Отображение лежандрово

Проективная структура слоёв лежандрова расслоения имеет даже большее геометрическое содержание, так как любое отображение лежандровых расслоений (сохраняющее контактную структуру и слои) автоматически индуцирует единственное проективное отображение слоёв (определённое действием диффеоморфизма баз на контактных элементах к базам). В симплектическом случае аффинные отображения слоёв определены только с точностью до сдвигов. [c.63]

Мы получили лежандрово отображение лежандрова подмногообразия Л на свой фронт (в пространстве с координатами [q z)). [c.69]

Локально, приведённая выше конструкция описывает все лежандровы отображения. Лежандрова эквивалентность лежандровых отображений преобразуется в стабильную эквивалентность семейств гиперповерхностей 2 = F x,q) в х-пространстве (расслоенную над пространством параметров (q,z)). Понятие стабилизации аналогично данному в симплектическом случае для производящих семейств лагранжевых отображений. А именно, гиперповерхность Н х) = О стабильно [c.69]

Следующая теорема позволяет локально описывать лежандровы подмногообразия и отображения при помощи производящих функций. [c.333]

Подставим в формулы предыдущей теоремы в качестве 5 функции из списка простейших лагранжевых особенностей, приведенного в добавлении 12. Получатся лежандровы особенности, сохраняющиеся при малых деформациях лежандрова отображения х, у, г) ь- - (у, г) (т. е. переходящие в эквивалентные при малой деформации функции 8). Всякое лежандрово отображение при тг < 6 малым шевелением превращается в такое, у которого все особенности локально эквивалентны особенностям полученного списка (1 /с < 6), (4 < /с 6), JБg. [c.334]

Проектирование лежандрова подмногообразия на базу лежандрова расслоения называется лежандровым отображением. Образ лежандрова отображения называется фронтом. [c.452]

Всякое лежандрово отображение локально эквивалентно и преобразованию Лежандра, и фронтальному отображению. Теория лежандровых особенностей есть в точности теория особенностей преобразования Лежандра и волновых фронтов. Эквивалентность, устойчивость и простота лежандрова отображения определяется, как в лагранжевом случае. [c.452]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

Утверждения п. 1 о волновых фронтах лежандровых отображений дословно переносятся на случай каустик лагранжевых отображений при помощи следующей теоремы. Пусть р, р — очевидные проекции Т М- Ы, Л Ы, К)- Ы. [c.220]

Теорема ([361]). Для любой лагранжевой иммерсии существует лежандрова иммерсия I М- -Р М, ) такая, что отображения ро1 и р о1 М- -Ы совпадают, а следовательно все лагранжевы особенности многообразия (М) совпадают с одноименными лежандровыми особенностями [c.220]

Причина двойственная поверхность — тоже фронт лежандрова отображения, и типичной гиперповерхности отвечает типичное семейство функций, как и для эквидистант. [c.98]

Пример 2. Расслоение J (M,R) J (M,R) пространства 1-струй функций над пространством 0-струй, определённое отображением забывания производных , (д,р, г) Ч- (д, г), является лежандровым расслоением. [c.63]

Таким образом мы сконструировали отображение из пространства лежандрова расслоения в пространство контактных элементов к базе. Это отображение является (локальным) диффеоморфизмом, так как невырожденность контактной структуры влечёт тот факт, что проекция гиперплоскости, задающей контактную структуру, вращается с ненулевой скоростью, когда точка пространства расслоения движется с ненулевой скоростью вдоль слоя. [c.63]

Это отображение переводит исходные контактную структуру и лежандрово расслоение в контактную структуру и естественное лежандрово расслоение пространства контактных элементов базы, что и доказывает теорему. [c.63]

Рис. 34. Лежандрово отображение и его фронт

Множество всех контактных элементов, касающихся данной гиперповерхности С Р является лежандровым подмногообразием пространства флагов. Следовательно, ограничение проекции тг на это лежандрово подмногообразие является лежандровым отображением (рис. 35). [c.66]

Вместо гиперповерхности Я мы могли бы взять подмногообразие произвольной размерности в проективном пространстве оно всегда определяет лежандрово отображение. Например, фронт кривой в проективном пространстве (то есть фронт соответствующего лежандрова отображения) есть многообразие касающихся этой кривой гиперплоскостей. [c.66]

Пример 2 [эквидистанты). Для гладкой гиперповерхности Я евклидова пространства К" зафиксируем на каждой нормали точку на расстоянии 1. Получим лежандрово отображение Я =-4 РТ В. —К". [c.66]

