Особенности лагранжевы

Теперь мы можем сформулировать классификационную теорему для особенностей лагранжевых отображений в размерностях тг 5. [c.421]

Возникающие здесь особенности — лагранжевы. Их каустики— места скопления частиц (плотность там бесконечна). Если исходное поле о общего положения, то каустики (почти в любой момент времени) будут иметь стандартные особенности. Например, в трехмерном пространстве это — ребра возврата, ласточкины хвосты, кошельки и пирамиды. [c.105]

Следующие примеры симплектических структур на пространствах многочленов очень важны, поскольку они дают нам полезные нормальные формы особенностей лагранжевых и лежандровых многообразий. [c.10]

Определение 4 [лагранжевы особенности). Лагранжева особенность есть росток лагранжева отображения, рассматриваемый с точностью до лагранжевой эквивалентности. [c.26]

Похоже, что эти особенности лагранжевых отображений слишком слабы, чтобы разрушить топологию каустик и их перестроек. Тем не менее, даже в одномерном случае, это предположение строго не доказано (см. [70], [71]).] [c.44]

Индекс ориентированного вооружённого одномерного фронта связан с индексом Маслова кривой на лагранжевой поверхности (являющимся, по определению, индексом пересечения с циклом особенностей лагранжевой проекции). [c.123]

Рассмотрим особенность типа сборка лагранжевой проекции поверхности на плоскость. В некоторой окрестности такой особенности лагранжева поверхность задаётся производящим семейством (см. [28]) Р х,д) формулами [c.146]

Особенности лагранжевых многообразий, определённых таким образом, очень специальны это особенности лагранжевых подмногообразий особой гиперповерхности касательных лучей . [c.207]

Задача об обходе препятствия привела к раскрытому ласточкину хвосту — особенности лагранжева многообразия лучей, срывающихся с поверхности препятствия, в симплектическом пространстве всех лучей. Раскрытый ласточкин хвост описывает также особенности двух типов лежандровых многообразий первое из них образовано контактными элементами фронта, второе — 1-струями многозначной функции времени ( 7.2). [c.234]

В 7.3 мы изучили многомерные раскрытые ласточкины хвосты, используя геометрию пространств многочленов и бинарных форм. Сейчас мы будем использовать результаты предыдущих двух параграфов для объяснения того, почему многообразия многочленов с корнем большой кратности описывают особенности лагранжевых и лежандровых многообразий в многомерных вариационных задачах с односторонними ограничениями. [c.234]

Особенности лагранжева и эйлерова методов описания движения сплошной среды продемонстрируем на примере установившегося движения жидкости (рис.3.6), при котором траектория и линия тока совпадают. [c.34]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1). Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, заключающееся в том, что правые части уравнений (1 ), (2 ) можно выразить посредством одной единственной функции от р, q, t, называемой функцией Гамильтона i) или характеристической функцией, так что система первого порядка (1 ), (2 ) с формальной точки зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева система, зависящая от одной только функции 2 ). Функция Гамиль- [c.240]

Общий интеграл в динамическом случае. Вернемся временно к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из динамической задачи о движении голономной системы, в которой параметры q являются лагранжевыми координатами, основной целью будет определение изменения координат q в функциях от / и постоянных интегрирования. [c.302]

Квазикоординаты. Лагранжевы координаты обладают тем свойством, что переменные х являются явными функциями от g и i. Весьма удобно, особенно в случае неголономных систем, ввести координаты более общего [c.214]

Наконец, необходимо указать, что вне классической механики, особенно там, где отыскиваются уравнения поля, а не уравнения движения в точном смысле слова, теряет смысл характерное для классического принципа Гамильтона разделение на кинетическую и потенциальную энергию. Здесь речь может идти о лагранжевой функции, зависящей от некоторых координат , их первых производных и времени. Возможность разделения лагранжевой функции на две функции Т = Т(д, ( ) и V = У(д, I) отнюдь не является существенной и не имеет общего значения в физике. [c.867]

