Пространство симплектическое

Теорема. Дифференциальная 2 форма Q задает на комплексном проективном пространстве симплектическую структуру. [c.311]

Так как преобразование фазового пространства, задаваемое движениями гамильтоновой системы, является унивалентным каноническим преобразованием, то (см. п. 171) матрица Х( ) фундаментальных решений системы (3) является симплектической, т. е. при всех t справедливо равенство [c.548]

Можно отметить ряд новых направлений в современной математике, обладающих потенциальными возможностями применения к исследованию проблем механики. Данные направления в известной мере примыкают к тензорным дифференциально-геометрическим методам и теории римановых пространств, но в то же время связаны и с развивающимися за последние десятилетия новыми областями. Из них можно назвать теорию дифференцируемых многообразий, теорию расслоенных пространств, теорию внешних форм Картана и связанные с ней симплектические методы (например в гамильтоновой механике). [c.15]

Примером симплектического многообразия является кокасательное расслоенное пространство. Пусть М — конфигурационное пространство механической системы. Кокасательное расслоенное пространство Т М — фазовое пространство с системой локальных координат [c.54]

Более сложным путем вводится симплектическая структура на касательном расслоенном пространстве. Для ее введения рассмотрим ряд [c.54]

Фундаментальная форма. Введение дифференциальных.операций на касательных пространствах позволяет задать симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве и рассмотреть в дальнейшем лагранжевы динамические системы как векторные поля на ТМ или дифференциальные уравнения второго порядка на М. [c.57]

Эта форма степени 2 и класса 2п определяет симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве ТМ. [c.57]

В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [c.69]

Пара (М, Е) называется симплектическим (каноническим) многообразием. Функция f,g называется скобкой Пуассона функций /ид. Скобка Пуассона превращает линейное пространство С М) в бесконечномерную алгебру Ли над полем R. Ее центр (множество элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры) состоит лишь из постоянных функций. [c.19]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

Если функции щ не зависят от то уравнения (9.3), очевидно, гамильтоновы с гамильтонианом В. Фазовым пространством служит К" = х , а симплектическая структура задается формулой [c.60]

Усложним задачу, заменив стандартную симплектическую структуру ш = Y dpk Л dqk на фазовом пространстве Т замкнутой невырожденной 2-формой ш + ip, где ip — 2-форма на М. В локальных координатах 51, 52 она имеет вид X qi,q2)dqi Л dq2- [c.158]

Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть 2(т + /)-мер-ное фазовое пространство снабжено симплектической структурой dY dX+dZ dZ , где X = (Хг,..., Х,п) mod 2тг, F = (Fi,,.., Г ), [c.235]

Пусть — фазовое пространство, снабженное симплектической структурой Я = Яо + sHi + О(е ) —функция Гамильтона. Предположим, что при е = О гамильтонова система имеет т-мерный гиперболический тор (см. п. 5 9 гл. IV). Напомним, что в окрестности этого тора можно ввести симплектические координаты X mod 2тг, у, со следующими свойствами [c.252]

Симплектическое пространство. Рассмотрим г-мерное [c.304]

Теорема 1. Всякое симплектическое пространство имеет симплектический базис, в котором первый орт - произвольный ненулевой вектор. [c.305]

Ниже мы будем в основном использовать координатное представление симплектического пространства. [c.308]

Симплектические преобразования. Рассмотрим линейное преобразование В SR " SR векторов симплектического пространства. [c.308]

Пусть и - два вектора симплектического пространства, переводимые один в другой преобразованием В [c.310]

Доказательство вытекает из следуюгцей цепочки равенств, справедливой для любых векторов, 72 арифметического симплектического пространства [c.310]

Упражнение. Докажите, что столбцы симплектической матрицы Ш1 определяют некоторый симплектический базис в арифметическом пространстве Покажите, что из этого факта сразу следуют соотношения (2). [c.315]

