Расслоение лежандрово

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Согласно теореме, оба расслоения лежандровы. [c.66]

Возникающие таким образом лежандровы особенности можно описать аналогично лагранжевым (см. добавление 12). Лежандрово расслоение в 2п 1-мерном контактном многообразии — это расслоение, все слои которого — лежандровы п-мерные многообразия. Лежандровы особенности — это особенности проектирования п-мерных лежандровых подмногообразий 2п -Ь 1-мерного контактного многообразия на п -Ь 1-мерную базу лежандрова расслоения. [c.333]

Уп). Проекция х, у, ) у, ) задает лежандрово расслоение. [c.333]

Эквивалентностью лежандровых расслоений называется диффеоморфизм пространств расслоений, переводящий контактную структуру и слои первого расслоения в контактную структуру и слои второго. Можно доказать, что всякое лежандрово расслоение эквивалентно только что описанному специальному в окрестности каждой точки пространства расслоения. [c.333]

Контактная структура пространства расслоения задает на слоях локальную структуру проективного пространства. Лежандровы эквивалентности сохраняют эту структуру, т. е. задают локально проективные преобразования слоев. [c.333]

Проекции указанных здесь лежандровых многообразий на базу лежандрова расслоения (т. е. на пространство с координатами Ух, 1/2, ) имеют соответственно простую точку в случае А , ребро возврата в случае А и ласточкин хвост (см. рис. 246) в случае Л3. [c.334]

В частности, все контактные элементы, приложенные в одной точке, образуют лежандрово подмногообразие (слой расслоения контактных элементов). [c.450]

Расслоение называется лежандровым, если его слои лежандровы. [c.452]

Пр и м е р ы. 1. Проективное кокасательное расслоение (сопоставляющее контактному элементу его точку приложения) лежандрово. 2. Расслоение 1-струй функций над 0-струями (забывание производной) лежандрово. [c.452]

Все лежандровы расслоения фиксированной размерности локально контактно диффеоморфны (в окрестности точки пространства расслоения). [c.452]

Проектирование лежандрова подмногообразия на базу лежандрова расслоения называется лежандровым отображением. Образ лежандрова отображения называется фронтом. [c.452]

Пример 1. Слои расслоения РТ У V — лежандровы подмногообразия. [c.62]

Определение. Лежандровым расслоением называется расслоение с лежандровыми слоями. [c.62]

Пример 2. Расслоение J (M,R) J (M,R) пространства 1-струй функций над пространством 0-струй, определённое отображением забывания производных , (д,р, г) Ч- (д, г), является лежандровым расслоением. [c.63]

Спроектируем гиперплоскость, определяющую контактную структуру, из точки пространства лежандрова расслоения вдоль слоя на базу. Её образ есть контактный элемент к базе в точке, являющейся образом исходной точки. [c.63]

Таким образом мы сконструировали отображение из пространства лежандрова расслоения в пространство контактных элементов к базе. Это отображение является (локальным) диффеоморфизмом, так как невырожденность контактной структуры влечёт тот факт, что проекция гиперплоскости, задающей контактную структуру, вращается с ненулевой скоростью, когда точка пространства расслоения движется с ненулевой скоростью вдоль слоя. [c.63]

Это отображение переводит исходные контактную структуру и лежандрово расслоение в контактную структуру и естественное лежандрово расслоение пространства контактных элементов базы, что и доказывает теорему. [c.63]

Замечание. Слои лежандрова расслоения локально снабжены естественной проективной структурой (определённой в предыдущем доказательстве). Эта структура аналогична естественной аффинной структуре слоёв лагранжева расслоения симплектической геометрии. [c.63]

Проективная структура слоёв лежандрова расслоения имеет даже большее геометрическое содержание, так как любое отображение лежандровых расслоений (сохраняющее контактную структуру и слои) автоматически индуцирует единственное проективное отображение слоёв (определённое действием диффеоморфизма баз на контактных элементах к базам). В симплектическом случае аффинные отображения слоёв определены только с точностью до сдвигов. [c.63]

Обычно фронт является гиперповерхностью базового пространства лежандрова расслоения. Исключительные лежандровы подмногообразия (например, слои, чьи фронты — точки базы) образуют множество бесконечной коразмерности в пространстве всех лежандровых подмногообразий пространства расслоения. [c.64]

Рассмотрим лагранжево подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения некоторого многообразия. Оно может быть поднято (по крайней мере локально) до лежандрова подмногообразия многообразия 1-струй функций на выбранном многообразии [c.69]

