Порядок метода интегрирования

Порядок метода интегрирования 43 [c.331]

Здесь М и L — константы, зависящие от правой части системы (3.70) р — порядок метода интегрирования h — шаг интегрирования б — максимальная вычислительная погрешность при одном шаге интегрирования. [c.85]

Теория возмущений занимает центральное место среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Однако в задачах с малым параметром е при старшей производной сколь угодно малые изменения параметра приводят к конечным приращениям решения. При в=0 понижается порядок уравнения. Различие фазовых траекторий исходной и вырожденной систем существенно усложняет получение приближенных решений. Сингулярные уравнения встречаются в механике, релятивистской теории поля и в основном теориях движения плазмы, жидкости и газа. [c.331]

Для каждого метода обычно оценивается порядок локальной погрешности относительно шага интегрирования /г. Говорят, что численный метод интегрирования имеет порядок s. если на всем временном интервале интегрирования б = 0(Л +1), т. е. 8/1 с постоянной с, не зависящей от шага й. [c.121]

Если в узлах задаются еще и производные от перемещений, то необходимый порядок поузлового интегрирования может быть достигнут применением метода Эйлера. Примером может служить прямоугольный конечный элемент пластины при изгибе, описанный в 7.4 для него [c.340]

Метод интегрирования нестационарных уравнений газовой динамики на подвижных сетках (в том числе и при движущихся границах расчетной области), имеющий первый порядок аппроксимации, изложен в работе [27], а его модификации, имеющие второй порядок аппроксимации, даны в работах [28, 29]. На основе последних и разработана программа определения нестационарных аэродинамических характеристик подвижного тела. [c.100]

Несмотря на кажущуюся простоту ситуации, выбрать подходящий метод для ответа на вопрос, 5а или Нет совсем непросто. Казалось бы, достаточно взять какой-либо численный метод интегрирования и прогнать систему в нужном временном диапазоне. Кроме чисто технических трудностей (высокий порядок системы, переменность элементов [c.198]

Для численного интегрирования уравнений пространственного турбулентного пограничного слоя в работе [44—45] использован конечно-разностный метод повышенной степени точности,, предложенный для двумерных задач в работе [30]. Этот метод получил широкое применение при исследовании течений в двумерных ламинарных и турбулентных пограничных слоях [26]. Численный метод обеспечивает повышенный (четвертый) порядок точности интегрирования по нормальной к поверхности координате.. Используются граничные условия общего вида, при этом порядок точности интегрирования и вычислительный алгоритм остаются однородными. В направлениях, касательных к поверхности, задаются также неравномерные интервалы интегрирования в зависимости от интенсивности перестройки течения. Конечно-разностная схема основывается на двух- и трехслойных пространственных, шаблонах. [c.333]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

В методе интегральных соотношений область разбивают кривыми линиями, форма которых определяется видом границы области интегрирования. Произвольность выбора аппроксимирующих функций позволяет найти достаточно точное решение при сравнительно небольшом числе полос, что существенно при практических расчетах. Однако если аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет высокий порядок, то эффективность метода сохраняется лишь в случае, когда он дает достаточно точное решение уже при небольшом порядке этой системы. [c.182]

Проведем сопоставление скоростей сходимости методов ячеек и Монте-Карло. Из (6.23) вытекает, что погрешность определения многомерного интеграла с помощью метода Монте-Карло убывает пропорционально MYN, где N — число многомерных точек. Причем скорость сходимости не зависит от размерности интеграла. В методе ячеек, применяемом для кусочно-аналитических подынтегральных функций, которые, как было указано, часто встречаются при расчете угловых коэффициентов, скорость сходимости пропорциональна 1/л, где п — число отрезков разбиения по каждой координате. Поскольку в методе ячеек для расчета /п-мерного интеграла необходимо рассчитывать N = п " многомерных точек, погрешность численного интегрирования в этом случае будет иметь порядок [c.188]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Таким образом, имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Ti.s+i, Tz.k+i, Ta.h+i и Ti,h+i. Для определения температурного поля в рассматриваемом простейшем случае необходимо решить эту систему уравнений. С уменьшением шага интегрирования по координате, а также в случае плоских или пространственных температурных полей число уравнений в системе (2-136) возрастает настолько, что для ее решения необходимы соответствующие приемы (например, метод разностной факторизации — прогонки ). В общем случае порядок системы равен числу узлов сетки, в которых аппроксимируется данное дифференциальное уравнение и граничные условия, за исключением граничных условий первого рода. При сравнительно небольшом числе узлов (10—15) используются, как правило, прямые методы решения. В более сложных случаях система уравнений решается только каким-либо методом итераций (Л. 52]. [c.105]

