Уравнения мелкой воды

Уровень знаний и недостаточность соответствующих данных во многих случаях не оправдывают применение более сложных математических моделей для исследования течений в прибрежных водах, в озерах н т. д., чем модели, основанные на численном решении двухмерных уравнений, полученных путем применения осредненных по вертикали характеристик (так называемых уравнений мелкой воды). Трехмерные же решения на данном этапе нецелесообразны, так как они потребовали бы большое количество дополнительной информации и машинного времени. [c.204]

Эти трудности могут быть устранены при упрощениях, в результате которых получаются уравнения мелкой воды. Первое упрощение заключается в том, что уравнение количества движения в проекции на ось записывается в виде [c.205]

УРАВНЕНИЯ МЕЛКОЙ ВОДЫ [c.92]

В невозмущенной глубине Яо (х, у) учитьшается эффект неровности дна жидкости. Систему уравнений (5.4), (5.5) называют уравнениями мелкой воды. [c.93]

Поскольку в этом приближении ц не зависит от у и т]( = отсюда следует (13.78). Уравнения (13.77) и (13.78) для т] (х, 1) и и (х, ) называются уравнениями мелкой воды. (Уравнения (3.37) получаются отсюда, если (13.77) переписать в виде ддг /дх = г= gдh дx — дБ, где 8 = дЬ,д дх — уклон дна, и добавить член, описывающий трение.) [c.438]

Интересно, что уравнения мелкой воды (13.79) допускают бесконечное число законов сохранения общего вида [c.442]

Уравнения мелкой воды (13.79) после линеаризации дают (13.74). Если к уравнениям (13.79) мы смогли бы добавить дополнительный линейный член так, чтобы их линейный вариант давал уравнение (13.90), то получили бы систему, включаюш,ую как нелинейные эффекты относительного порядка а/кд (где а — характерная амплитуда), так и дисперсионные эффекты относительного порядка к /Р. Это легко сделать, причем суш,ествуют различные формы, которые в желаемом приближении эквивалентны. Если мы предпочтем добавить член хк хх во второе из уравнений (13.79), то линеаризованные уравнения дадут [c.443]

Для нелинейных уравнений мелкой воды (13.79) волны, движущиеся вправо в невозмущенную воду глубины h , имеют инвариант Римана [c.445]

Если опустить все члены с р и продифференцировать второе уравнение по X, то получатся нелинейные уравнения мелкой воды [c.447]

Уравнение Кортевега — де Фриза. Кортевег и де Фриз [3] получили выражение для волн, распространяющихся только в одном направлении Его можно получить как решение типа простых волн для уравнений мелкой воды, подправленных за счет дисперсионного члена третьего порядка в уравнениях (15). Можно проверить, что соотношения [c.16]

Таким образом, имея уравнение (3-1), можно узнать как историю движения частицы жидкости, так и ее будущее . Этот способ описания движения жидкости дан Эйлером, но известен в гидродинамике под названием способа Лагранжа, ввиду того что сам Эйлер мало пользовался им, а Лагранж применил его к своей теории распространения волн на мелкой воде. [c.43]

Система (5-56) при средней скорости течения Шо=0 и угле наклона к горизонту 7 = 0 переходит в уравнения теории мелкой воды , учитывающей трение потока [c.115]

Эти же уравнения для v = 1, 2, если положить р = (g — ускорение силы тяжести), определяют движение мелкой воды , рассмотренное выше другим способом. [c.88]

Влияние рельефа дна. В гл. I мы видели, что в рамках линейной теории мелкой воды распространение волн описывается акустическим уравнением [c.310]

Если толщина слоя /г мала по сравнению с длиной волны возмущения, то уравнения движения можно заменить приближенными точно так, как это сделано в гл. I для задачи о мелкой воде. Различие будет лишь в том, что ускорение силы тяжести д во всех соотношениях заменится на —а (в рассматриваемой здесь задаче ускорение направлено вверх). В частности, для [c.380]

Чередование положительных и отрицательных валов приводит, очевидно, к образованию волн. Скорость распространения таких волн на основании уравнения (74) не зависит от формы волны. Следовательно, длинные волны на мелкой воде распространяются со скоростью [c.138]

Длинные волны конечной амплитуды. Волны на грелкой воде. Разрушение плотины. При выводе в 27 основных уравнений для длинных волн мы сделали три допущения допущение о возможности пренебречь вертикальными ускорениями, допущение о возможности пренебречь вертикальными силами, кроме силы тяжести, и допущение о малости амплитуд колебаний частиц жидкости. В этом параграфе мы снимем третье допущение и рассмотрим длинные волны конечной амплитуды. Примерами задач, сюда относящимися, будут разрушение плотины, разрушение волны, обтекание берега или препятствия в случае мелкой воды и т. п. В этих задачах допущение о малости амплитуд будет приводить к неточности, в то время как остальные допущения теории длинных волн оправданы. [c.553]

