Индекс пересечения

Соединяем точки 7 плавной кривой. Точка 7 (без индекса) пересечения с прямой 1—3 определяет величину коэффициента эжекции и. Находим [c.162]

Доказательство. Начнем с доказательства того факта, что асимптотический индекс пересечения (см, замечания после теоремы П 5.2) любых двух плотных орбит такого векторного поля равен нулю. Для этого возьмем некоторую трансверсаль и для любых двух орбит рассмотрим отрезки, начинающиеся и оканчивающиеся на трансверсали и пересекающие трансверсаль п раз. Используем конструкцию асимптотического цикла, замыкая орбиты трансверсальными отрезками, и замкнем эти два отрезка орбит отрезками трансверсалей, соединяющих их концы. Порядок длин возникающих в ре льтате кривых равен п. Они могут пересекать друг друга не более чем йп раз, а именно на трансверсали, так что порядок числа их пересечений после нормализации по длине равен 2п/п , откуда следует, что предел на самом деле равен нулю. Таким образом, все плотные орбиты содержатся в -мерном лагранжевом подпространстве (симплектической) формы пересечения (см. замечания после теоремы П 5.2). [c.491]

Индекс самопересечения каждой компоненты С равен —2. Попарные пересечения описываются графом, в котором вершины соответствуют компонентам вершины соединяются или не соединяются ребром, если индекс пересечения соответствующих компонент равен 1 нли 0. В результате появляются следующие графы [c.29]

Замечание. Индекс пересечения (VоД) = 1, индекс самопересечения цикла Д зависит от размерности п и равен [c.58]

И) для положительной и отрицательной образующих индекс пересечения равен числу общих сторон соответствующих областей со знаком минус. [c.76]

Простые особенности и группы Вейля. Пусть f — эллиптическая особенность (п. 3.5). Тогда индекс пересечения (со знаком минус) определяет структуру евклидова пространства на (число переменных л=3(4)), группа мо- [c.136]

Теорема ([53]). При т=р класс Эйлера е(Е ) является образующей группы Я " ( —S, Z) он равен индексу пересечения с надлежащим образом ориентированным множеством таких точек ЯбС" —S, что все корни полинома F -,K) имеют одинаковые вещественные части. [c.149]

Параболические и гиперболические особенности ([148],. [149]). В этом пункте мы рассматриваем лишь особенности четной размерности /п>0. Их индекс пересечения — квадратичная форма. Пусть х+ и (X- — положительный и отрицательный индексы инерции этой формы на Я К, 1о — размерность ее ядра. Положим е= (—1) . [c.35]

Здесь по-прежнему V — индекс пересечения у с л о=0. [c.79]

Если М — ориентированное Л/"-мерное многообразие, то для любого I индекс пересечения циклов корректно определяет [c.208]

В следующей теореме используются следующие стандартные обозначения <-, > — индекс пересечения в многообразии Vt относительно его комплексной ориентации, х( )—эйлерова характеристика, — -мерная сфера. Цикл, исчезающий над критическим значением а, будем обозначать Д , г—то же,, что в условии. В выше. [c.222]

Индекс ориентированного вооружённого одномерного фронта связан с индексом Маслова кривой на лагранжевой поверхности (являющимся, по определению, индексом пересечения с циклом особенностей лагранжевой проекции). [c.123]

Например, класс Аг индуцирует индекс Маслова кривых на лагранжевых подмногообразиях. Индекс пересечения с трансверсально ориентированным многообразием особенностей типа Ае определяет пятимерный класс когомологий на лагранжевых подмногообразиях в Т У. [c.127]

Обобщение этого результата Алексеева, найденное В.А.Васильевым, описывает пересечения одномерного страта фронта с самим фронтом. Обозначим через Н взятое по модулю 2 число точек пересечения фронта с замыканием страта Н, минус индекс пересечения этих же объектов в Ез-гомологиях объемлющего пространства. Тогда (см. [115]) [c.130]

Постоянство индексов U и I, при непрерывной деформации контура следует из общей топологической теоремы о гомологической инвариантности индекса пересечения, о чем речь пойдет в конце этого параграфа [c.76]

Каустический индекс /с(Г), как непосредственно следует из его определения, является индексом пересечения (Кронекера — Пуанкаре) одномерного ориентированного цикла Г и двусторонне лежащей в многообразии каустики. Из хорошо известной топологической теоремы о гомологической инвариантности индекса пересечения следует равенство [c.78]

Все сказанное здесь можно повторить и об отражательном индексе /г(Г), который тоже является индексом пересечения (цикла Г и отражающей поверхности). [c.78]

Предположим, что слои исходного расслоения — вещественные ориентированные четномерные многообразия, и рассмотрим гомологии средней размерности. В этом случае на пространстве гомологий определена билинейная форма индекс пересечения. Эта форма симметрична, если размерность слоя кратна 4, и кососимметрична в противном случае. Она невырождена, если слой замкнут (компактен и не имеет края), но может вырождаться в противном случае. Предположим, что форма кососимметрична. [c.433]