Эти уравнения решаются с помощью ряда, коэффициенты которого представляют собой функции от параметра теплоотдачи Sq. Методы численного интегрирования решения могут быть распространены за область радиуса сходимости ряда. Детально рассмотрены два частных случая случай малой интенсивности теплоотдачи, когда температура поверхности тела весьма незначительно отличается от температуры изолированного тела (So O), и случай интенсивного теплообмена, когда температура поверхности тела имеет тот же порядок величин, что и температура внешней границы пограничного слоя (So l). [c.101]

В табл. 5.2 даны координаты точек интегрирования и значения весовых коэффициентов в методе Маркова для некоторых наиболее характерных случаев. Через р здесь обозначен порядок интегрирования, т. е. максимальный порядок полинома от [c.191]

При этом мы заменили верхний предел интегралов оо на 6 и, кроме того, изменили всюду порядок интегрирования. Все внутренние интегралы правой части могут быть теперь вычислены методом подстановки. Папример, в первом инте- [c.480]

Аналитическое исследование полей интегральных кривых уравнения (1.7), особенно в случае N = 1 из-за наличия подвижной особенности (задача неавтономная), представляет трудности. При iV = О, хотя порядок уравнения (1.7) понижается и в результате получается автономное уравнение Абеля второго рода, доказательство факта, что при любом О < а < 1/2 интегральная кривая пройдет через седло (2.2) с каким-то другим As, также представляет трудности. Поэтому факт существования интегральных кривых уравнения (1.7), соединяющих две особые точки с произвольным О < а < 1/2 при iV = 1, и уже упомянутый факт при iV = О установлен путем высокоточного численного интегрирования уравнения (1.7) по нескольким методам с применением аналитических разложений в окрестности особых точек. [c.441]

На основании выполненных примеров можно установить следующий ПОРЯДОК определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения Упругой линии. [c.333]

Этот метод свободен от недостатков, присущих предыдущему, т. е. не требуется хранить в памяти составляющие вектора переменных состояния V при интегрировании (5.10) и вычисляются коэффициенты влияния задержки распространения, определяемой строго на заданном уровне. Однако при применении этого метода возрастает порядок системы линейных дифференциальных уравнений. Если в первом методе порядок—(тХ ), во втором — 2т, то в третьем — (т Хт). [c.141]

Этот метод также имеет четвертый порядок точности П2]. Используемая в нем формула прогноза получена интегрированием обратной интерполяционной формулы Ньютона и имеет вид [c.88]

Оценка требуемой точности решения. Вообще говоря, чем выше порядок точности метода, тем более точным будет полученный результат. Это утверждение справедливо лишь до некоторой степени, так как конечно-разностные аналоги производных по мере повышения порядка аппроксимации ведут себя все хуже и хуже Поэтому погрешность метода при переходе от пятого порядка к более высоким порядкам точности (что к тому же связано и с дополнительными громоздкими вычислениями) практически не убывает. Поскольку обычно достигается некоторый компромисс между объемом и точностью вычислений, то следует уделять внимание как выбору порядка точности метода, так и выбору величины шага. Поэтому большое распространение получили алгоритмы, в которых автоматически изменяется шаг интегрирования или порядок точности применяемого метода. [c.96]