Локально, любое лежандрово отображение эквивалентно отображению примера 1, а также отображению примера 2. Фронт (лежандрова отображения подмногообразия в или РТ У) единственным образом определяет лежандрово отображение (исключая множество отображений бесконечной коразмерности в пространстве всех лежандровых отображений). Следовательно (локальная) теория лежандровых особенностей совпадает с теорией особенностей преобразований Лежандра, а также с теорией особенностей эквидистант гиперповерхностей. [c.67]

Задача. Докажите, что особенности педальных к типичным гиперповерхностям совпадают (с точностью до диффеоморфизма) с. особенностями фронтов типичных лежандровых отображений (и, следовательно, с особенностями двойственных гиперповерхностей для типичных [c.67]

Лежандровы особенности типов А, П, Е устойчивы и просты (не имеют модулей). Типичные лежандровы отображения п многообразий размерности п < 5 имеют только простые и устойчивые особенности, лежандрово эквивалентные 2 , Е/ (1 < п + 1). Особенности типов Лр, E J, (и только они) являются простыми и устойчивыми и при больших п. [c.73]

Типичные лежандровы отображения многообразий размерности п > 5 имеют, кроме особенностей типов Л, П, Е, и другие особенности, имеющие модули (непрерывные инварианты). Более подробно классификация лежандровых особенностей описана в [94], [28], [29]. [c.73]

Перестройки фронтов, как и перестройки каустик, легче изучать в пространстве-времени. Объединение фронтов в различные моменты времени образует гиперповерхность в пространстве-времени. Легко видеть, что эта гиперповерхность, образованная типичным движущимся фронтом, сама является фронтом типичного лежандрова отображения подмногообразия, размерность которого на 1 больше размерности изучаемого движущегося фронта. [c.75]

Действительно, пусть Ft(x,q) будет производящим семейством лежандрова отображения, зависящего от времени t. Тогда, рассматривая t как дополнительный параметр, мы можем рассматривать F как производящее семейство лежандрова отображения в g,t) пространство-время. Гиперповерхность в пространстве-времени, образованную фронтами в различные моменты времени, будем называть большим фронтом. [c.75]

Размерность алгебры Ли векторных полей, касающихся фронта лежандрова отображения (или дискриминанта группы отражений), бесконечна. Однако, мы можем построить конечномерную алгебру Ли, заменяя каждое векторное поле его линейной частью в нуле. В большинстве вычислений, использующих касающиеся фронтов векторные поля, достаточно знание этих конечномерных алгебр. В отличие от сворачивания полных инвариантов, алгебра линеаризованных сворачиваний допускает простое явное описание в терминах умножения в локальной градуированной алгебре соответствующей особенности. [c.87]

Топологические проблемы, связанные с естественными стратификациями пространств функций и отображений, очень трудны. В этой главе мы представим несколько конкретных результатов (как вещественных, так и комплексных). Проблемы, касающиеся топологических свойств типичных гладких, лагранжевых, лежандровых или гауссовых отображений, далеки от разрешения даже в размерности 2. Теорема о [c.113]

Общая схема построения лагранжевых и лежандровых характеристических классов, ассоциированных с особенностями, такова. Рассмотрим класс из классификации (А ,. ..) критических точек функций, то есть тип лагранжевых или лежандровых особенностей ( в обозначениях соответствует различным вещественным формам одной и той же комплексной особенности соответствующие отображения эквивалентны в комплексной области, но не эквивалентны в вещественной области, как для А3 а ). [c.125]

Подмногообразие в проективном пространстве определяет лежандрово подмногообразие в пространстве контактных злементов объемлющего проективного пространства оно образовано контактными элементами, содержащими касательное пространство исходного подмногообразия. Пространство контактных элементов проективного пространства расслоено над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляем содержащую его гиперплоскость). Это расслоение является лежандровым (см. 3.1, рис. 35). Лежандрово подмногообразие, образованное контактными элементами, касающимися исходного подмногообразия, определяет лежандрово отображение в двойственное проективное пространство. Образ этого отображения (то есть множество касающихся исходного подмногообразия гиперплоскостей) является фронтом зтого лежандрова отображения. Для краткости будем называть его фронтом исходного подмногообразия. Лежандрово отображение называется фронтальным отображением (ассоциированным с подмногообразием). [c.233]

