Подмногообразие лежандрово

Подмногообразие в проективном пространстве определяет лежандрово подмногообразие в пространстве контактных злементов объемлющего проективного пространства оно образовано контактными элементами, содержащими касательное пространство исходного подмногообразия. Пространство контактных элементов проективного пространства расслоено над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляем содержащую его гиперплоскость). Это расслоение является лежандровым (см. 3.1, рис. 35). Лежандрово подмногообразие, образованное контактными элементами, касающимися исходного подмногообразия, определяет лежандрово отображение в двойственное проективное пространство. Образ этого отображения (то есть множество касающихся исходного подмногообразия гиперплоскостей) является фронтом зтого лежандрова отображения. Для краткости будем называть его фронтом исходного подмногообразия. Лежандрово отображение называется фронтальным отображением (ассоциированным с подмногообразием). [c.233]

Определение. Лежандровым подмногообразием контактного 2п -Ь 1-мерного многообразия называется и-мерное интегральное многообразие поля контактных плоскостей. [c.331]

Пример 1. Множество всех контактных элементов, касающихся подмногообразия любой размерности в т-мерном многообразии, является лежандровым т — 1-мерным подмногообразием 2то — 1-мерного контактного многообразия всех вообще контактных элементов. [c.332]

Пример 2. Множество всех касательных плоскостей к графику функции / = ф (ж) в и -Ь 1-мерном евклидовом пространстве с координатами (аг ,. . Хп, /) является лежандровым подмногообразием в 2п -Ь 1-мерном пространстве всех невертикальных гиперплоскостей в пространстве графика (контактная структура задается 1-формой [c.332]

В частности, под действием инволюции Лежандра лежандрово подмногообразие касательных к графику функции плоскостей переходит в новое лежандрово многообразие. Это новое многообразие называется преобразованием Лежандра исходного. [c.332]

Возникающие таким образом лежандровы особенности можно описать аналогично лагранжевым (см. добавление 12). Лежандрово расслоение в 2п 1-мерном контактном многообразии — это расслоение, все слои которого — лежандровы п-мерные многообразия. Лежандровы особенности — это особенности проектирования п-мерных лежандровых подмногообразий 2п -Ь 1-мерного контактного многообразия на п -Ь 1-мерную базу лежандрова расслоения. [c.333]

Следующая теорема позволяет локально описывать лежандровы подмногообразия и отображения при помощи производящих функций. [c.333]

Теорема. Если в точке х из I характеристика на Е не касается I, то в окрестности точки х характеристики на Е проходящие через точки I, образуют лежандрово подмногообразие L в [c.336]

Интегральное подмногообразие контактной структуры называется лежандровым, если оно имеет наибольшую возможную размерность. [c.450]

Примеры. 1. Множество всех контактных элементов, касающихся фиксированного подмногообразия (любой размерности) — лежандрово многообразие. [c.450]

В частности, все контактные элементы, приложенные в одной точке, образуют лежандрово подмногообразие (слой расслоения контактных элементов). [c.450]

Множество всех 1-струй одной функции — лежандрово подмногообразие пространства 1-струй. [c.450]

Проектирование лежандрова подмногообразия на базу лежандрова расслоения называется лежандровым отображением. Образ лежандрова отображения называется фронтом. [c.452]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Д. Приложения контактной геометрии к симплектической. Все лагранжевы особенности можно получить из лежандровых, если реализовать последние проектированием лежандровых подмногообразий пространства 1-струй функций на пространство [c.453]

Определение. Лежандровым подмногообразием контактного многообразия называется интегральное подмногообразие максимальной размерности (равной п для (2та-(- 1)-мерного контактного многообразия). [c.62]

Пример 1. Слои расслоения РТ У V — лежандровы подмногообразия. [c.62]

Пример 2. Множество 1-струй любой функции на М является лежандровым подмногообразием многообразия (М, К) 1-струй функций на М. [c.62]

Пример 3. Множество контактных элементов V, касающихся какого-либо гладкого подмногообразия (любой размерности) в V, является лежандровым подмногообразием пространства контактных элементов V. [c.62]

Обычно фронт является гиперповерхностью базового пространства лежандрова расслоения. Исключительные лежандровы подмногообразия (например, слои, чьи фронты — точки базы) образуют множество бесконечной коразмерности в пространстве всех лежандровых подмногообразий пространства расслоения. [c.64]

Множество всех контактных элементов, касающихся данной гиперповерхности С Р является лежандровым подмногообразием пространства флагов. Следовательно, ограничение проекции тг на это лежандрово подмногообразие является лежандровым отображением (рис. 35). [c.66]

Вместо гиперповерхности Я мы могли бы взять подмногообразие произвольной размерности в проективном пространстве оно всегда определяет лежандрово отображение. Например, фронт кривой в проективном пространстве (то есть фронт соответствующего лежандрова отображения) есть многообразие касающихся этой кривой гиперплоскостей. [c.66]

Локально, любое лежандрово отображение эквивалентно отображению примера 1, а также отображению примера 2. Фронт (лежандрова отображения подмногообразия в или РТ У) единственным образом определяет лежандрово отображение (исключая множество отображений бесконечной коразмерности в пространстве всех лежандровых отображений). Следовательно (локальная) теория лежандровых особенностей совпадает с теорией особенностей преобразований Лежандра, а также с теорией особенностей эквидистант гиперповерхностей. [c.67]

Рассмотрим лагранжево подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения некоторого многообразия. Оно может быть поднято (по крайней мере локально) до лежандрова подмногообразия многообразия 1-струй функций на выбранном многообразии [c.69]