Таким образом, для описания группы монодромни особенностей достаточно знать, как устроена билинейная целочисленная форма на Я 1(У.), определенная индексом пересечения. [c.64]

Монодромия вдоль пути очевидно не меняет индекса пересечения, поэтому группа моиодромии Г сохраняет форму пере- сечений.. .....-........- - -— ------------------------ [c.64]

Таким образом, матрицы пересечений стабильно эквивалентных особенностей определяют друг друга. Кроме того, из теоремы вытекает, что в классе стабильно эквивалентных особенностей имеется всега 4 различных формы пересечений при k=Q (4) индексы пересечений совпадают (при k 2 (4) отличаются знаком). Следовательно, с каждой особенностью связаны две симметричные и две кососимметричные билинейные формы, отличающиеся знаками, и две группы моиодромии, соответствующие симметричному и кососимметричному случаю. [c.66]

Информацию, описывающую группу Г, порожденную отражениями, удобно закодировать в граф — диаграмму Дынкина. Она строится по отмеченному базису исчезающих циклов Дь. .., Ди следующим образом каждому исчезающему циклу Д, ставится в соответствие вершина графа, занумерованная соответствующим номером две вершины графа <1> и соединяются (пунктирным) ребром с индексом 1, если индекс пересечения равен >0 (равен —к). [c.67]

Пример. Если Ф =0 — кривая степени 3, то вопрос сводится к определению максимального индекса пересечения кривой Ai=P2(0. A2=Ps(i) (где Рг—многочлен степени г) с половиной полуюуйнческой параболы Ai=s2, Лг=5 , s O. Макси- мальный индекс равен 2 (рис. 53 а), поэтому кривая Ф=0 степени 3 на плоскости t, х) соответствует не более чем двукратной образующей (двукратная образующая реализуется, рис. 53 б). [c.225]

Пусть СсСР" —алгебраическая. - гиперповерхность (воз-М0Ж(Н0 с осо1беи1ностям ). Двойственное к ней мнюгообрааие А с=СР —это замыкание множества гиперплоскостей, касательных к X в его неособых точках. Для любой точки хбСР , обозначим через тх х) индекс пересечения в точке х дивизора X и прямой общего положения, проходящей через х (например, тх(х)=0 х Х). [c.235]

На Нт Х) имеется билинейная форма — индекс пересечения <, >. Поднимем ее на(- . Д) С помощью отображения -На пространстве Ят+1(Х ), вложенном в относительные-гомоло-гии, рассмотрим ограничение этого поднятия (как легко видеть,— нулевое). Форма на Нт+ Х ), заданная своим индексом пересечения, игнорируется. Получаем точную последовательность соответствующих решеток (пар, составленных из свободных Z-модулей и билинейных форм на них) [c.33]

Диаграмму Дынкина кососимметричной формы строим, как и для полных пересечений в п. 2.7. Вершины диаграммы изображают базисные элементы Н . Кратность соединяющего вершины ребра та же, что и для краевых особенностей она равна индексу пересечения соответствующих циклов, если хотя бы один из них короткий, и половине этого индекса, если оба эти цикла длинные. Ребро ориентируется так, чтобы индекс пересечения был положительным. Ребро, соединяющее вершины, отвечающие циклам разной длины, снабжается знаком >, раскрытым в сторону вершины, соответствующей длинному циклу. Если граф — дерево, то ориентации ребер не указываются (их можно сделать произвольными за счет выбора ориентации базисных циклов). При таких соглашениях диаграммы Дынкина проектирований А .,... будут обычными диаграммами Дынкина соответствующих алгебр Ли. [c.55]

Пусть d — разность между индексами пересечений диаграммы Серфа f с вертикалью и горизонталью на С . [c.73]

Далее, пусть у = — разложение приведенного критического множества f на неприводимые компоненты, щ — индекс пересечения Yi с Xo=0, а [Ai,- -число..Милаора трансверсальной особенности функции / на у . — [c.73]

Для того, чтобы доказать утверждение а), выберем произвольную пару исчезающих циклов Л.А бЯп-гИ П-Х оО таких, чтобы их индекс пересечения <А, А > не равнялся нулю (такая пара найдется в силу связности диаграммы Дынкина изолированных особенностей, см. [22]). Будем действовать на цикл Л последовательными обносами в прямой L Xq) вдоль простой петли, соответствующей пути, вдоль которого исчезает цикл Л. Если h нечетно, то при этом каждый раз к шапочке, соответствующей циклу Д, будет добавляться шапочка red (A ). взятая с ненулевым коэффициентом (—1) < 2<А, А >. Но интеграл невырожденной формы <и по любой шапочке не равен нулю, а следовательно, функция V набирает бесконечное число листов уже прн такой циркуляции вдоль этой петли. [c.177]