Первый вариант метода прогонки метод факторизации). Рассматриваемый метод может быть использован в том случае, если порядок п системы дифференциальных уравнений (47) четный и на каждом из концов интервала интегрирования задано п/2 граничных условий. [c.26]

Здесь параметры а и 6 выбираются из условия устойчивости и точности интегрирования. Если S = 0,5, а = 0,25, то метод Нью-марка имеет второй порядок точности интегрирования во времени, при этом отсутствует схемная диссипация. При других зна-чених S и а метод Ньюмарка имеет первый порядок точности и появляется схемная диссипация при интегрировании уравнений движения. Диссипативные схемы интегрирования оказываются полезными при решении задач о распространении ударных волн и при решении динамических контактных задач [59, 91, 92]. Для линейных задач схема Ньюмарка является безусловно устойчивой при [49, 122] [c.185]

В задачах второй группы метод интегрирования должен быть Л (а)-устойчивым. К точности интегрирования предъявляются невысокие требования, так как ММ имеют значительно большмо погрешность. Неявный метод Эйлера в этих условиях также будет лучшим. Локальная погрешность метода для каждой переменной на шаге /г ег = 0,5 Ыг(т)/гй , =1, 2..... п 1к- <х<1к- Шаг выбирается по методу трех зон. При высоких требованиях к точности (например, при анализе чувствительности) необходимо применять методы более высокого порядка. Этому требованию удовлетворяют Л (а)-устойчивые методы формул дифференцирования назад (ФДН) с переменным порядком точности (1...6) и Л (л/2)-устойчивый комбинированный метод, основанный на явной и неявной формулах Эйлера и обеспечивающий второй порядок точности [7]. Вопросы алгоритмической реализации методов ФДН и комбинированного рассмотрены в [7]. [c.44]

Для того чтобы тот или иной метод мог быть применен для машинного составления уравнений, необходимо, чтобы он обеспечивал определение производных с ошибкой по крайней мере на порядок иеньший, чем опшбка интегрирования, J3, . [c.4]

Таким образом, система интегральных уравнений с помощью данного метода разложения искомой функции заменяется диффе ренциальным уравнением бесконечного порядка (7-60) с граничными условиями (7-61) и (7-62) на первой и второй стенках слоя. Ограничиваясь несколькими членами разложения, получаем дифференциальное уравнение соответствующего порядка, аппроксимирующее систему интегральных уравнений. Если порядок дифференциального уравнения принимается больше двух, то граничных условий оказывается уже недостаточно для того, чтобы определить все постоянные интегрирования. Поэтому приходится искусственно добавлять граничные условия к дифференциальному уравнению, вводя те или иные дояу-щения. [c.214]

О методах решения задачи. С математической точки зрения рассматриваемая задача сводится к изучению решений нелинейных дифференциал ,ных уравнении, которые в каждой из определенных частей фазового пространства являются линейными, однако имеют в каждой такой части различную аналитическую запись и даже различный порядок [см. (1) и (2) при F = N = О и уравнение (7)]. Аналитическое решение подобной задачи может быть выполнено точными методами — так называемым обратным методом [6], а также методами поэтапного интегрирования, припассовывания, точечных отображений Могут быть использованы и приближенные методы — гармонического баланса и прямого разделегшя движений (см. т. 2, гл. II). Помимо аналитических методов используют графические построе1шя, а также цифровые и аналоговые вычислительные машины. [c.16]

