Метод первого порядка

Пример получения ММС различными методами. Для примера рассмотрим схему, показанную на рис. 4.10. Предполагается, что численное интегрирование уравнений будет выполняться с помощью метода первого порядка точности. Неявная формула такого метода [c.182]

Методы поиска экстремума классифицируются по следующим признакам в зависимости от характера экстремума существуют методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации по числу переменных проектирования различают методы одномерного и многомерного поиска, а по характеру информации о виде целевой функции — методы нулевого, первого и второго порядков, причем в методах первого порядка используют градиент целевой функции, поэтому эти методы называются градиентными, в методах второго порядка применяют вторые производные, а в методах нулевого порядка производные не используют. [c.281]

Следовательно, метод хорд является методом первого порядка. Он сходится медленнее метода Ньютона, но намного проще его, так как требует для своего осуществления умения вычислять только одну функцию F (х). К достоинству метода относится также возможность организации двусторонних приближений. Итак, если известно, что на отрезке [а, Ь существует единственный корень уравнения F х) О, то всегда можно построить такой итерационный процесс, при котором последовательность будет сходиться к искомому корню. При анализе вопроса о существовании и приблизительном расположении корней уравнения можно воспользоваться другой формулировкой по-существу того же самого утверждения если каким-то образом уравнение f (jt) = О приведено к виду х = f (х) и обнаружено, что / (х) < 1 на [а, Ь], то можно утверждать, что функция F (х) имеет единственный корень на этом отрезке. Подчеркнем, что установление отрезка, который содержит только один интересующий нас корень, задача гораздо более сложная, чем последующее определение этого корня с заданной степенью точности. [c.81]

I [pj (х , Уп) у (Jt )] - у" (д ) -. . . , но из (3.6) следует, что у х,.) = f х , Уп) и окончательно Д,1 1 = hf (Хп, Уп) (л — 1) у" (Хп) -- Очевидно, что необходимо положить == 1, и для произвольного уравнения получается метод первого порядка [c.100]

Основной недостаток метода Эйлера — невысокая точность относительно At. Он является методом первого порядка точности. [c.182]

Детерминированные методы поиска различаются подходами к моделированию гиперповерхности целевой функции. В основном эти методы используют линейную тактику и называются методами первого порядка (градиентные методы, метод касательных, метод хорд). Методы, аппроксимирующие поверхность целевой функции квадратичными формами, называются методами второго порядка (методы параболического программирования). [c.118]

По способу построения указанной последовательности точек различают методы нулевого порядка (используются только значения минимизируемой функции), методы первого порядка (используются также первые производные) и методы второго порядка (используются и вторые производные). Подробнее см. [55, с. 183—201]. [c.133]

Применяют два типа методов интегрирования — явные (иначе экстраполяционные, или методы, основанные на формулах интегрирования вперед) и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад). Различия между ними удобно показать на примере простейших методов первого порядка — методов Эйлера. [c.101]

Итерационный метод уточнения решения уравнений нелинейных колебаний. Для уточнения расчета резонансных режимов, а также нерезонансных режимов от нескольких гармоник момента двигателя может быть применен метод последовательных приближений Ньютона—Канторовича [15]. Для расчетов силовых передач использование этого метода первого порядка наряду с записью уравнений движения в интегральной форме можно признать оптимальным по следующим причинам достигается максимально компактная запись нелинейных уравнений, число которых равно числу нелинейных соединений сходимость метода может быть достигнута при любых параметрах системы за счет выбора начального приближения. Метод Ньютоне— Канторовича обладает максимальной скоростью сходимости для кусочно-линейных функций, какими н являются типичные упругие характеристики силовых передач. [c.342]

Метод Эйлера — приближенный метод первого порядка. [c.121]

Рассмотренный метод (самокорректирующийся метод первого порядка [6]) до сих пор применяли при фиксированных значениях весовых множителей. [c.282]

Опираясь на условие устойчивости, можно оценить величину критического шага Лкр. Выполним такую оценку для метода первого порядка точности с двухшаговы-ми сериями, т. е. =2, 11= 12=1. Под Лкр будем понимать максимально возможное по соображениям устойчивости среднее за серию значение шага. Тогда задача определения оптимального йкр есть следующая экстремальная задача найти максимум целевой функции /гкр=0,5(/11 + Л2) при ограничениях на й] и Лг, выражаемых условиями устойчивости (4.10). [c.95]