Монография написана, на наш взгляд, методически чрезвычайно удачно, вполне строго и вместе с тем достаточно просто. На основе традиционных концепций однородного напряженно деформированного состояния выясняются наиболее существенные особенности механического поведения вязких, упругих и высокоэластичных сред и предлагается оригинальный, сравнительно несложный метод формулирования соответствующих уравнений реологического состояния. Автор обходится элементарным математическим аппаратом векторного исчисления и системами лагранжевых координат с подвижным локальным векторным базисом (так называемые конвективные системы координат). Тем самым он облегчает неподготовленному читателю усвоение материала, добиваясь в первую очередь физической ясности изложения. Математически строгая постановка и анализ исследуемых задач в случае неоднородных напряжений и деформаций даются лишь в главе 12, где с помощью тензоров кратко излагается теория конечных деформаций в вязко-эластичных средах. Правда, здесь изложение слишком уж конспективно, и многочисленные доказательства , как правило, сводятся к перечню [c.7]

При расчете вихревых течений используются различные методы. В последние годы все шире развиваются подходы, основанные на прямом численном решении уравнений Навье - Стокса. Как вариант таких подходов можно рассматривать и метод решения двумерных задач в переменных функция тока - завихренность . В случаях локализованной завихренности, особенно при больших числах Рейнольдса, когда влияние вязкости на динамику завихренности мало, с успехом используются вихревые методы, основанные на лагранжевом подходе к описанию движения жидкости. [c.320]

Нелинейная теория ряби Фарадея была впервые построена в работе [17] на основе модели идеальной жидкости. В ней довольно полное исследование нелинейных аспектов параметрически возбуждаемых волн проведено на основе лагранжева подхода. При таком подходе учет диссипативных эффектов затруднителен, поэтому в [17 вязкость либо не учитывалась, либо вводилась модельным образом в предположении, что вязкая сила, действующая на жидкую частицу, пропорциональна ее скорости. В работах [18, 19] подобная методика применялась для волн в стратифицированных средах. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [20-25] и других работах. Отличительной особенностью цитированных работ является либо полностью невязкий подход, либо феноменологический учет вязкости. [c.24]

Первая особенность критической системы — невозможность выбора обобщенных лагранжевых координат на многообразии 8 ) (естественно, что в окрестности точки О невозможен выбор даже локальных координат). [c.324]

Особенно полезна такая форма I лагранжева и эйлерова тензоров конечных деформаций, когда эти тензоры представлены в виде функций градиентов перемещения. Тогда, если дх дХ, из (3.24) подставить в (3.37), то после некоторых простых алгебраических преобразований лагранжев тензор конечных деформаций примет вид [c.119]

Нетрудно видеть, что при наличии I дополнительных ограничений порядок системы (193) увеличивается на I, т. е. вместо N неизвестных появляется + / неизвестных. Если вместо введения дополнительных неизвестных мы вначале исключим из числа варьируемых I постоянные, то число неизвестных будет только N — I. Таким образом, введением Лагранжевых множителей число неизвестных (порядок системы) увеличилось на 21. Однако такое увеличение часто выгоднее, чем операции исключения, особенно в тех случаях, когда значения Л определяются из решения системы при помощи ЭЦВМ. [c.103]

Возникающие таким образом лежандровы особенности можно описать аналогично лагранжевым (см. добавление 12). Лежандрово расслоение в 2п 1-мерном контактном многообразии — это расслоение, все слои которого — лежандровы п-мерные многообразия. Лежандровы особенности — это особенности проектирования п-мерных лежандровых подмногообразий 2п -Ь 1-мерного контактного многообразия на п -Ь 1-мерную базу лежандрова расслоения. [c.333]

Подставим в формулы предыдущей теоремы в качестве 5 функции из списка простейших лагранжевых особенностей, приведенного в добавлении 12. Получатся лежандровы особенности, сохраняющиеся при малых деформациях лежандрова отображения х, у, г) ь- - (у, г) (т. е. переходящие в эквивалентные при малой деформации функции 8). Всякое лежандрово отображение при тг < 6 малым шевелением превращается в такое, у которого все особенности локально эквивалентны особенностям полученного списка (1 /с < 6), (4 < /с 6), JБg. [c.334]

Теперь индекс Маслова ориентированной кривой на лагранжевом многообразии определяется как число переходов с отрицательной стороны многообразия особенностей на положительную [c.412]

