Граничные траектории

Если после того, как давление и плотность газа у поршня обратятся в нуль (точка В на рис. 2.8.2), скорость поршня продолжает возрастать, условие на траектории граничной частицы газа, требующее совпадения скорости этой частицы со скоростью поршня, следует заменить условием равенства нулю давления р = 0 на граничной траектории. (Здесь мы встречаемся со случаем, когда заданное первоначально условие на границе области движения газа оказывается, начиная с некоторого момента времени, невыполнимым и требует замены его другим.) Форма траектории, которая становится при этом свободной границей, должна определиться из решения. В рассматриваемом случае граничная траектория частицы совпадает с пря- [c.179]

Существует область, находясь в которой, аэрозольная частица также будет уловлена отсосом, поскольку с течением времени попадет в область активной аспирации. Такую область назовем присоединенной. Покажем, что ее граница и будет являться разграничивающей кривой. Для этого вычислим граничную траекторию, выше которой все аэрозольные частицы попадут в отсос, ниже - нет. [c.633]

Рис. 4.13. к определению граничной траектории при а = 0,25 и й = 10 для аэрозольной частицы крупностью / = 50 мкм, плотностью 2500 кг/м с интенсивностью стока в верхней полуплоскости Q = 2 м /с, при динамической вязкости воздуха 1,8-10 Па-с [c.634]

Рис. 4.14. Граничные траектории при различных начальных скоростях 1 (0,0) 2 (20с,-10с) 3 (-20с,-10с) 4 (20с,10с) 5 (-20с,10с)

Заметим, что граничная траектория аэрозольной частицы не с нулевыми начальными скоростями будет совпадать с граничной траекторией, вычисленной для частицы с нулевыми начальными условиями за исключением небольшого участка (рис.4.14). Кроме того, на граничную траекторию не влияет ордината, с которой происходит ее поиск будет лишь меняться ее длина. [c.635]

Рис. 4.16. Граничные траектории пылевых частиц плотности 2600 кг/м различной крупности 1-5 мкм, 2-15 мкм, 3-30 мкм, 4- 50 мкм, 5-80 мкм при = 1,26м / (с м), = 4,5м/ С,

Рис. 4.17. Граничные траектории пылевых частиц плотности 2600 кг/м различной крупности

Таким образом, принятая схематизация достаточно хорошо отражает особенности деформирования берегов трещины при сложных условиях нагружения. Расчет траектории трещины и КИН может производиться при постоянном соблюдении граничных условий по ее берегам. [c.202]

При использовании МКЭ продвижение трещины можно моделировать либо путем последовательного раскрепления узлов, лежащих вдоль траектории трещины [148, 177, 178, 219], либо, как указывалось в подразделе 4.1.3, последовательным назначением в элементах у вершины трещины вдоль ее траектории модуля упругости, близкого к нулю, Eip = E E. Второй способ моделирования для трещин с криволинейной траекторией более рационален, поскольку позволяет достаточно просто учитывать различные граничные условия в элементах полости трещины (частичное контактирование берегов трещины, обусловленное взаимодействием остаточных и эксплуатационных полей напряжений) в зависимости от знака нормальных к траектории трещины напряжений о п = ст у в этих элементах (знак штрих [c.243]

Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность. [c.42]

В частности, ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двухсвязны. Если двухсвязная ячейка заполнена незамкнутыми траекториями, то один из ее граничных континуумов является предельным множеством при t - [c.43]

Поведение фазовых траекторий вне отрезка (4.49) изучим путем сведения задачи к точечному отображению граничной прямой л + Ру = О в себя. Общее решение системы (4.47) имеет вид [c.107]

Амплитуда стационарного колебания определяется решением исходного уравнения (11.1.11), удовлетворяющим граничным условиям (11.1.12) и (11.1.15). В консервативной системе (р = 0) периодические движения возможны с любой амплитудой, зависящей от начальных условий. В неконсервативной системе (ц= 0) периодические движения существуют лишь с вполне определенными амплитудами, соответствующими равенству вклада энергии за счет отрицательного сопротивления и потерь в активном сопротивлении линии. В частном случае мягкого режима, как известно, имеется лишь одна стационарная амплитуда, о — амплитуда предельного цикла, близкого к одной из замкнутых траекторий соответствующей консервативной системы. [c.351]

