Многообразие лежандрово

Возникающие таким образом лежандровы особенности можно описать аналогично лагранжевым (см. добавление 12). Лежандрово расслоение в 2п 1-мерном контактном многообразии — это расслоение, все слои которого — лежандровы п-мерные многообразия. Лежандровы особенности — это особенности проектирования п-мерных лежандровых подмногообразий 2п -Ь 1-мерного контактного многообразия на п -Ь 1-мерную базу лежандрова расслоения. [c.333]

Если т) (0) касается /, то i/ (0) = а (т) (0)) = 0. Значит, у (i)= = а (t) (i)) = О, т. е. т) (i) при всех t лежит в контактной плоскости. Следовательно, g I — интегральное многообразие контактного поля. Поэтому образованное всеми g4 при малых t многообразие лежандрово. Теорема доказана. [c.336]

Арнольд В. И. Контактные многообразия, лежандровы отображения и особенности волновых фронтов. Успехи мат. наук 1974, 29 (4), 153-154. [c.324]

Определение. Лежандровым подмногообразием контактного 2п -Ь 1-мерного многообразия называется и-мерное интегральное многообразие поля контактных плоскостей. [c.331]

Пример 1. Множество всех контактных элементов, касающихся подмногообразия любой размерности в т-мерном многообразии, является лежандровым т — 1-мерным подмногообразием 2то — 1-мерного контактного многообразия всех вообще контактных элементов. [c.332]

Теорема. Диффеоморфизм одного контактного многообразия на другое, переводящий контактные плоскости в контактные, переводит каждое лежандрово многообразие в лежандрово. [c.332]

В частности, под действием инволюции Лежандра лежандрово подмногообразие касательных к графику функции плоскостей переходит в новое лежандрово многообразие. Это новое многообразие называется преобразованием Лежандра исходного. [c.332]

Следует заметить, что это новое лежандрово многообразие может не быть семейством всех элементов, касательных к какому-либо гладкому многообразию, так как на волновом фронте могут возникать особенности. [c.333]

Проекции указанных здесь лежандровых многообразий на базу лежандрова расслоения (т. е. на пространство с координатами Ух, 1/2, ) имеют соответственно простую точку в случае А , ребро возврата в случае А и ласточкин хвост (см. рис. 246) в случае Л3. [c.334]

Примеры. 1. Множество всех контактных элементов, касающихся фиксированного подмногообразия (любой размерности) — лежандрово многообразие. [c.450]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

В контактной геометрии с задачей об обходе препятствия связаны два лежандровых многообразия с особенностями многообразие контактны х элементов фронта и многообразие 1-струй функции времени. Первое из них диффеоморфно накрывает лагранжев открытый ласточкин хвост, второе диффеоморфно цилиндру под первым. [c.462]

Пример. Рассмотрим задачу об обходе препятствия на плоскости, ограниченного кривой с точкой перегиба. Фронты — эвольвенты кривой. Они имеют по две точки возврата обычная точка возврата (порядка 3/2) на самой кривой и особенность порядка 5/2 на касательной перегиба (рис. 264). В точке над кривой лежандрово многообразие неособо, а над точкой касательной перегиба лежандрово многообразие имеет точку возврата порядка 3/2. [c.462]

Теорема ([361]). Для любой лагранжевой иммерсии существует лежандрова иммерсия I М- -Р М, ) такая, что отображения ро1 и р о1 М- -Ы совпадают, а следовательно все лагранжевы особенности многообразия (М) совпадают с одноименными лежандровыми особенностями [c.220]

Следующие примеры симплектических структур на пространствах многочленов очень важны, поскольку они дают нам полезные нормальные формы особенностей лагранжевых и лежандровых многообразий. [c.10]

Определение. Лежандровым подмногообразием контактного многообразия называется интегральное подмногообразие максимальной размерности (равной п для (2та-(- 1)-мерного контактного многообразия). [c.62]