Теория нестационарных плановых течений в открытых руслах, по существу, совпадает с двумерной теорией длинных волн (или мелкой воды), областью приложений которой являются, например, задачи о приливных течениях, о волнах цунами. Однако в гидравлических задачах роль нелинейных членов, как правило, гораздо более существенна, и поэтому линеаризация уравнений, часто применяемая в задачах океанологии, здесь возможна гораздо реже. [c.750]

В 4.2 строится двумерная (в плане) модель мелкой воды, являющаяся обобщением одномерной модели третьей главы. Получены предельные уравнения при /ii, /12 0. [c.13]

Согласно обычным представлениям в теории мелкой воды будем считать, что касательная к дну компонента скорости жидкости слабо меняется по глубине, при этом, в силу уравнения неразрывности, нормальная к дну компонента скорости изменяется с глубиной от нуля до некоторого значения на поверхности [c.54]

Выше уже отмечалось, что построенная в гл. 2 схема на регулярной сетке дает пример дискретной математической модели, которая при детальной пространственной дискретизации является конечномерным аналогом полных уравнений Эйлера, а при более грубой — нелинейно-дисперсионных уравнений мелкой воды. Оказывается, однако, что в рамках такого дискретного подхода можно непосредственно построить более простую нелинейнодисперсионную модель мелкой воды (Франк 1994), которая, как и в непрерывном случае, имеет меньшую размерность и, поэтому, более удобна и экономична при моделировании длинных волн. [c.54]

На рис. 1 приведена серия картинок, демонстрируюгцих накат уединенной волны амплитуды а = О, 019 на пологий откос с котангенсом угла наклона 19,85. Профили возвышения свободной поверхности выведены с интервалом At = 5. Результаты численных расчетов по дискретной модели (сплошная кривая) сравниваются с экспериментальными точками и приближенным решением уравнений мелкой воды (пунктир) из работы Synolakis, 1987. На рис. 2 для этой задачи приведены расчетные (пунктир) зависимости от времени возвышения свободной поверхности в [c.65]

Здесь уместно отметить, что данная дискретная модель (равно как и другие нелинейно-диснерсионные модели) из-за учета дисперсии обладает сугцественно более п1прокой областью применимости, чем обычные уравнения мелкой воды. Тем самым она пригодна для сквозного расчета распространения и наката на берег длинных волн, с учетом их трансформации на неровном дне. Отметим егце, что нри лагранжевом подходе не возникает сложностей с граничными условиями на линии уреза, особенно характерным для моделей с дисперсией. [c.69]

Пример 7.1. Рассмотренные выше схемы численного интегрирования использованы для модели циркуляции воды в Массачусетском заливе [1 ]. После ряда предварительных пробных расчетов для интегрирования была выбрана схема Руиге — Кутта. Система уравнений мелкой воды отличалась от рассмотренной ранее тем, что в уравнениях равновесия были отброшены конвективные члены. Это упрощение оправдано во многих задачах циркуляции воды в мелководных бассейнах [5. [c.214]

Всегда может случиться, что длина волн на поверхности сравнима с размерами нерегулярностей дна. Мак-Голдрик [397] для изучения общей задачи о длинных волнах над синусоидальным дном применил линеаризованные уравнения мелкой воды, не накладывая ограничений на длину волны и на амплитуду и горизонтальный масштаб нерегулярностей дна. Единственное ограничение состояло в том, чтобы гребни волн дна не выступали над поверхностью воды в этом случае задача о прогрессивных волнах теряет смысл, переходя в задачу о сейшах. [c.142]

Волны в атмосфере и океане имеют сходство с волнами в плазме. Например, Р.З. Сагдеев отметил сходство между ионно-звуковыми и магнитозвуковыми солитонами, с одной стороны, и солитонами длинных гравитационных волн на воде — с другой [0.1]. Особый интерес представляет сходство волн Россби в атмосфере с дрейфовыми волнами в плазме. Волны Россби являются продолжением ветви звуковых и длинных гравитационных волн. Когда длина звуковых волн в атмосфере больше ее глубины, сжимаемость воздуха становится несущественной. Роль сжимаемости начинает играть изменение эффективной глубины в гравитационном поле. При этом звуковая ветвь плавно переходит в ветвь длинных гравитационных волн. В гравитационных волнах колебания частиц происходят вдоль горизонтального компонента градиента возмущения давления. Различают баротропные и внутренние моды, В баротропной моде фаза осцилляций частиц не зависит от высоты, а во внутренней она существенно меняется с высотой. Баротропные моды в атмосфере и океанах описываются системой уравнений мелкой воды с добавлением силы Кориолиса [c.26]

