Особенности лежандровы

Лежандровы особенности типов А, П, Е устойчивы и просты (не имеют модулей). Типичные лежандровы отображения п многообразий размерности п < 5 имеют только простые и устойчивые особенности, лежандрово эквивалентные 2 , Е/ (1 < п + 1). Особенности типов Лр, E J, (и только они) являются простыми и устойчивыми и при больших п. [c.73]

Пример. Лагранжево многообразие, соответствующее Нк, имеет своей единственной особенностью обычное ребро возврата (г = 3). Следовательно, единственно возможной особенностью лежандрова многообразия, образованного касающимися дискриминанта Н4 контактными элементами, является полукубическое ребро возврата. Сложная особенность, изображённая на рис. 111, отражает тот факт, что проекция этого лежандрова 3-многообразия иэ 7-мерного пространства контактных элементов в 4-мерное пространство, содержащее дискриминант, не является типичной. [c.256]

Замечание. Таким образом, единственной особенностью лежандровой проекции типичной лежандровой кривой с полукубической точкой возврата являются точки возврата порядка 5/2 (в образе точек возврата проектируемой лежандровой кривой) и порядка 3/2 (в образе точек, в которых кривая гладкая, но направлена вертикально). [c.256]

Особенности лежандровых подмногообразий. Гладкое начальное условие называется регулярным, если оно не содержит особенностей световой гиперповерхности. [c.309]

Следует заметить, что это новое лежандрово многообразие может не быть семейством всех элементов, касательных к какому-либо гладкому многообразию, так как на волновом фронте могут возникать особенности. [c.333]

Возникающие таким образом лежандровы особенности можно описать аналогично лагранжевым (см. добавление 12). Лежандрово расслоение в 2п 1-мерном контактном многообразии — это расслоение, все слои которого — лежандровы п-мерные многообразия. Лежандровы особенности — это особенности проектирования п-мерных лежандровых подмногообразий 2п -Ь 1-мерного контактного многообразия на п -Ь 1-мерную базу лежандрова расслоения. [c.333]

Подставим в формулы предыдущей теоремы в качестве 5 функции из списка простейших лагранжевых особенностей, приведенного в добавлении 12. Получатся лежандровы особенности, сохраняющиеся при малых деформациях лежандрова отображения х, у, г) ь- - (у, г) (т. е. переходящие в эквивалентные при малой деформации функции 8). Всякое лежандрово отображение при тг < 6 малым шевелением превращается в такое, у которого все особенности локально эквивалентны особенностям полученного списка (1 /с < 6), (4 < /с 6), JБg. [c.334]

Всякое лежандрово отображение локально эквивалентно и преобразованию Лежандра, и фронтальному отображению. Теория лежандровых особенностей есть в точности теория особенностей преобразования Лежандра и волновых фронтов. Эквивалентность, устойчивость и простота лежандрова отображения определяется, как в лагранжевом случае. [c.452]

Д. Приложения контактной геометрии к симплектической. Все лагранжевы особенности можно получить из лежандровых, если реализовать последние проектированием лежандровых подмногообразий пространства 1-струй функций на пространство [c.453]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

В контактной геометрии с задачей об обходе препятствия связаны два лежандровых многообразия с особенностями многообразие контактны х элементов фронта и многообразие 1-струй функции времени. Первое из них диффеоморфно накрывает лагранжев открытый ласточкин хвост, второе диффеоморфно цилиндру под первым. [c.462]

Пример. Рассмотрим задачу об обходе препятствия на плоскости, ограниченного кривой с точкой перегиба. Фронты — эвольвенты кривой. Они имеют по две точки возврата обычная точка возврата (порядка 3/2) на самой кривой и особенность порядка 5/2 на касательной перегиба (рис. 264). В точке над кривой лежандрово многообразие неособо, а над точкой касательной перегиба лежандрово многообразие имеет точку возврата порядка 3/2. [c.462]

Теорема ([361]). Для любой лагранжевой иммерсии существует лежандрова иммерсия I М- -Р М, ) такая, что отображения ро1 и р о1 М- -Ы совпадают, а следовательно все лагранжевы особенности многообразия (М) совпадают с одноименными лежандровыми особенностями [c.220]

Причина график преобразования Лежандра проективно двойствен графику исходной, функции (при естественном пополнении аффинных пространств до проективных). Поэтому особенности графика преобразования Лежандра гладкой функции лежандровы (откуда и происходит термин). [c.99]

Следующие примеры симплектических структур на пространствах многочленов очень важны, поскольку они дают нам полезные нормальные формы особенностей лагранжевых и лежандровых многообразий. [c.10]