Пример 2. Множество 1-струй любой функции на М является лежандровым подмногообразием многообразия (М, К) 1-струй функций на М. [c.62]

Вместо гиперповерхности Я мы могли бы взять подмногообразие произвольной размерности в проективном пространстве оно всегда определяет лежандрово отображение. Например, фронт кривой в проективном пространстве (то есть фронт соответствующего лежандрова отображения) есть многообразие касающихся этой кривой гиперплоскостей. [c.66]

Рассмотрим лагранжево подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения некоторого многообразия. Оно может быть поднято (по крайней мере локально) до лежандрова подмногообразия многообразия 1-струй функций на выбранном многообразии [c.69]

Лежандровы особенности типов А, П, Е устойчивы и просты (не имеют модулей). Типичные лежандровы отображения п многообразий размерности п < 5 имеют только простые и устойчивые особенности, лежандрово эквивалентные 2 , Е/ (1 < п + 1). Особенности типов Лр, E J, (и только они) являются простыми и устойчивыми и при больших п. [c.73]

Типичные лежандровы отображения многообразий размерности п > 5 имеют, кроме особенностей типов Л, П, Е, и другие особенности, имеющие модули (непрерывные инварианты). Более подробно классификация лежандровых особенностей описана в [94], [28], [29]. [c.73]

Замечание. Некоторые из описанных выше перестроек фронтов не реализуемы при распространении волновых фронтов. В самом деле, нетривиальные перестройки Ах и А2 изменяют число связных компонент соответствующего лежандрова многообразия. Следовательно, они не могут появиться как перестройки эквидистант гиперповерхностей. [c.80]

Теории лагранжевых и лежандровых особенностей тесно связаны с глобальными топологическими проблемами, касающимися вопросов сосуществования различных особенностей и их связи с топологией многообразия, на котором они лежат. [c.113]

Простейшим примером является теория Морса, связывающая критические точки функций на многообразии с топологией этого многообразия. Лагранжевы и лежандровы многообразия в некотором смысле являются обобщениями функций (а именно многозначных функций). Таким образом, лагранжева и лежандрова топология является, в некотором смысле, обобщением теории Морса на многозначные функции. В этой главе мы опишем лагранжевы и лежандровы кобордизмы (проявляющиеся в геометрической оптике как соотношения между волновым полем в области и его следом на границе этой области). Инвариантами этих кобордизмов являются лагранжевы и лежандровы характеристические числа, определённые соответствующими характеристическими классами когомологий. [c.113]

Спроектированное лежандрово многообразие называется лежандровым краем исходного многообразия. [c.115]

В работах [106] и [107] определены десятки различных теорий кобордизмов (принимал во внимание или нет ориентацию лагранжевых и лежандровых многообразий, кобордизмов, баз расслоений и контактных элементов). Соответствующие группы были вычислены для кривых и поверхностей. [c.122]

Лагранжевы и лежандровы характеристические классы — это классы когомологий замкнутых (компактных, без края) лагранжевых и лежандровых многообразий, двойственные многообразиям лагранжевых (лежандровых) особенностей. Соответствующие характеристические числа инвариантны относительно лагранжевых (лежандровых) кобордизмов. [c.124]

На лежандровом крае число особенностей данного типа (соответствующей коразмерности) чётно. Число особенностей типов Еу и Рд (с учётом знаков) на лежандровых краях ориентированных лежандровых многообразий равно нулю. [c.129]

Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассмотрим точку, где наше поле плоскостей невырождено (задает контактную структуру) . Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Значит, расслоение ле-жандрово (состоит из интегральных многообразий максимальной размерности). Все лежандровы расслоения в контактном пространстве фиксированной размерности локально контактно-морфны (переводятся друг в друга вместе с контактной структурой диффеоморфизмом в окрестности каждой точки пространства расслоения). Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным (над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [c.179]

Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже хиагаи, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек. [c.6]

Следствие. Семейство всех касательных к волновому фронту элементов преобразуется под действием геодезического потока за время i снова в лежандрово многообразие пространстеа всех контактных элементов. [c.333]