Здесь через q обозначено нормальное давление, приложенное на границе таким образом, использовано граничное условие Ог(а) = = —д. Траектории главных напряжений — это лучи и концентрические окружности, поэтому траектории главных касательных напряжений образуют с радиусом углы я/4 в каждой точке, т. е. представляют собою логарифмические спирали. [c.520]

Итак, при фрикционных колебаниях ползуна, взаимодей-ствующего с движущейся поверхностью, в зависимости от на чальных условий и параметров системы можно наблюдать три режима автоколебания, затухающие колебания и колебания а возрастаюш има амплитудами. На фазовой плоскости этим режимам соответствуют фазовые траектории в виде замкнутой траектории (см. рис. 62), спирали, накручивающейся на особую точку (см. рис. 65, а), и спирали, выходящей из особой точки (см. рис. 65,6). Фазовую траекторию при фрикционных авто колебаниях можно рассматривать как граничный или предель ный случай, соответствующий переходу от режима с затухаю щими амплитудами колебаний к режиму с возрастающими амч плитудами. [c.230]

В случае, если бифуркационная поверхность является граничной для векторных полей Морса—Смейла в точке vq, то векторные поля (do различаются модулем (см. п. 6.3), но геометрически одинаковы . В неблуждающее множество добавляется лишь гомоклиническая траектория простого касания. [c.147]

В случае = О из (120) следует, что 0 = О, т. е. нормальные линии являются прямыми, направленными вдоль радиусов. Если угол 0 на границе задан, то значение Гт на данной нормальной линии можно найти, записав соотношение (120) для точки пересечения нормальной линии с границей значение 2 В ЭТОМ случае определяется подстановкой граничных значений г и z в соотношение (122). Полученное соотношение представляет собой уравнение нормальной линии, проходящей через данную точку границы. Если построены все нормальные линии, то можно построить и волокна как траектории, ортогональные нормальным линиям. Эту процедуру обычно легче осуществить графически,, нежели аналитически. Приведенное выше построение формы нормальных линий принадлежит Т. Дж. Роджерсу (не опубликовано). [c.340]

Пусть, например, начальные условия таковы, что и больше, чем 2- Тогда согласно (5.50) производная ф будет при всех 0, лежащих между крайними значениями 0i и 02, иметь один и тот же знак. Следовательно, траектория апекса будет в этом случае касаться граничных окружностей таким образом, что ф будет одинаково направлено как при 0i, так и при 02 (рис. 58,а). [c.190]

Если же и будет лежать между щ и иг, то направления прецессии на граничных окружностях будут различными, и траектория апекса будет иметь петлеобразный вид, как показано на рис. 58, Ь. Среднее значение ф, однако, не будет при этом равно нулю и, следовательно, будет иметься прецессия в том или ином направлении. [c.190]

Может также случиться, что и будет совпадать с одним из корней функции /(и). Тогда на соответствующих граничных окружностях обратятся в нуль и 0 и ф, что приведет к появлению точек заострения в этих местах траектории апекса, как показано на рис. 58, с. Следует заметить, что этот случай не является исключительным, как это может показаться на первый [c.190]

Одно из наиболее значительных открытий Гамильтона заключается в осознании и реализации того факта, что задачи механики и геометрической оптики могут рассматриваться с единой точки зрения. Он оперировал с характеристической или главной функцией и в оптике, и в механике. Эта функция обладает тем свойством, что при помощи лишь дифференцирования из нее можно определить как траекторию движущейся частицы, так и траекторию светового луча. Более того, и в оптике, и в механике характеристическая функция удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения в частных производных при соответствующих граничных условиях эквивалентно решению уравнений движения. [c.391]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Если торец автокатода расположен вправо от внутренней плоскости модулятора, то считаем величину Н положительной, а если влево — отрицательной. На рис. 7.1. показаны такие граничные траектории электронного потока, который формируется в пучке с автокатодом и создает диаметром Ф эмиссионное изображение на аноде — люминисцентном экране. При фиксированных геометрических параметрах управление пушкой осуществляется потенциалом модулятора, который управляет током автоэмиссии катода. Способ управления пушкой отрицательным потенциалом модулятора (на рис. 7.1. потенциал автокатода принят за нулевой) связан с рядом трудностей. В этом случае для осуществления токоотбора с автокатода необходим очень высокий потенциал анода (так как модулятор экранирует автокатод), который должен создать для работы автокатода в центрах эмиссии (на микровыступах) электрическое поле 5-10 В/см. Например, в пушке с параметрами Я = - -200мкм, D = 0,5 мм, d — 100 мкм, L = 1 мм при = 4-10 кВ (i/ = 0) создается ток автокатода л 1 10 мкА. [c.246]