Каустики могут быть описаны как следы, заметаемые особенностями движущихся волновых фронтов. Теория особенностей волновых фронтов является частным случаем общей теории лежандровых особенностей контактной геометрии. Эта общая теория занимается классификацией особенностей преобразований Лежандра гладких функций и гиперповерхностей, дуальных гладким проективным поверхностям. [c.59]

Локально, любое лежандрово отображение эквивалентно отображению примера 1, а также отображению примера 2. Фронт (лежандрова отображения подмногообразия в или РТ У) единственным образом определяет лежандрово отображение (исключая множество отображений бесконечной коразмерности в пространстве всех лежандровых отображений). Следовательно (локальная) теория лежандровых особенностей совпадает с теорией особенностей преобразований Лежандра, а также с теорией особенностей эквидистант гиперповерхностей. [c.67]

Общая теория лежандровых особенностей позволяет трансформировать любой результат геометрии волновых фронтов (эквидистант гиперповерхностей) в результат геометрии преобразований Лежандра и наоборот. Ясно, что их можно применять и в случаях, где контактная структура не так очевидна. [c.67]

Задача. Докажите, что особенности педальных к типичным гиперповерхностям совпадают (с точностью до диффеоморфизма) с. особенностями фронтов типичных лежандровых отображений (и, следовательно, с особенностями двойственных гиперповерхностей для типичных [c.67]

Задача. Докажите, что особенности огибающих нормальных гиперплоскостей, построенных по типичной гиперповерхности, диффеоморфны особенностям фронтов типичных лежандровых особенностей (и, следовательно, особенностям типичных волновых фронтов, графиков преобразований Лежандра и педальных гиперповерхностей). [c.68]

Классификация лежандровых особенностей сводится к изучению семейств гиперповерхностей таким же образом, каким изучение лагранжевых особенностей было сведено к классификации семейств функций. [c.69]

Рис. 39. Лежандрова особенность А2 и её производящее семейство

Типичные лежандровы отображения многообразий размерности п > 5 имеют, кроме особенностей типов Л, П, Е, и другие особенности, имеющие модули (непрерывные инварианты). Более подробно классификация лежандровых особенностей описана в [94], [28], [29]. [c.73]

Размерность алгебры Ли векторных полей, касающихся фронта лежандрова отображения (или дискриминанта группы отражений), бесконечна. Однако, мы можем построить конечномерную алгебру Ли, заменяя каждое векторное поле его линейной частью в нуле. В большинстве вычислений, использующих касающиеся фронтов векторные поля, достаточно знание этих конечномерных алгебр. В отличие от сворачивания полных инвариантов, алгебра линеаризованных сворачиваний допускает простое явное описание в терминах умножения в локальной градуированной алгебре соответствующей особенности. [c.87]

Теории лагранжевых и лежандровых особенностей тесно связаны с глобальными топологическими проблемами, касающимися вопросов сосуществования различных особенностей и их связи с топологией многообразия, на котором они лежат. [c.113]

Списки перестроек лагранжевых и лежандровых особенностей ( 2.3 и 3.3) позволяют явным образом вычислить группы кобордизмов в малых размерностях. [c.117]

Лагранжевы и лежандровы характеристические классы — это классы когомологий замкнутых (компактных, без края) лагранжевых и лежандровых многообразий, двойственные многообразиям лагранжевых (лежандровых) особенностей. Соответствующие характеристические числа инвариантны относительно лагранжевых (лежандровых) кобордизмов. [c.124]

Общая схема построения лагранжевых и лежандровых характеристических классов, ассоциированных с особенностями, такова. Рассмотрим класс из классификации (А ,. ..) критических точек функций, то есть тип лагранжевых или лежандровых особенностей ( в обозначениях соответствует различным вещественным формам одной и той же комплексной особенности соответствующие отображения эквивалентны в комплексной области, но не эквивалентны в вещественной области, как для А3 а ). [c.125]

Подобная теория для лежандровых особенностей начинается с более грубой, по сравнению с использовавшейся выше -эквивалентностью, классификации критических точек функций. [c.128]

На лежандровом крае число особенностей данного типа (соответствующей коразмерности) чётно. Число особенностей типов Еу и Рд (с учётом знаков) на лежандровых краях ориентированных лежандровых многообразий равно нулю. [c.129]

Эти соотношения не исчерпывают все ограничения на сосуществование особенностей на лежандровых и лагранжевых многообразиях. Например, число ласточкиных хвостов (Л3) на двумерном фронте чётно, так как линия самопересечения, начинающаяся в вершине одного ласточкина хвоста, заканчивается в вершине другого. [c.129]

Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже хиагаи, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек. [c.6]