Для определения векторов X (i) и Я2(/) в обратном времени необходимо интегрировать сопряженные системы линейных дифференциальных уравнений (5.22) и (5.26). Даже если система (5.10) интегрируется явным методом, например методом первого порядка точности с переменным шагом ( 1 гл. 4), для интегрирования сопряженных систем целесообразно применять неявную формулу. Это связано с тем, что выбор шага при интегрировании системы (5.10) производится только по локальной погрешности составляющих вектора переменных состояния V. Погрешности составляющих векторов Я-1 и Яг для таких шагов интегрирования могут быть существенно большими, и явный метод имеет тенденцию к неустойчивости. Кроме того, неявный метод при той же величине шага определяет решение точнее. Так как сопряженные системы линейны, то на каждом шаге интегрирования необходимо решать две системы линейных алгебраических уравнений. Так, применив неявную формулу (4.4) к уравнению (5.22) с учетом направления интегрирования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решать на каждом шаге для определения Яь [c.143]

Это идеализация. На самом же деле пока конечная толщина скачка не станет постоянной при стационарном режиме, скорость скачка определяется нестрого, что особенно заметно для методов первого порядка точности по Ак- [c.347]

В методах первого порядка, называемых также градиентными, используют первые производные оценочной функции, т. е. вектор градиента goB исходной точке. Следовательно, направление спуска строится на основе линейной модели (5.21) оценочной функции в окрестности точки Хо. Для получения вектора градиента необходимо проделать пробу производных в начальной точке каждого шага. В результате получаем или непосредственно вектор go [c.217]

Градиентные методы оптимизации. Градиентные методы относятся к методам первого порядка, поскольку в них используется для построения направления спуска вектор первых производных оценочной функции — вектор градиента. Идея первого из них, который называется методом быстрейшего спуска (МБС), основана на том, что вектор градиента в исходной точке go указывает направление быстрейшего возрастания оценочной функции. Целью оптимизации является уменьшение этой функции, поэтому спуск производится в направлении, противоположном градиенту go. Можно записать, что [c.220]

Так как использование быстросходящихся итерационных методов второго порядка требует хранения в памяти ЭВМ гессиана функций образующих систему уравнений, систему уравнений (2.28) будем решать методом простой итерации, являющимся методом первого порядка. В этом методе отсутствуют частные производные функций, составляющих систему уравнений, по- [c.66]

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Основными методами численного интегрирования систем ОДУ в САПР стали неявные методы. Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость вычислений при любом шаге /г>0. Это неявные методы первого и второго порядков точности. В САПР рекомендуется [c.54]

Уравнение (6. 3. 26) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Его решение может быть найдено при помощи метода характеристик [89]. Оно имеет следующий вид [c.251]

Теоретический анализ реакции газа с твердым телом в некаталитических ус.ловия.х в одномерной постановке выполнен в работе [447]. Процесс рассматривался как реакция первого порядка и исследовался методом конечных разностей. Роль диффузионных эффектов в реакции твердой сферической таблетки исследовалась с учетом взаимодействия физических процессов переноса и химической реакции [700]. [c.114]

Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном , позволяющий S уравнений Лагранжа вида (126.3) преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями Гамильтона. [c.366]

Метод конечных элементов допускает любую геометрическую форму дискретных элементов, на которые делится рассматриваемая область, и любой порядок полинома для аппроксимации О м х, у) в пределах элемента. Наиболее широкое применение получили простейшие линейные полиномы первого порядка, которые для двумерной функции принимают вид [c.112]

Е-". П р я м о й метод исследования. Для изучения устойчивости движения системы материальных точек запишем систему дифференциальных уравнений движения в виде системы первого порядка [c.645]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Методы безусловной оптимизации по способу определения направления поиска делятся на методы нулевого, первого и второго порядков. Для методов нулевого порядка типичен выбор направления поиска по результатам последовательных вычислений целевой функции. По способу выбора совокупности оптимизируемых параметров эти методы делятся на детерминированные и случайного поиска. В детерминированных методах процесс перехода от вектора внутренних параметров Х к вектору хс 1 происходит в [c.317]

Для неявного метода первого порядка — метода Эйлера, формула которого Zh-=d Ikldl=( h—llk- i)lli, коэффициенты равны l//i. [c.120]