Траектории, дуги без контакта, дуги траекторий и циклы без контакта, входящие в границу, будем называть граничными траекториями, граничными дугами траектори , граничными дугами без 1 0нтакта и граш1Ч-пыми циклами без контакта. [c.286]

Определим структуру аэрозольного потока для укрытия грохота ГСО 3000x6400 фабрики окомкования №2 Северного горнообогатительного комбината при известных массовых долях /-х узких фракций в отсасываемом воздухе, плотности материала (р = 2600кг/ м ) и расходах аспирации 2 , эжектируемого воздуха б,ж2, через неплотности (рис.4.16-4.17). При заданных расходах д были построены граничные траектории пылевых частиц среднего диаметра узких фракций 5,15,30,50,80 мкм и определены их коэффициенты аспирации. По формуле (4.29) определен коэффициент аспирации отсоса, а из (4.21) интенсивность пылевыделений М/ внутри грохота. Заметим, что внутри укрытия в результате действия вибрации решетки грохота и действия потока материала интенсивность пылевыделения размазывается по всему объему, и потому будем считать ее постоянной во всей рассматриваемой области. По найденным значениям М/ сделан прогноз дисперсного состава и концентрации пылевых частиц при разных объе- [c.636]

Аналитические решения такого рода уравнений получены для задач в идеализированной постановке (плоскость с полу-бесконечной или конечной трещиной, пространство с дисковидной трещиной и т. д.) при воздействии гармонических и ударных нагрузок (достаточно полный их обзор дан в работах [148, 177, 178, 199, 220, 271]. Однако эти решения дают представления о реальном поведении конструкции конечных размеров только в начальный период времени (до прихода в вершину трещины волн напряжений, отраженных от границ тела). Кроме того, они не учитывают разнородности материала конструкции по механическим свойствам, изменения граничных условий по-берегам трещины в процессе ее продвижения траектория трещины считается прямолинейной, а удельная эффективная энергия, затрачиваемая на образование новых поверхностей yf, принимается постоянной и не зависящей от скорости деформирования. Очевидно, что с помощью методов, имеющих указанные ограничения, навряд ли можно дать надежные оценки работоспособности элементов конструкций сложной формы и характера нагружения. Поэтому широкое распространение получили численные методы расчета динамических параметров механики разрушения [177, 178]. [c.241]

ОДНОГО листа фазоьой плоскости Ф на другой происходит через каждый промежуток времени длительности 0 пребывания фазовой точки в области 0 . Поэтому в области 0 движение изображающей точки происходит вниз ио ломаной кривой до тех пор, пока эта траектория не пересечет кривую Г (рис. 4.20). В области 0 изображающая точка движется на листе т] = + 1 или = — 1 до тех пор, пока не пересечет граничную кривую Г, Спустя время 0 после пересечения кривой Г она переходит с одного листа на другой, в результате чего траектория движения изображающей [c.96]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые траектории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность а,, oj-, или oi2 отображается в какие-то другие поверхности о], ш/, (0/1 или (0/2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о/ в сод, будем обозначать через Т(а/- (О д). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкое. Это последнее утверждение следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений. [c.276]

Известно [6], что фрактальная размерность траектории обобшенного броуновского движения 0=2. Траектории движения частиц в объеме расплава, как и в любой другой жидкой фазе, являются броуновскими. Поэтому дальнейший рост фрактального кластера дальше двутсмерного граничного слоя невозможен (рис. 62). [c.88]

При 52 > 5 кр в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскосги ху. Все пространство между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение ккр определяет периодичность, но не симметрию этой решетки линеаризованные уравнения движения допускают в (57,14) любую функцию ф(х, г/), удовлетворяьэ-щую уравнению (Лг — )ф = 0. Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-види.мому, должна осуществляться двухмерная структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодичность— система параллельных полос ). [c.317]

Напишите граничные условия на поверхности крыла, которым должна удовлетворять нестационарная потенциальная функция, для следующих частных случаев 1) крыло движется прямолинейно и одновременно совершает колебательное движение вокруг поперечной оси 2) несущая поверхность накрен> е1ся с, некоторой угловой скоростью 3) траектория крыла представляет собой мертвую петлю . [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...