Рассмотрим линейное преобразование 1 = , 2,...,п, пространства определяемое преобразованием векторов симплектического базиса 82т по следующим формулам [c.319]

Лемма 5. О стандартном симплектическом диффеоморфизме, сохраняющем одну координату. Рассмотрим два симплектических пространства Координатные векторы в этих пространствах обозначим через Z и Z. При этом будем использовать следующие обозначения (здесь и далее О, 9 и О - векторы) [c.322]

Скобки Пуассона. Пусть fl и Гг - два гладких отображения симплектического пространства в вещественную прямую К. Пусть г е координаты точек относительно какого- [c.360]

Линейные канонические преобразования. Линейные КП фазового пространства г г = Аг называются симплектическими, если А является матрицей, удовлетворяющей условию (26.4). [c.268]

Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). [c.142]

Симплектическая структура на многообразии — это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплектические структуры. [c.175]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

В. Гамильтоновы векторные поля. Риманова структура на многообразии устанавливает изоморфизм между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный изоморфизм. [c.177]

Пример. Рассмотрим координатное симплектическое пространство Л/ = К = р, q) , <0 = йр / йд = Зф Л В этом случае форма (а )" пропорциональна форме [c.180]

Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием ( фазовым пространством ), симплектической структурой на нем ( интегральным инвариантом Пуанкаре ) и функцией на нем ( функцией Гамильтона ). Каждая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. [c.142]

Теорема ). Кососкалярное произведение векторов , т) не зависит от выбора точки х и представителей т) и задает на приведенном фазовом пространстве симплектическую структуру. [c.342]

Пример. Пусть п= 1. Тогда симплектическим пространством будет плоскость R (2i22). Пусть каноническое отображение задается матрицей [c.237]

Идеи современной дифференциальной геометрии все шире проникают в аналитическую механику. В работах А. В. Арнольда [1], Абрахама 2], К. Годбийона [3] показано, что дифференциальная геометрия может рассматриваться как естественный фундамент классической механики. При этом четко разграничиваются два аспекта механики гамильтонов и лагранжев. Гамильтонова динамика связана с существованием симплектической структуры на кокасательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. Введение Клейном [4 специального дифференциального исчисления на касательном расслоении позволяет связать лагранжеву динамику с симплектической структурой касательного расслоения конфигурационного пространства. [c.51]

Рассматриваются математические понятия и операции на дифференцируемых многообразиях, необходимые для применения теории дефференцируемых многоообразий к лагранжевой динамике. Построение второго касательного расслоения и введение на нем специального дифференциального исчисления, предложенного Ж. Клейном, позволяет ввести симплектическую структуру на касательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. [c.123]

Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное пол з на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложныс неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [c.127]

Имеется еще один распространенный вариант определения симплектической структуры и гамильтоновой системы. Исходным пунктом здесь является замкнутая невырожденная 2-форма П на четномерном многообразии М. Форма П позволяет построить естественный изоморфизм касательного Т М и кокасательного Т М пространств вектору Т М ставится в соответствие ковектор [c.22]

Определение 4. Четпомерное векторное пространство па котором задано кососкалярное произведение, называется сим-плектическим пространством. Для симплектического 2т-мер-ного пространства мы будем иногда использовать обозначение [c.304]

Определение 5. Набор 83 называется симплектинеским базисом симплектического пространства. [c.305]

Тем самым любое арифметическое пространство с заданным на нем кососкалярным произведением является симплек-тическим пространством и его можно рассматривать, как координатное пространство некоторого абстрактного симплектического пространства относительно симплектического базиса Е2т- Путем фиксирования симплектического базиса в абстрактном векторном пространстве устанавливается изоморфизм этого пространства с симплектическим арифметическим пространством [c.308]

Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176]

Задача 7. Докажите, что в симплектическом пространстве всякая однопараметрическая группа канонических (сохраняющих dp Д йд) диффеоморфизмов всегда яеляется гамильтоновым потоком. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...