Теорема (1973). Ростки лежандровыл отображений общего положения многообразий размерности 5 в каждой точке просит и устойчивы. Простые устойчивые ростки лежандровых отображений классифицируются группами А, В, Е их фронты локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порожденных отражениями. [c.452]

Здесь обсуждаются другие приложения теорий лагранжевых и лежандровых особенностей — к исследованию взаимного расположения проективного многообразия и касающихся его плоскостей различных размерностей. К этим вопросам приводят как вариационные задачи с односторонними ограничениями (например, задача об обходе препятствия), так и исследование показателей крутизны Нехорошева невозмущенной функции Гамильтона (см. добавление 8). [c.456]

В случае более сложных особенностей 2 коцикл Л12, двойственный множеству трансверсального перес.ечения 2 с фронг том, уже может не совпадать с произведением коциклов, двойственных к фронту А-1 и циклу 2. Именно, пусть N—база лежандрова расслоения, то есть многообразие, содержащее фронт. Обозначим через [2] разность в Н (Ы, 2 ) между коциклами Л12 и Л1 >2. [c.221]

Згкмечание. Одномерный фронт является проекцией пространственной кривой на плоскость. Проекция типичной кривой не имеет точек возврата (рис. 42). Лежандрова природа нашей кривой делает проекцию более особой чем в общем случае (и точки возврата становятся неустранимыми). Это — проявление общего принципа особенности притягивают особенности. Действительно, лежандрово многообразие является проекцией множества критических (особых) точек функций производящего семейства. [c.74]

Тем не менее, они могут появиться при изучении лежандровых ко-бордизмов , как, например, в следующей ситуации. Рассмотрим след движущегося в пространстве фронта (скажем, ударной волны от летящего самолёта) на поверхности Земли. Топология лежандрова многообразия, соответствующего фронту в пространстве, в процессе движения фронта остаётся неизменной. Но лежандрово многообразие, описывающее след фронта на поверхности Земли, в определённые моменты времени претерпевает (морсовские) перестройки. [c.80]

Эти характеристические классы двойствены подмногообразиям, определённым стратами естественной стратификации пространства функций. В определённом смысле они также могут рассматриваться как определяющие когомологии нелинейного грассманова пространства всех лагранжевых (лежандровых) многообразий. [c.113]

Лежандров край определяется аналогичной конструкцией. Рассмотрим, например, (иммерсированное) лежандрово подмногообразие пространства 1-струй функций на многообразии М с краем дМ. [c.115]

Рассмотрим теперь контактное пространство РТ В контактных элементов многообразия В с краем дБ. Снова рассмотрим проекцию, отправляющую каждый контактный элемент в точке дБ в его пересечение с касательным пространством края. Предположим, что иммерсированное лежандрово подмногообразие пространства РТ В трансверсально краю д РТ В) этого пространства. [c.115]

В случае лежандровых многообразий, вместо кобордизмов лежандровых иммерсий, можно просто рассматривать кобордизмы фронтов (так как лежандрово подмногообразие однозначно определяется своим фронтом). Единственное требование — трансверсальность кобордиэ-ма фронтов краю базы лежандрова расслоения, в котором находится соответствующее кобордиэму лежандрово подмногообразие (чтобы избежать ссылок на теорию трансверсальности стратифицированных особых многообразий, можно считать, что в некоторой окрестности края фронта кобордизм является прямым произведением этого края и полуинтервала). [c.117]

Подобные реэультаты верны и для лежандровых особенностей. Например, число особенностей типа Ае (принимая во внимание знаки) на замкнутом, ориентированном лежандровом подмногообразии пространства 1-струй функций на К , совпадает с числом особенностей типа Е . Эти числа совпадают также для ориентируемо кобордантных лежандровых многообразий. Для замкнутых лежандровых подмногообразий соответствующих размерностей (разумеется, здесь и ниже, предполагается, что лагранжевы и лежандровы подмногообразия [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...