Полученное таким образом лежандрово подмногообразие проектируется на исходное лагранжево подмногообразие с помощью естественной проекции J (M,R) Т М ( забывания значений функции ). [c.69]

Таким образом, производящее семейство лагранжева подмногообразия определяет лежандрово подмногообразие пространства 1-струй функций переменной д [c.69]

Мы получили лежандрово отображение лежандрова подмногообразия Л на свой фронт (в пространстве с координатами [q z)). [c.69]

Перестройки фронтов, как и перестройки каустик, легче изучать в пространстве-времени. Объединение фронтов в различные моменты времени образует гиперповерхность в пространстве-времени. Легко видеть, что эта гиперповерхность, образованная типичным движущимся фронтом, сама является фронтом типичного лежандрова отображения подмногообразия, размерность которого на 1 больше размерности изучаемого движущегося фронта. [c.75]

Подобные конструкции определяют лежандровы края лежандровых подмногообразий пространства 5Т В трансверсально ориентированных ( вооружённых ) контактных элементов 5Т В является сфериче- [c.115]

Лежандров кобордизм лежандровых подмногообразий пространств 1-струй функций или лежандровых подмногообразий пространств кон- [c.116]

Теорема. Группа лежандровых ориентированных кобордизмов лежандровых подмногообразий пространства 1-струй функций одной переменной изоморфна группе целых чисел. Образующей этой группы является класс кобордизмов лежандрова подмногообразия, фронт которого имеет форму бантика (восьмёрки с заострёнными вершинами, рис. 57). [c.117]

Теорема. Группа лежандрово неориентированных кобордизмов лежандровых подмногообразий пространства 1-струй функций одной переменной тривиальна. [c.118]

Доказательство. Кривая в (г, 2/)-пространстве является фронтом лежандрова подмногообразия (г,2/,р)-пространства 1-струй функций. Проекция на (г,р)-плоскость каждой связной компоненты этого подмногообразия является связной замкнутой кривой, ограничивающей нулевую площадь (так как рд,х = О, так как мы начали с лежандрова [c.119]

Теорема ([112]). Группа классов лежандровых ориентированных кобордизмов подмногообразий пространства 1-струй функций на К изоморфна стабильной гомотопической группе, [c.123]

Лежандровы подмногообразия в пространствах 1-струй функций и [c.128]

Плотность гомеовдная 442—444 Подалгебра 190 Подгруппа дискретная 242 Подмногообразие лежандрово 331, 450 Поле векторное вариации геодезической 275 [c.470]

Нехарактеристическое начальное условие задает интегральное п — 1-мерное подмногообразие I формы а (являющееся графиком отображения м = / (х), р = р (х), х е Г). Характеристики на Е., пересекающие /, образуют лежандрово подмногообразие в являющееся графиком отображения и = и (х), р = ди/дх. Полученная функция и (х) — решение уравнения Ф (х, ди дх, и) == О с начальным условием м г = /. [c.337]

Определение. Проекция лежандрова подмногообразия пространства лежандрова расслоения в базу этого расслоения называется лежандро-вьш отображением (рис. 34). Образ лежандрова отображения называется его фронтом. [c.64]

Эти характеристические классы двойствены подмногообразиям, определённым стратами естественной стратификации пространства функций. В определённом смысле они также могут рассматриваться как определяющие когомологии нелинейного грассманова пространства всех лагранжевых (лежандровых) многообразий. [c.113]

Лежандров край определяется аналогичной конструкцией. Рассмотрим, например, (иммерсированное) лежандрово подмногообразие пространства 1-струй функций на многообразии М с краем дМ. [c.115]

Лежандрово подмногообразие, трансверсальное краю пространства струй, пересекает его (край) вдоль (иммерсированного) подмногообразия. Проекция в этого пересечения называется лежандровым краем исходного лежандрова подмногообразия. Размерность края на 1 меньше размерности исходного подмногообразия. Физическая интерпретация очевидна фронт лежандрова края является обычным краем фронта исходного подмногообразия. [c.115]

Рассмотрим теперь контактное пространство РТ В контактных элементов многообразия В с краем дБ. Снова рассмотрим проекцию, отправляющую каждый контактный элемент в точке дБ в его пересечение с касательным пространством края. Предположим, что иммерсированное лежандрово подмногообразие пространства РТ В трансверсально краю д РТ В) этого пространства. [c.115]

Задача. Докажите, что эта проекция принадлежит РТ дВ) и является там иммерсированным лежандровым подмногообразием. [c.115]

В случае лежандровых многообразий, вместо кобордизмов лежандровых иммерсий, можно просто рассматривать кобордизмы фронтов (так как лежандрово подмногообразие однозначно определяется своим фронтом). Единственное требование — трансверсальность кобордиэ-ма фронтов краю базы лежандрова расслоения, в котором находится соответствующее кобордиэму лежандрово подмногообразие (чтобы избежать ссылок на теорию трансверсальности стратифицированных особых многообразий, можно считать, что в некоторой окрестности края фронта кобордизм является прямым произведением этого края и полуинтервала). [c.117]

Подобные реэультаты верны и для лежандровых особенностей. Например, число особенностей типа Ае (принимая во внимание знаки) на замкнутом, ориентированном лежандровом подмногообразии пространства 1-струй функций на К , совпадает с числом особенностей типа Е . Эти числа совпадают также для ориентируемо кобордантных лежандровых многообразий. Для замкнутых лежандровых подмногообразий соответствующих размерностей (разумеется, здесь и ниже, предполагается, что лагранжевы и лежандровы подмногообразия [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...