В ряде случаев крупномасштабные течения в атЛюсфере хорошо описываются уравнениями мелкой воды. Они выводятся из трехмерных уравнений гидродинамики в предположении постоянства плотности и малой глубины по сравнению с горизонтальными размерами возмущений [c.92]

Уравнения, описьшающие волны на мелкой воде, исторически хорошо известны и изучены. Достаточно отметить, что уравнение КдФ произошло из этих уравнений. Крупномасштабные возмущения в атмосфере, казалось бы, должны описьшаться такими же уравнениями. Однако, как показано ниже, здесь имеются некоторые особенности. Обычно считается, что длинные волны в атмосфере описьшаются уравнениями мелкой воды (5.5), (5.6). При этом предполагается, что давление и температура меняются подобно друг другу. Однако, как видно из синоптических карт, это предположение вьшолняется не всегда. Приведем простой вьшод уравнений мелкой атмосферы с учетом этого отличия [5.3]. Во вращающейся системе координат, связанной с планетой, уравнения атмосферы имеют вид [c.94]

Уравнения (5.16), (5.19), (5.20) составляют полную систему мелкой атмосферы. Видно, что сжимаемостью атмосферы в длинных волнах нельзя пренебречь из-за конечности у. Эта система переходит в уравнения мелкой, воды (5.5), (5.6) при 7 и рг, = onst. При этом [c.95]

Хотя уравнение Кортевега — де Фриза и дает уединенные волны и кноидальные цуги волн, оно не является адекватным для получения волн наибольшей высоты со стоксовым углом 120° при вершине. Более того, здесь теряется явление опрокидывания волн с образованием боры, описываемое уравнениями мелкой воды, поскольку представляется очевидным, что член г ххх всегда будет препятствовать опрокидыванию (хотя, по-видимому, это еще не доказано). Оба эти явления представляют собой высокочастотные эффекты, утрачиваемые в длинноволновом разложении хЛо < 1. Уравнение (67) с этой точки зрения не имеет ограничений. [c.36]

У длинных нелинейных волн на мелкой воде скорость движения любой точки профиля растёт с высотой, поэтому вершина волны догоняет её подножие в результате крутизна переднего склона волны непрерывно увеличивается. Для относительно невысоких волн этот рост крутизны останавливает дисперсия, связанная с конечностью глубины водоёма такие волны описываются Кортевега—де Фриса уравнением. Стационарные волны на мелководье могут быть периодическими или уединёнными (см. Солитон), для них также существует критич. высота, при к-рой они обрушиваются. На распространение длинных волн существ, влияние оказывает рельеф дпа. Так, подходя к пологому берегу, волны резко тормозятся и обрушиваются (прибой) при входе волны из моря в русло реки возможно образование крутого пенящегося фронта — бора, продвигающегося вверх но роке в виде отвесной стены. Волны цунами в районе очага землетрясения, их возбуждаю- [c.332]

В нелинейных системах суждение о Д. в, может быть составлено на основе представлений об инерционности и нелокальности линейных взаимодействий (соответствующие свойства нелинейных взаимодействий иногда квалифицируют как нелокальность нелинейности). Примером, объединяющим нелинейность и дисперсию, может служить класс физ. явлений, описываемых Кортевега — де Фриса уравнением, впервые полученным (1895) для волн па мелкой воде [c.646]

Кор,тевега — де Фриса уравнение (D l) S

законы сохранения энергии [c.260]

Общее заключение об опрокидывании волны есть следствие. нелинейного члена в уравнении Навье-Стокса и не связано с конкретным выбором начального профиля волны, а также с конкретным примером мелкой воды. Кроме того, мы получили, что любая сколь угодно слабая волна за достаточно длительное время опрокидывается. Чем меньше амплитуда волны, тем больше это время. При фиксированной амплитуде скорости время опрокидывания растёт с ргостом длины волны (см. (18) ). [c.41]

Интересно отметить, что при грубом прострапствеппом разрешении модель обладает излишней дисперсией, а закон дисперсии при определенных параметрах сетки очень близок к диснерсион-ной кривой для уравнений Буссинеска. При большом разрешении закон дисперсии стремится к точному. Таким образом данная дискретная модель может являться своеобразным мостиком между приближенными моделями теории мелкой воды и точной постановкой. Причем этот переход осугцествляется простым увеличением числа степеней свободы. [c.11]

Интересно отметить, что при грубом прострапствеппом разрешении модель обладает излишней дисперсией. Избыточная дисперсия характерна для большинства нелинейно-дисперсионных моделей в теории мелкой воды. Более того, оказалось, что кривая при ТУ = 4 на рис. 2 практически совпадает с дисперсиоппой кривой для уравнений Буссинеска [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...