Другие применения формулы настоящего раздела находят в теории лежандровых особенностей, то есть особенностей волновых фронтов, преобразований Лежандра, огибающих и выпуклых оболочек (см. добавление 4, стр. 333). Теории лагранжевых и лежандровых особенностей имеют очевидные приложения не только в геометрической оптике и теории асимптотик осциллирующих интегралов, го и в вариационном исчислении, в теории раз- [c.421]

В 1981 г. А. Н. Варченко и А. Б. Гивенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора версального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевкли-дову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт. [c.456]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

Здесь обсуждаются другие приложения теорий лагранжевых и лежандровых особенностей — к исследованию взаимного расположения проективного многообразия и касающихся его плоскостей различных размерностей. К этим вопросам приводят как вариационные задачи с односторонними ограничениями (например, задача об обходе препятствия), так и исследование показателей крутизны Нехорошева невозмущенной функции Гамильтона (см. добавление 8). [c.456]

Универсальные комплексы лагранжевых и лежандровых особенностей. Эти комплексы строятся по классам лагранжевых особенностей и определяют лагранжевы характеристические классы, то есть инварианты введенного в [9] лагранжева кобордизма. Именно, для любого т-мерного коцикла aiEi+. .. [c.213]

Эта теорема справедлива для любой теории особенностей и гладких бордизмов (лагранжевых, лежандровых, обычных гладких отображений. ..), единственное ограничение состоит в том, что dim Ai dim N. Утверждения 4, 5 основной теоремы п. 2.2, относящиеся к кобордизмам расслоений, также обобщаются на случай мультиособениостей (в них надо использовать всевозможные пересечения множеств 2(f), определяемых по функци- [c.219]

В случае более сложных особенностей 2 коцикл Л12, двойственный множеству трансверсального перес.ечения 2 с фронг том, уже может не совпадать с произведением коциклов, двойственных к фронту А-1 и циклу 2. Именно, пусть N—база лежандрова расслоения, то есть многообразие, содержащее фронт. Обозначим через [2] разность в Н (Ы, 2 ) между коциклами Л12 и Л1 >2. [c.221]

Здесь описаны некоторые приложения классификации критических точек функций в геометрии, приводящие к лежандро-вым особенностям (см. о них в обзоре Симплектическая геометрия , т. 4 настоящей серии). Теория лежандровых особенностей опубликована в 1974 г. (см. [105], (9]). [c.97]

Причина, по которой особенности подэр лежандровы (точнее, диффеоморфны фронтам лежандровых отображений), состоит в следующем. Евклидова структура позволяет отождествить исходное пространство с двойственным. Это отождествление позволяет не различать и пополненные (проективные) пространства. Подэра — это образ гиперповерхности,, проективно двойственной исходной, при инверсии. Поскольку инверсия — диффеоморфизм (вне нуля и бесконечно удаленной. гиперплоскости), особенности подэры такие же, как у гиперповерхности, проективно двойственной исходной. [c.99]

Многомерный случай. Об особенностях фронтов многомерных лежандровых отображений (следовательно, об особенностях эквидистант, двойственных гладким гиперповерхностей, преобразований Лежандра, подэр, первообразных и т. д.) мало что известно. Из общих теорем Варченко 29], (30], [31], [226], следует конечность числа негомеоморфных особенностей на типичных фронтах любой фиксированной размерности. Явной же топологической классификации пока нет уже для шестимерных фронтов. [c.100]

Згкмечание. Одномерный фронт является проекцией пространственной кривой на плоскость. Проекция типичной кривой не имеет точек возврата (рис. 42). Лежандрова природа нашей кривой делает проекцию более особой чем в общем случае (и точки возврата становятся неустранимыми). Это — проявление общего принципа особенности притягивают особенности. Действительно, лежандрово многообразие является проекцией множества критических (особых) точек функций производящего семейства. [c.74]

Стратификация пространства функций даёт возможность определить комплексы, для которых клетки различных размерностей являются типами особенностей соответствующих коразмерностей. Гомологии этих комплексов порождают лагранжевы и лежандровы характеристические классы. Однако, эти комплексы (и спектральные последовательности, ассоциированные с мультиособенностями) сами по себе важнее, чем их гомологии они содержат, в концентрированной форме, обширную информацию, касающуюся примыканий друг к другу различных типов особенностей. [c.113]

Подобные реэультаты верны и для лежандровых особенностей. Например, число особенностей типа Ае (принимая во внимание знаки) на замкнутом, ориентированном лежандровом подмногообразии пространства 1-струй функций на К , совпадает с числом особенностей типа Е . Эти числа совпадают также для ориентируемо кобордантных лежандровых многообразий. Для замкнутых лежандровых подмногообразий соответствующих размерностей (разумеется, здесь и ниже, предполагается, что лагранжевы и лежандровы подмногообразия [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...