Модель Зондгеймера и Вильсона была рассмотрена также Колером [77], который не предполагал наличия времени релаксации, а использовал вариационный метод первого порядка. Как видно из и. 14, это эквивалентно предположению об эффективном времени релаксации (хотя и необязательно одинаковом для электро- и теплопроводности). Поэтому Колер должен был прийти (и действительно пришел) к тем же результатам, что и Зондгеймер и Вильсон. Вариационные расчеты более высоких порядков, по-видимому, приведут к отклонениям от формулы (18.9). Однако ввиду искусственности модели подобные расчеты в настоящее время не имеют смысла. [c.278]

Наконец, в зависимости от того, используются при поиске производтахе целевой функции по управляемым параметрам или нет, различают методы нескольких порядков. Если производные не используются, то имеет место метод нулевого порядка, если используются первые или вторые производные, то соответственно метод первого или второго порядка. Методы первого порядка называют также градиентными, поскольку вектор первых производных FQi) по X есть градиент целевой функции [c.158]

Прямые методы (методы поиска, часто называемые также методами нулевого порядка), в которых используются только значения функции. К этой группе в частности относятся описанные в данной книге методы Хука — Дживса, Ро-зенброка, симплекс-метод. 2. Методы первого порядка, в которых используются первые производные. К ним относятся, например, градиентные методы. [c.163]

В зависимости от применяемой методики результаты ольфактометрич. и одориметрич. измерений выражаются в абсолютных или относительных единицах. Методы первого порядка обычно пользуются указанием весового количества (ж) пахучего вещества в 1 см воздуха, к-рое вычисляется по следующей формуле [c.24]

Методы первого порядка, называемые градиентными, приводят к цели за меньшее число шагов по сравнению с методами нулевого порядка, однако выполнение каждого шага более трудоемко, так как вычисляется градиент целевой функции gradF(Xft-i), [c.74]

Метод проекции град и-е н т а, относящийся к методам первого порядка, обладает высокой эффективностью среди методов, непосредственно применимых к задачам с ограничениями типа равенств. Его сущность заключается в том, что шаги поиска осуществляются не в направлении антиградиента (3.17), как [c.75]

Методы минимизации диффё5енцируемых функций могут быть разделены на три группы группа методов нулевого порядка, требующих вычисления только значе адй функции g (v) группа методов первого порядка (градиентн ), требующих вычисления g(v) и g (v) группа методов второго h более высокого порядков требующих вычисления g(v), g (v), H(v), и т. д. Метод минимизации на практике должен выбираться с учетом информации. о-сложности рельефа целевой функции g (v), трудоемкости ее вычисления, возможности определения частных производных функций, времени подготовки оптимизационной задачи к решению на ЭВМ. [c.147]

В целом можно сказать, что наиболее эффективными для задач безусловной оптимизации являются квазиньютоновские алгоритмы минимизации, относящиеся к группе методов первого порядка. Работа таких алгоритмов основана на аппроксимации гессиана Я(у) минимизируемой функции либо матрицы обратной, [c.147]

Метод [94], использованный при решении задачи о массопере-носе внутри пузырька газа при наличии химической реакции первого порядка для случая, когда Ре —> О, можно применить и для случая, когда Ре оо. Рассмотрим решение уравнения (6. 5. 14) при к = 0. Оно имеет вид (6. 1. 30). Используя табличные значения коэффициентов и (см. с. 242), запишем (6. 1. 30) в приближенном виде [95] [c.266]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Метод Остроградского — Якобн позволяет свести задачу об отыскании 2s первых интегралов дифференциальных уравнений кано-иической системы (132.5) к задаче определения полного интеграла некоторого уравнения с частных производных первого порядка. [c.382]

Для определения коэффициентов теплопроводности тонкослойных материалов может быть применен стационарный метод с использованием датчиков теплового потока (тепломеров). Формальное преимущество теплометрического подхода состоит в том, что он позволяет в правой части уравнения теплопроводности использовать вместо дифференциального оператора второго порядка по температуре (6-3) оператор первого порядка по тепловому потоку. Пер- [c.135]

В итоге имеем систему дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно интегрировать стандартным приемом, составив характеристическое уравнение. Заметим, однако, что из сравнительно неве.лико ш О, 7 10" с . Применим метод малого параметра, что [c.283]

Метод получения полного интеграла уравнений в частных производных первого порядка, состоящий в последовательном применении теоремы 9.4.3, называется методом Имшенецкого разделения переменных. Рассмотрим несколько примеров на применение этого метода. [c.651]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...