и (4.78) описывают поведение образцов из полностью отожженных меди и алюминия. [c.344]

Знак — в полученных для Rq и выражениях свидетельствует о том, что истинные направления этих реакций не соответствуют направлениям, принятым при составлении уравнений равновесия всего бруса (4.6.8) и его частей (см. рис. 4.33). В нашей задаче нетрудно, конечно, угадать истинные направления реакций, так как, стремясь расшириться при нагреве, брус упирается в опоры, реакции которых создают в нем сжимаюш ую силовую деформацию, компенсируюш,ую температурное расширение. Но в более сложных системах это сделать иногда очень трудно. Наш пример показывает, что в этом и пет необходимости, так как знак у полученной в результате решения реакции покажет, совпадает ли истинное ее направление с принятым при составлении уравнений равновесия и совместности. [c.96]

В реальных условиях перечисленные случаи обтекания встречаются как в отдельности, так и в различных сочетаниях. Чтобы определить характеристики во всех точках потока, обтекающего поверхность, необходимо при заданных граничных условиях рещить уравнения Навье-Стокса для ламинарного или уравнения Рейнольдса для турбулентного потоков совместно с уравнением неразрывности и с учетом гипотез относительно связи тензора напряжений с тензором скоростей деформации. Решение этой задачи затруднительно, и конечный результат может быть получен лишь для ряда простых случаев. [c.74]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

На основании экспериментальных исследований представляется возможным разбить очаг деформации на четыре участка, как это представлено на фиг. 81, а, и рассматривать условия равновесия бесконечно малого элемента дес рмируемого объема в каждом из них. Решая дифференциальные уравнения равновесия совместно с уравнениями пластичности, соответствующими данному виду напряженно-деформированного состояния и используя граничные условия на каждом из сопряженных участков, можно решить задачу в замкнутом виде с установлением характера и величины напряжений в любой точке очага деформации. Знание закона распределения главны. напряжений по сечению деформируемого объема обеспечивает возможность решения ряда практических вопросов, к числу которых в первую очередь относится определение усилий, потребных для выполнения данной операции, а также определение напряжений в опасных местах рабочего инструмента. Наряду с этим, оказывается возможным проанализировать влияние основных технологических факторов на величины напряжений, возникающих в конечный момент деформирования и тем самым принять меры для создания оптимального силового режима при выполнении данной операции. [c.145]

Взаимосвязь деформаций крыла и аэродинамической нагрузки привела к необходимости совместного решения задач аэродинамики и упругости. Было получено интегро-дифференциальное уравнение прямого упругого крыла и разработаны основы теории упругого крыла конечного размаха (Я. М. Серебрийский, 1937 г.). Теория упругого крыла дала возможность рассчитать реверс элеронов (1938 г.), т.е. определить условие обращения в нуль момента крена за счет кручения крыла от дополнительных аэродинамических сил при отклонении элерона. При рассмотрении несимметричного нагружения крыла от элеронов было введено понятие дивергенции второго рода, соответствующей антисимметричному нарушению условий равновесия. В случае стреловидного упругого крыла существенное влияние на аэродинамику оказывают также деформации изгиба. [c.285]

В механике твердого тела при формулировке определяющего уравнения в терминах деформаций, а искомого решения—в терминах перемещений стало обычным описывать поле перемещений как совместное, если перемещения меняются непрерывно по области в таком случае деформации кусочно-непрерывны. Это определение было перенесено в область конечных элементов для того, чтобы описать представление пробной функции, непрерывной в области. Более общий термин согласованность использовали, по-видимому, впервые в 1965 г. [II] Бэйзели, Ченг, Айронс и Зенкевич [12]. Пробная функция рассматривается как согласованная, если переменная н ее производные вплоть до порядка р — I непрерывны при переходе через границу между элементами, где р —порядок самой высокой производной, содержащейся в функционале. [c.172]

Идея МКЭ и алгоритм решения задачи о напряженно-деформированном состоянии с помощью МКЭ демонстрируются в гл. 1 на примере элементарных задач об осевой деформации стержня. Далее МКЭ излагается в гл. 2—6 применительно к задачам теплопроводности и термоупругости, причем выбор рассматриваемых в книге типов конечных элементов обусловлен конфигурацией таких подлежащих исследованию деталей тепловых двигателей, как поршни и цилиндровые втулки дизелей различного назначения. Параллельно с изложением алгоритма МКЭ демонстрируются реализующие эти алгоритмы программные модули комплекса, созданного автором и предназначенного специально для расчета деталей тепловых двигателей. Программы и программные комплексы записаны на языке Фортран, так что книга предполагает знакомство читателя с этим алгоритмическим языком. В книге большое внимание уделено вопросам рационального использования всех ресурсов ЭВМ и эффективной организации всего процесса вычислений при решении больших по размеру прикладных задач приводятся программы вычисления матриц жесткости, инвариантные к виду конечного элемента. В 1л. 7—8 приводится компактная схема организации формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ, подробно излагаются приемы организации исходных данных, опыт реализации с использованием периферийной памяти схем метода Холецкого и метода сопряженных градиентов для решения больших систем уравнений МКЭ, С помощью разработанных программных комплексов автором выполнены исследования температурных полей и напряженно-деформированного состояния ряда деталей тепловых двигателей. Результаты этих исследований приведены в гл. 9—10 книги. В. Н. Николаевым написан п. 5 гл. 9, гл. 10 — совместно с канд. техн. наук М. В. Се-менченко. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...