Собственные функции, соответствующие этим собственным числам, также связаны с лагранжевым многообразием, но эта связь не так проста. В действительности удается написать не асимптотические формулы для собственных функций, а лишь формулы для функций, приближенно удовлетворяющих уравнению собственных функций. Эти функции оказываются малыми вне проекции лагранжева многообразия на конфигурационное пространство. Асимптотические формулы имеют особенности вблизи каустик, образующихся при проектировании. [c.415]

Добавление 12 ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ [c.415]

Эти линии, как и омблические точки в предыдущем примере, бывают нескольких различных типов. Их классификацию (для типичных полей эллипсоидов) можно получить из классификации особенностей лагранжевых проекций, приведенной в добавлении 12. [c.397]

Каустики интерпретируются при этом как особенности проекции лагранжева многообразия, задающего семейство лучей, из фазового пространства в конфигурационное. Таким образом, нормальные формы особенностей лагранжевых проек1щй, приведенные в добавлении 12, доставляют, в частности, классификацию особенностей каустик, образованных системами лучей общего положения . [c.408]

При учете гравитационного взаимодействия между частицами многообразие в фазовом пространстве, задающее поле скоростей, остается лагранжевым, но теряет гладкость. Каустики соответствующих лагранжевых отображений, по-ви-димому, мало отличаются от обычных, но это доказано пока лишь для простейших особенностей. Например, над складкой лагранжева отображения на других листах многопотокового поля образуется слабая (полукубическая) особенность лагранжева многообразия. Сама складка при учете гравитационного [c.105]

Оптические лагранжевы подмногообразия образуют довольно узкий подкласс в классе всех лагранжевых подмногообразий. Тем не менее, все устойчивые особенности лагранжевых отображений допускают оптическую реализацию. Более того, типичные оптические лагранжевы особенности совпадают с типичными (произвольными) лагранжевыми особенностями (см. [79], [199], [200] и результаты И.А.Богаевского, 1989). [c.49]

Примеры голодомяых систем. 1нсло степеней свободы го-лономноп системы, по определению, равно числу соответствующих (независимых) лагранжевых координат. На практике, когда внимание фиксируется на системе данной материальной структуры, всегда нетрудно непосредственно выяснить, представляет ли она собою голономную систему для этого достаточно исследовать, определяются ли ее конфигурации в произвольно взятый момент определенным конечным числом независимых параметров. Если это имеет место, то такое число непосредственно определяет число степеней свободы системы. Этот критерий мы применим к некоторым особенно простым типам голономных систем. [c.275]

Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная — волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения — как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущен и1. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход 2s-Mepnoe (р, (7)-простраиство в статистической механике называется фазовым пространством. [c.126]

Методы экспериментального исследования перемешивания теплоносителя в поперечном сечении пучка витых труб на стационарном режиме были рассмотрены в работе [39]. Это — классические методы исследования переносных свойств потока методы диффузии тепла (вещества) от точечного источника, непрерьшно испускающего нагретые частицы воздуха (или газа другого рода) в основной поток, и метод диффузии тепла от линейного источника, трансформированные с учетом особенностей течения в пучке витых труб, а также его конструкции. При этом для проведения экспериментов и обработки опытных данных использовалась гомогенизированная модель течения. Измерения полей температуры и скорости потока проводились вне пристенного слоя, а теоретически рассчитанные поля температуры теплоносителя и скорости потока бьши непрерьшны в пределах диаметра кожуха пучка. При этом считалось, что в пучке течет двухфазная гомогенизированная среда с неподвижной твердой фазой. При исследовании эффективного коэффициента турбулентной диффузии в прямом пучке витых труб первым методом диаметр источника диффузии бьш равен диаметру витой трубы с , а сам источник перемещался относительно выходного сечения пучка, гделроизво-дились измерения полей скорости. Однако эти отклонения от известного метода диффузии не стали препятствием для использования понятия точечного источника в пучке витых труб при достаточно больших расстояниях от него, где измеренные поля температур практически не отличались от гауссовского распределения [39]. Этот метод, основанный на статистическом лагранжевом описании турбулентного поля при изучении истории движения индивидуальных частиц, непрерьшно испускаемых источником, используется в данной работе и для определения эффективных коэффициентов турбулентной диффузии в закрз енном пучке витых труб, но при неподвижных источниках диффузии. [c.52]