Граничные условия Кирхгофа ). Методы рассмотрения связанных с прогибом If граничных условий при изгибе, которые были изложены в 2.7 применительно к балкам, могут быть, как правило, без дополнительного большого изменения или затруднения примеиены к задачам пластин или оболочек. Однако дополнительно к сказанному в 4.1 имеется еще одна сторона, поскольку изложенные там теории пластин и оболочек, основанные на гипотезе Кирхгофа, значительно отличаются от случая поперечно нагруженных балок. Как видно из рис. 4.1, на каждой стороне малого элемента -имеется трц силовых фактора обусловленные лзгибом силы и моменты, например F , Мя а Мщ, на стороне, нормальной к оси х, в то время как для поперечно нагруженной балки имеется только два силовых фактора F и Ж. Но и уравнение (2.4) для балок и соответствующее уравнение (4.18) для пластин имеют четвертый порядок, й полное решение для них содержит только необходимое ч сло постоянных интегрирования для балок и произвольных функций (заданных по всей длине 1 рая пластины) интегрирований для пластин, что позволяет удовлетворить дйум условия а каждом конце или крае. [c.242]

Так как для интегрирования системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Кутта—Мерсона, имеющий пятый порядок точности, для интерполяции функции одной переменной целесообразно выбрать интерполяционный многочлен пятой степени п = 5). [c.172]

Другой способ заключается в том, что положения точек не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Здесь в качестве неизвестных выступают не только весовые коэффициенты а , но и значения 1г, и можно потребовать, чтобы формула (5.91) давала точный результат для функций 1, I, 1 ,. .., Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п — 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона—Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона — Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [c.188]

Наконец, в статье О распределении скоростей внутри вихря кругового сечения (там же. Выи. 100, 1929) А.А. Саткевич ставит в порядок дня вопрос об изучении скоростей потока внутри вихревых областей, указывая на неопределенность регаения этой задачи, получаемого по методу Гельмгольца, и на замалчивание этого вопроса больгаинством авторов. А.А. Саткевич рассматривает в своей статье распределение скоростей внутри прямолинейного вихря кругового попе-эечного сечения, причем корни зависимости угловой скорости uj внутри вихря от расстояния г его точек от центра игцет в вязких свойствах жидкости. В результате такой постановки вопроса он приходит к дифференциальному уравнению, приводимому в курсе Lamb а, и после интегрирования его приходит к зависимости [c.138]

Формирование системы осуществляется в порядке обхода конечных элементов, численное интегрирование по каждому из которых на итерации с использованием двухточечных квадратур Гаусса осуществляется один раз. Причем количество перемещений в каждом узле может быть равно двум или трем в зависимости от исходной информации задачи. По мере накопления части матрицы At,- с учетом ее структуры в отведенную порцию оперативной памяти ЭВМ осуществляется прямой ход по методу квадратного корня и затем записывается во внешнюю память. Такой порядок решения системы экономит число обменов с внешней памятью. Ширина ленты матрицы коэффициентов может изменяться от строки к строке. Результирующее решение получается накоплением Aui, Аа >, Aefy Aeiy от шага к шагу. Перемещения вычисляются в узлах конечных элементов, а деформации и напряжения — в центрах конечных элементов, где они имеют наибольшую точность [53]. [c.98]

Ж удельная теплоемкость исследуемого образца при любой температуре определяется по наклону записанных кривых в координатах время — температура при соответствующей температуре в трех опытах. Этим способом можно построить кривую зависимости удельной теплоемкости от температуры для любого превра-. щения порядок беспорядок, которое происходит с достаточно большой скоростью. Если, однако, превращение протекает с небольшой скоростью, то можно не приблизиться к равновесному состоянию с применяемыми на практике скоростями нагрева или охлай<дения, и результаты определения удельной теплоемкости хотя и дадут некоторые сведения о природе превращения, но будут неточными. Для изучения таких превращений можно использовать любой метод, который позволяет строить кривые зависимости удельной теплоемкости от температуры и проводить интегрирование площади между кривой и линией, представляющей аддитивную зависимость между теплоемкостями компонентов для оценки теплового эффекта превращения. [c.124]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (3.11) или что величина в может быть найдена с помощью известных методов решения уравнения Лапласа. Величина в никогда не бывает задана па границе. Определить ее, решая задачу Дирихле ), не удается. Система (3.11) имеет двенадцатый порядок, тогда как исходная система (3.6) — шестого порядка (порядок системы можно определить как произведение порядка максимальной производной на количество уравнений). Чтобы определить бигармоническую функцию, па границе области необходимо задать два условия, например щ и дщ/дп, т. е. нормальную производную от щ, тогда как для решения системы (3.6) достаточно задать только величины щ в каждой точке поверхности. Относительно легко построить три бигармопические функции, принимающие на границе заданные значения, но они могут не удовлетворять уравнениям (3.6). [c.58]