Теорема 11 (см. [172]). Любой устойчивый росток лежандрова отображения коранга тп лежандрово эквивалентен ростку фронтального отображения, ассоциированного с некоторым т-мерным подмногообразием проективного пространства. Фронтальные отображения, ассоциированные с типичными кривыми, имеют только особенности Ак- Перестройки лежандровых отображений коранга тп, встречающиеся в типичных семействах с конечным числом параметров, лежандрово эквивалентны перестройкам фронтальных отображений, ассоциированных с т-мерными подмногообразиями проективных пространств. [c.234]

Арнольд В. И. Контактные многообразия, лежандровы отображения и особенности волновых фронтов. Успехи мат. наук 1974, 29 (4), 153-154. [c.324]

Все это вытекает из того, что эквидистанты — это фронты лежандровых отображений. Лежандровы отображения классифицируются критическими точками функций (рассматрива- [c.97]

Нехарактеристическое начальное условие задает интегральное п — 1-мерное подмногообразие I формы а (являющееся графиком отображения м = / (х), р = р (х), х е Г). Характеристики на Е., пересекающие /, образуют лежандрово подмногообразие в являющееся графиком отображения и = и (х), р = ди/дх. Полученная функция и (х) — решение уравнения Ф (х, ди дх, и) == О с начальным условием м г = /. [c.337]

Итак, проектхшно двойственная гладкой гиперповерхность есть фронт лежандрова отображения. [c.452]

Фронтальное отображение отложим на каждой нормали к гиперповерхности в евклидовом пространстве отрезок длины I. Мы получим лежандрово отображение, фронт которого — эк-видистанта данной гиперповерхности. [c.452]

Теорема (1973). Ростки лежандровыл отображений общего положения многообразий размерности 5 в каждой точке просит и устойчивы. Простые устойчивые ростки лежандровых отображений классифицируются группами А, В, Е их фронты локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порожденных отражениями. [c.452]

В 1981 г. А. Н. Варченко и А. Б. Гивенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора версального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевкли-дову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт. [c.456]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

Эта теорема справедлива для любой теории особенностей и гладких бордизмов (лагранжевых, лежандровых, обычных гладких отображений. ..), единственное ограничение состоит в том, что dim Ai dim N. Утверждения 4, 5 основной теоремы п. 2.2, относящиеся к кобордизмам расслоений, также обобщаются на случай мультиособениостей (в них надо использовать всевозможные пересечения множеств 2(f), определяемых по функци- [c.219]

Причина, по которой особенности подэр лежандровы (точнее, диффеоморфны фронтам лежандровых отображений), состоит в следующем. Евклидова структура позволяет отождествить исходное пространство с двойственным. Это отождествление позволяет не различать и пополненные (проективные) пространства. Подэра — это образ гиперповерхности,, проективно двойственной исходной, при инверсии. Поскольку инверсия — диффеоморфизм (вне нуля и бесконечно удаленной. гиперплоскости), особенности подэры такие же, как у гиперповерхности, проективно двойственной исходной. [c.99]

Многомерный случай. Об особенностях фронтов многомерных лежандровых отображений (следовательно, об особенностях эквидистант, двойственных гладким гиперповерхностей, преобразований Лежандра, подэр, первообразных и т. д.) мало что известно. Из общих теорем Варченко 29], (30], [31], [226], следует конечность числа негомеоморфных особенностей на типичных фронтах любой фиксированной размерности. Явной же топологической классификации пока нет уже для шестимерных фронтов. [c.100]

Определение. Проекция лежандрова подмногообразия пространства лежандрова расслоения в базу этого расслоения называется лежандро-вьш отображением (рис. 34). Образ лежандрова отображения называется его фронтом. [c.64]

В общей точке ребра возврата касательные плоскости лежандрова многообразия не вертикальны (не пересекают касательные плоскости слоёв). Однако, в некоторых точках ребра возврата они могут стать вертикальными (для типичной лежандровой поверхности с ребром возврата такие точки изолированы и соответствующее отображение ребра в лагранжев грассманиан контактной гиперплоскости трансверсально шлейфуй) лагранжевой плоскости, касающейся слоя). Эта ситуация порождает особенность Щ. [c.257]

Для изучения лежандровых проектирований и фронтов, соответствующих приведённым выше лагранжевым отображениям, контакти-зируем симплектическое пространство, лагранжево расслоение и лагранжево подмногообразие. Выберем кокасательное расслоение ( ) 9 в качестве локальной нормальной формы лагранжева расслоения. Контактизированным пространством является тогда пространство (р, 9 г) 1-струй функций, снабжённое контактной структурой dz = pdq. Лежандровым многообразием, соответствующим данному лагранжеву, является многообразие 1-струй (многозначной) производящей функции [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...