Проекция р, q z) (q z) является лежандровым расслоением (контактная структура dz = р dq). [c.69]

Локально, приведённая выше конструкция описывает все лежандровы отображения. Лежандрова эквивалентность лежандровых отображений преобразуется в стабильную эквивалентность семейств гиперповерхностей 2 = F x,q) в х-пространстве (расслоенную над пространством параметров (q,z)). Понятие стабилизации аналогично данному в симплектическом случае для производящих семейств лагранжевых отображений. А именно, гиперповерхность Н х) = О стабильно [c.69]

Соответствующая одномерная задача проще точные лагранжевы кривые (то есть проекции компактных лежандровых кривых из пространства 1-струй функций на вещественной прямой в пространство кокасательного расслоения этой прямой) обязательно имеют точки самопересечения. [c.119]

В работах [106] и [107] определены десятки различных теорий кобордизмов (принимал во внимание или нет ориентацию лагранжевых и лежандровых многообразий, кобордизмов, баз расслоений и контактных элементов). Соответствующие группы были вычислены для кривых и поверхностей. [c.122]

Подмногообразие в проективном пространстве определяет лежандрово подмногообразие в пространстве контактных злементов объемлющего проективного пространства оно образовано контактными элементами, содержащими касательное пространство исходного подмногообразия. Пространство контактных элементов проективного пространства расслоено над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляем содержащую его гиперплоскость). Это расслоение является лежандровым (см. 3.1, рис. 35). Лежандрово подмногообразие, образованное контактными элементами, касающимися исходного подмногообразия, определяет лежандрово отображение в двойственное проективное пространство. Образ этого отображения (то есть множество касающихся исходного подмногообразия гиперплоскостей) является фронтом зтого лежандрова отображения. Для краткости будем называть его фронтом исходного подмногообразия. Лежандрово отображение называется фронтальным отображением (ассоциированным с подмногообразием). [c.233]

Таким образом мы пришли к задаче классификации лежандровых проекций лежандровых многообразий с полукубическим ребром возврата. Начнём с простейшего случая, в котором лежандрова кривая с полукубической точкой возврата проектируется на плоскость вдоль слоёв лежандрова расслоения. [c.256]

Рассмотрим лежандровы проекции лежандровых поверхностей с полукубическими рёбрами возврата. Само ребро является гладкой интегральной кривой распределения контактных плоскостей. Типичная интегральная кривая контактной структуры нигде не вертикальна. Следовательно, её проекция является гладкой кривой, которая локально может быть преобразована в прямую диффеоморфизмом базового 3-пространства. Объемлющее контактное многообразие и его лежандрово проектирование могут быть отождествлены с расслоением контактных элементов базы. Элементы, соответствующие ребру возврата, могут быть сделаны параллельными при помощи нового диффеоморфизма, сохраняющего описанную выше прямую. [c.257]

Рассмотрим типичное расслоение на плоскости базового 3-пространства. Фронт нашего лежандрова многообразия пересекает эти слои вдоль плоских кривых. Контактные элементы слоя, содержащие касательные направления к любой из таких кривых, образуют лежандрово многообразие в трёхмерном контактном пространстве контактных элементов плоскости. Это лежандрово многообразие является лежандровым краем исходной лежандровой поверхности. Оно имеет полукубическую точку возврата в точке, соответствующей ребру возврата исходной поверхности. [c.257]

Таким образом мы построили однопараметрическое семейство лежандровых кривых в пространствах лежандровых расслоений контактных элементов плоскости. В точке возврата любой кривой касательная прямая принадлежит контактной плоскости в этой точке. Для типичного значения параметра касательная прямая не вертикальна (не совпадает с направлением слоя). Однако, для некоторых значений параметра эта касательная становится вертикальной. В соответствующей точке появляется особенность Щ. [c.257]

Локально отождествим наше 3-пространство лежандрова расслоения с пространством 1-струй функций одной переменной, [c.258]

Ребро возврата является двумерной интегральной поверхностью контактной структуры 7-мерного объемлющего многообразия. Для особого лежандрова многообразия общего положения, в изолированных точках такая поверхность является вертикальной (касается слоя некоторого фиксированного лежандрова расслоения). [c.259]

Рассмотрим лежандрово расслоение [c.267]

Теорема. Все лежандровы расслоения одинаковой размерности локально (в окрестности точки пространства расслоения) лежандрово же ив алентны. [c.63]

Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассмотрим точку, где наше поле плоскостей невырождено (задает контактную структуру) . Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Значит, расслоение ле-жандрово (состоит из интегральных многообразий максимальной размерности). Все лежандровы расслоения в контактном пространстве фиксированной размерности локально контактно-морфны (переводятся друг в друга вместе с контактной структурой диффеоморфизмом в окрестности каждой точки пространства расслоения). Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным (над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [c.179]

Ч О контактных структурах и лежандровых расслоениях см. подробнее статью В. И. Арнольда и А. Б. Гивенталя в юйе 4 настоящего издания. Остальная часть 2 может читаться независимо от этой статьи. [c.179]

В 1981 г. А. Н. Варченко и А. Б. Гивенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора версального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевкли-дову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт. [c.456]

Эта теорема справедлива для любой теории особенностей и гладких бордизмов (лагранжевых, лежандровых, обычных гладких отображений. ..), единственное ограничение состоит в том, что dim Ai dim N. Утверждения 4, 5 основной теоремы п. 2.2, относящиеся к кобордизмам расслоений, также обобщаются на случай мультиособениостей (в них надо использовать всевозможные пересечения множеств 2(f), определяемых по функци- [c.219]

В случае более сложных особенностей 2 коцикл Л12, двойственный множеству трансверсального перес.ечения 2 с фронг том, уже может не совпадать с произведением коциклов, двойственных к фронту А-1 и циклу 2. Именно, пусть N—база лежандрова расслоения, то есть многообразие, содержащее фронт. Обозначим через [2] разность в Н (Ы, 2 ) между коциклами Л12 и Л1 >2. [c.221]

Пример 1. Проективизация коках ательного расслоения РТ У —) V, сопоставляющее контактному элементу его точку контакта, является лежандровым расслоением. [c.63]

Определение. Проекция лежандрова подмногообразия пространства лежандрова расслоения в базу этого расслоения называется лежандро-вьш отображением (рис. 34). Образ лежандрова отображения называется его фронтом. [c.64]

В случае лежандровых многообразий, вместо кобордизмов лежандровых иммерсий, можно просто рассматривать кобордизмы фронтов (так как лежандрово подмногообразие однозначно определяется своим фронтом). Единственное требование — трансверсальность кобордиэ-ма фронтов краю базы лежандрова расслоения, в котором находится соответствующее кобордиэму лежандрово подмногообразие (чтобы избежать ссылок на теорию трансверсальности стратифицированных особых многообразий, можно считать, что в некоторой окрестности края фронта кобордизм является прямым произведением этого края и полуинтервала). [c.117]

Обобщение теоремы о четырёх омбилических точках получил М.Э.Казарян [191]. Число таких особенностей с учётом специально выбранных знаков является топологическим инвариантом трёхмерных лагранжевых многообразий, оснащённых касательным векторным полем, имеющим регулярную проекцию на базу лагранжева расслоения. Он же [187] построил новые когомологические спектральные последовательности стратификаций лагранжевых или лежандровых иммерсий, учитывающие вместе с каждым лагранжевым (лежандровым) классом группу симметрий данной особенности и указал на связь теоремы о четырёх вершинах с циклическими гомологиями [197]. [c.157]

Из этого замечания вытекает, что кривая, проективно двойственная типичной плоской кривой с точкой возврата порядка 5/2, имеет особенность зтого же типа (автодвойственная особенность). Это неверно для некоторых нетипичных кривых например, для нормальной формы , определённой уравнением у = х в аффинных координатах. Действительно, соответствующая лежандрова кривая касается слоёв второго канонического лежандрова расслоения РТ Р -Н- Р . [c.256]

Для изучения лежандровых проектирований и фронтов, соответствующих приведённым выше лагранжевым отображениям, контакти-зируем симплектическое пространство, лагранжево расслоение и лагранжево подмногообразие. Выберем кокасательное расслоение ( ) 9 в качестве локальной нормальной формы лагранжева расслоения. Контактизированным пространством является тогда пространство (р, 9 г) 1-струй функций, снабжённое контактной структурой dz = pdq. Лежандровым многообразием, соответствующим данному лагранжеву, является многообразие 1-струй (многозначной) производящей функции [c.266]

Теорема 6. Любое типичное лежандрово расслоение пространства, содержащего лежандров раскрытый ласточкин хвост, локальным контактоморфизмом, приводящим раскрытый ласточкин хвост к указанной выше нормальной форме, приводится к указанному выше виду. [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...