Численное интегрирование системы (3.1), (3.2) проводилось с помогцью метода С. К. Годунова [1,2]. Схема, задание граничных условий и порядок вычислений ирименительно к расчетам течений в соплах подробно описаны в работах [9,10 [c.47]

Решение для компенсационного режима обтекания тонких неровностей. Как уже отмечалось выше, если при обтекании неровности индуцируются напряжение трения и тепловые потоки по порядку величины большие, чем в невозмущенном пограничном слое, то перед такой неровностью должна быть переходная область течения, в которой напряжение трения и тепловые потоки имеют тот же порядок величины, что и в невозмущенном пограничном слое на пластине, и возрастают. Течение в такой переходной области должно описываться решением краевой задачи (8.38)-(8.42). Оно было получено с помощью модифицированной полустандартной программы, созданной С.Н. Селиверстовым на основе метода статьи [Петухов И.В., 1964]. На рис. 8.9-8.11 в качестве примера представлены распределения возмущений давления, относительных возмущений напряжения трения и теплового потока соответственно при обтекании синусоидальной выпуклости f x) = sin ттх для различных значений параметра u и при числе Прандтля а = О, 71 интегрирование продолжалось до точки отрыва [Боголепов В.В., 1974]. Перед неровностью при ж < О поток остается невозмущенным, в окрестности точки X = О предельное решение задачи дает (—р) Ат/е и Ад/е На поверхности неровности величины ( р), Ат/е и Ад/е достигают своих максимальных значений, а в точке х = 1 возмущения напряжения трения и тепловых потоков имеют резкие минимумы. По мере удаления от неровности при ж СХ) все возмущения затухают и предельное решение задачи дает —р) [c.402]

Обобщим рассмотренные методы анализа чувствительности на другие динамические параметры-функционалы. Предварительно отметим, что как прямой, так и вариационный методы анализа чувствительности справедливы при расчете коэффициентов влияния таких динамических параметров, как длительность задержек фронтов и длительность фронтов. Действительно, эти параметры определяются либо как интервал времени, когда выходной сигнал достигает некоторых заданных уровней, либо как разность интервалов времени, когда выходной сигнал достигает некоторых двух других, но опять-таки заданных уровней. При анализе чувствительности вариационным методом количество систем линейных дифференциальных уравнений, которые необходимо интегрировать в обратном времени, возрастает пропорционально количеству динамических параметров. Причем отрезки интегрирования для каждой из систем разные. Это связано с тем, что начальные условия K ti)=0 для каждого выходного параметра задаются в различные моменты времени. В то же время порядок системы линейных дифференциальных уравнений относительно чувствительности переменных состояния к изменениям управляемых параметров, которую необходимо интегрировать в прямом методе анализа, остается прежним при анализе чувствительности перечисленных параметров. В этом случае изменяется лищь отрезок интегрирования. [c.148]

Ири наиболее часто применяемом методе непосредственного интегрирования (методе понижения порядка производной) исследуемое ур-ние разрешается относительно старшей производной, и над ее составляющими производится п последовательных операций интегрирования (л — порядок ур-ния). Составляющие старшей производной во входном сумматоре образуются наложением обратных связей и введением независимых переменных н возмущений. Определение коэфф. передачи отдельных решающих элемеитов схемы набора производится сопоставлением коэфф. исходных ур-ний и ур-ний, описывающих структурную схему набора, в к-рых машинные переменные заменены исходными иа основе масштабных нреоира-зоваинй. Составление дифф. ур-ний структурной схемы набора задачи предполагает составленне ур-ний отдельных решающих блоков. [c.270]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...