В рамках динамич, подхода удаётся объяснить и происхождение пространственно-неупорядоченного движения. При этом исходным является тот очевидный для теории динамич. систем факт, что движение индивидуальных жидких элементов, удовлетворяющее ур-нию dxjdt u(x, г), где и(х, t)—поле скорости, удовлетворяющее ур-нию Навье—Стокса, может быть хаотическим, даже если скорость и(х, г) регулярна. Такое неупорядоченное движение обычно называют лагранжевой Т. При подходящих условиях в системе, к-рая демонстрирует лагранжеву Т., может развиться и Т. поля скорости. В частности, полевые ур-ния (не только гидродинамические) в ряде случаев могут быть преобразованы (без приближений) в многочастичвую задачу для нек-рого класса решений. Роль частиц здесь играют особенности самого поля или сформированные им локализованные структуры, напр, вихри. Хаотич. движение таких частиц и есть, собственно, пространственно-временной беспорядок. [c.183]

Пусть определены траектории граничных точек звена некоторого пространственного стержневого механизма в результате его кинематического анализа в пространственных координатах (рисунок). Пусть траектория граничной точки А звена АВ определена вектор-функцией рл = рл (ф) и точки В — вектор-функцией рв = рн (ф), где ф — координата перемещения ведущего звена рассматриваемого механизма в той же системе координат. Заметим, что в случаях, когда движение механизма определяется лишь одной лагранжевой координатой, положения точек А т В для данной сборки механизма взаимно-однозначны, если он лишен особенностей. Наличие особенностей, нанример, равенство длины шатуна четырех-шарнирника значению ее функции двух переменных углов поворота вращающихся звеньев в гиперболических точках, исключает упомянутую [c.77]

Существенной особенностью книги является использование наряду с прямоугольными декартовыми и общих криволинейных координат. Это связано с тем, что при изучении движения материальных сред необходимо пользоваться двумя системами координат системой координат наблюдателя и лагранжевой системой (сопутствующей системой координат), которая составляет единое целое с рассматриваемым телом, движется, деформируется вместе с ним и является поэтому криволинейной и кеортогональной. Изучение деформации тела по сути сводится К изучению деформации сопутствующей системы координат, что позволяет выявить историю деформирования частиц тела и проследить за изменением их механических и физико-химических свойств. Здесь уместно привести слова академика Л. И. Седова Некоторые думают, что механику подвижных непрерывных материальных сред без существенного ограничения общности можно строить при помощи только одной и притом декартовой системы координат. Эта точка зрения, отраженная в некоторых книгах и искренне внедряемая в сознание учащихся, неверна и мешает пониманию сущности механики и постановок ее задач [12, с. 493]. [c.5]

Особенности применения метода конечных элементов при расчете процесса изостатического прессования. Сисгему порошок — капсула в меридиональном сечении разобьем на п +1 частей по радиальному направлению и w+1 частей по осевому. Получим т-п конечных элементов. Верпшне каждого элемента поставим в соответствие пару целых чисел к, I), где к п + , 1 т+. Числа (к, I) являются лагранжевыми координатами вершины. Этими же числами будем обозначать конечный элемент, расположенный правее и выше рассматриваемой вершины. На рис. 51 этот элемент заштрихован. Все величины, относящиеся к элементу (к, I), будем отмечать индексами к, /. [c.140]

Здесь уместно отметить, что данная дискретная модель (равно как и другие нелинейно-диснерсионные модели) из-за учета дисперсии обладает сугцественно более п1прокой областью применимости, чем обычные уравнения мелкой воды. Тем самым она пригодна для сквозного расчета распространения и наката на берег длинных волн, с учетом их трансформации на неровном дне. Отметим егце, что нри лагранжевом подходе не возникает сложностей с граничными условиями на линии уреза, особенно характерным для моделей с дисперсией. [c.69]

Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже хиагаи, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...