Пример 1 (см. посЛеДНЮк) теорему п. 2.8). Пусть а — неособая точка дивизора А, У — плоскость, касательная к А в точке а. X — близкая некасательная плоскость. Тогда из нетривиальности класса х.у) (или, эквивалентно, И. х, у)) следует диффузность со стороны соответствующей компоненты дополнения к фронту. Это утверждение аналогично теореме п. 1.10, в обозначениях из п. 1.10 она доказывается следующей последовательностью рассуждений. Группа Н -г(Х А В) лорождается циклами Л,-, исчезающими прн подходе в прямой L X ) к критическим значениям функции ф. Из двойственности Пуанкаре следует, что найдется исчезающий цикл Д,, такой что в Л ГИ П-0 индекс пересечения не равен нулю. Из формулы Пикара—Лефшеца следует, что соответствующая петля в прямой L X ) добавляет к циклу Х1(х,у) исчезающий цикл Д,- с ненулевым коэффициентом. Наконец, для любого исчезающего цикла найдется подходящая форма A (Jt, V,-Р), интеграл которой по двойной трубке i<>i(Aj)6 [c.199]

Вычисление коциклов Петровского в терминах исчезающих циклов. В силу теоремы двойственности Пуанкаре, локальные циклы Петровского можно рассматривать как элементы двойственного пространства к Нп-х Уг)- Поэтому для вычисления циклов Петровского достаточно вычислить их индексы пересечения с элементами базиса исчезающих циклов в последней группе, см. [22, 2.1]. Условимся о выборе этого базиса для произвольного /62 такого, что все критические значения функции ft различны (и их число равно числу Милнора l(f) особенности f). Такое шевеление ft функции f называется морсификацией /. [c.221]

Теорема. Пусть критическое значение а морсификацин /, вещественно. Тогда индексы пересечения обоих локальных классов Петровского функций / с циклами Д вьфажаются через аналогичные индексы для одними и теми же формулами, а именно, если а<0, то [c.224]

Алгоритм перебора морсификаций / состоит в следующем. Вначале мы определяем топологические характеристики для некоторой реальной морсификацин исследуемой особенности. (Это неформальная задача в случае особенности коранга 2 она решается методом Гусейна—Заде [56] с помощью формул-(1), (2) с другой стороны, отсутствие особенности в таблице п. 2.2. объясняется только тем, что уже для нее эта задача пока не решена.). Затем к набору этих характеристик последовательно применяем всевозможные допустимые преобразования, при этом следим за тем, не обращается ли в О вектор индексов пересечения исчезающих циклов с классами Петровского. Если класс Петровского обращается в О, то распечатываются параметры соответствующей морсификацин. Восстановление реального шевеления по этим параметрам является вновь неформальной задачей, тем не менее во всех встретившихся случаях она не составила затруднений (см. таблицу на стр. 226—227 и рис. 126—134). При этом, пользуясь результатами п. 1.5, можно одновременно отслеживать локальные лакуг ны и для всех особенностей, стабильно эквивалентных данной.. [c.236]

Обозначим коразмерность этого класса через с (например, odimA2 = 1, сосИтА - со<11Ш . = А — 1). Для определения индекса пересечения многообразия особенностей данного типа (вернее, его замыкания) с ориентированным подмногообразием размерности с, нам нзгжна трансверсальная ориентация многообразия особенностей, то есть ориентация слоёв нормального расслоения. Эта ориентация должна быть естественной , то есть инвариантной относительно действия группы, определяющей эквивалентность особенностей. [c.125]

Зафиксируем коориентируемый класс. Коориентация, сама по себе, не достаточна для корректного определения индекса пересечения, так как класс не является циклом. Примыкающие классы, коразмерность которых на единицу больше коразмерности рассматриваемого класса, образуют границу нашего класса, на которой необходимо наложить некоторые условия на коориентации для того, чтобы индекс пересечения был корректно определён. [c.126]

Пример. Рассмотрим многообразие особенностей типа А2. Этот класс коразмерности 1 допускает естественную коориентацию. Коразмерность границы равна 2. Рассмотрим типичную точку на границе и построим двумерную поверхность, трансверсальную границе в зтой точке. След класса А2 на поверхности является кривой с особой точкой. Вне этой точки кривая трансверсально ориентирована. Если бы ситуация в зтой точке была топологически эквивалентна тому, что изображено на рис. 63, то тогда бы индекс пересечения кривых с замыканием А2 не существовал. Действительно, число пересечения малой окружности с центром в граничной точке я А2 в зтом случае не равно нулю, [c.126]

Замечание. Индекс петли в пространстве функций на вещественной прямой, ведущих себя на бесконечности подобно функции х, является индексом пересечения со стратом Максвелла (замыканием гиперповерхности, образованной функциями которые имеют равные критические значения в разных критических точках). Страт Максвелла имеет естественную коориентацию (несмотря на его особенности, он определяет одномерный класс когомологий). А именно, деформация функции с двумя равными критическими значениями положительна, если правое критическое значение становится больше чем левое, в случае когда оба критических значения являются максимумами (или минимумами). Если одна критическая точка — точка максимума, а другая — точка минимума, то деформация положительна, если она увеличивает значение левой точки по сравнению со значением правой. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...