Нелинейные потенциальные функции

Для нелинейно-вязкого тела связь между скоростями деформаций и напряжениями можно представить, введя потенциальную функцию Л [27] [c.123]

Такая же неэквивалентность может иметь место и для определяющих соотношений физически нелинейного упругого материала при (возможной) геометрически линейной деформации тела. Для такого материала потенциальная функция W — неквадратичная форма, Ф — нелинейная функция б, а тензор С в (2.3) зависит от е. Если определяющие соотношения (2.2) или (2.3) вводятся независимо, а не выводятся из (2.1), то нельзя гарантировать их эквивалентность. [c.71]

Итак, уравнения (11.63) можно рассматривать как математическую формулировку принципа стационарности потенциальной энергии. Этот принцип гласит, что если потенциальная энергия упругой конструкции (линейной или нелинейной) представляется функцией от неизвестных перемещений узлов, то конструкция будет находиться в состоянии равновесия, когда перемещения имеют такие значения, при которых полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Обычно конструкция находится в состоянии устойчивого равновесия, и тогда полная потенциальная энергия минимальна. При этих условиях уравнения (11.63) представляют собой запись принципа минимума потенциальной энергии. Для неустойчивых конструкций потенциальная энергия может иметь либо максимальное, либо нейтральное значение. При линейном поведении конструкции уравнения (11.63) соответствуют уравнениям равновесия метода жесткостей, который можно считать частным вариантом метода перемещений ). [c.503]

Система (1) — нелинейная система уравнений с частными производными. При режиме (2) из нее можно исключить одну из функций, скажем, функцию тока, и тогда для потенциальной функции мы получим квазилинейное уравнение [c.137]

Трехатомные молекулы. При использовании наиболее общей квадратич- ной потенциальной функции основные частоты нелинейной симметричной трехатомной молекулы определяются из предшествующих формул (2,124—126). Эти формулы могут применяться только к таким изотопическим молекулам, которые также симметричны, т. е. в тех случаях, когда или центральный атом замещается изотопом, или оба крайних атома замещаются одинаковыми изотопами, или обе замены производятся одновременно (например, Н О , [c.247]

Нелинейные симметричные трехатомные молекулы. Потенциальная функция нелинейной молекулы ХУа, построенная как функция двух расстояний ХУ, принимая угол неизменным, будет точно такого же типа, как проведенная на фиг. 163 для линейной молекулы. Однако такой график гораздо менее важен, поскольку в противоположность линейному случаю при соударении + Х угол ХУ, очевидно, не остается постоянным и в довершение всего даже вблизи минимума потенциальной энергии динамика движения не может быть представлена движением точечной массы по такой потенциальной поверхности. [c.455]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

Определяется функция состояния (р) или (р) из уравнения состояния. Подставив (р) в формулу (1У.5), находят зависимость потенциальной функции ф от давления р, если движение потенциальное подставив (р) в формулу (1У.38) или (1У.43), нахо-. дят зависимость вспомогательной функции 0 от давления, если фильтрация происходит по нелинейному закону. [c.61]

Вид функции Uv определяется экспериментом. Теперь и для нелинейно-упругого тела может быть введена потенциальная энергий п согласно равенству (9.22), первая вариация которой есть нуль. [c.195]

Неизвестными в этой системе являются функция давления и потенциал скоростей ф. В общем случае эту нелинейную систему дифференциальных уравнений проинтегрировать трудно. Однако существуют важные классы движений, для которых методы решения системы уравнений (11.16) подробно и хорошо разработаны. Перечислим такие классы потенциальных движений жидкости. [c.156]

Предварительные замечания. Линейные дифференциальные уравнения в состоянии описать процесс колебаний лишь с определенной точностью. Если последняя недостаточна, приходится переходить к более высоким приближениям и удерживать члены более высокой степени, нежели вторая, в разложении по обобщенным координатам функции П (потенциальная энергия системы (17.80)), а также в разложениях по тем же координатам коэффициентов А (17.78) в выражении для кинетической энергии и коэффициентов В (17.79) в функции рассеяния. При этом дифференциальные уравнения, описывающие движение, получаются нелинейными. Причина нелинейности может быть и иного характера, что поясняется ниже. [c.220]

Аналогично, решая задачи устойчивости энергетическим методом и ограничиваясь в выражении для изменения потенциальной энергии квадратичными по отношению к величинам поперечных перемещений слагаемыми, находили только критические нагрузки и соответствующие им собственные функции. Характер критической точки бифуркации и поведение стержня при конечных прогибах после потери устойчивости оставались неизвестными. Для того чтобы определить их, необходимо рассмотреть задачу устойчивости стержня в нелинейной постановке. [c.118]

Во многих задачах динамики механизмов с нелинейной функцией положения (особенно в многомассовых системах, в системах, образующих разветвленные и замкнутые контуры и др.) выражение кинетической и потенциальной энергии через независимые обобщенные координаты приводит к сложным функциональным связям. [c.64]

Энергия молекулы в отсутствие внешнего поля равна сумме кинетической энергии, которая, как известно из механики, представляет собой однородную квадратичную функцию импульсов адр/р (коэффициенты а-,к в общем случае зависят от обобщенных координат qi), и потенциальной энергии взаимодействия атомов, (Мы будем в дальнейшем пользоваться известным условием Эйнштейна — по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.) Внутреннее движение атомов в молекуле после исключения поступательного и вращательного движений молекулы как целого представляет собой малые колебания около положения равновесия, в котором потенциальная энергия имеет минимум. Поэтому потенциальная энергия вблизи от равновесия представляет собой однородную квадратичную функцию обобщенных координат, характеризующих конфигурацию молекулы, т, е, всех координат за вычетом тех, которые описывают положение и ориентацию молекулы как целого. При этом 1/тш принимается за начало отсчета потенциальной энергии и точка равновесия — за начало отсчета координат ql. Для л-атомной молекулы число этих внутренних координат равно Зл — 5, если молекула линейна (положения равновесия атомов находятся на одной прямой), и Зл — 6, если молекула нелинейна. Действительно, в случае линейной молекулы ее положение полностью задается тремя координатами Хц, уц, 2ц центра инерции и двумя углами, В случае же нелинейной молекулы ее ориентация в пространстве задается тремя углами. Таким образом, для потенциальной энергии имеем выражение где — постоянные коэффи- [c.211]

Для упрощения общей теории можно предположить также,, что деформационная теория пластичности при активном процессе (нагружении) совпадает с физически нелинейной теорией упругости. В этом случае теория пластичности называется потенциальной. т. е. существует такая скалярная функция W, что [c.253]

Другой метод измерения вязкости тела, содержащего трещину, вне линейно-упругой области основан на определении энергетического параметра, выражающего изменение потенциальной энергии при росте трещины на величину da, по аналогии с величиной высвобождающейся энергии деформации G в условиях линейной упругости. В работе [171 развита теория нелинейно-упругого тела, для которого однозначную функцию плотности энергии деформации [как в уравнении (18)] можно выразить как [c.154]

Возвратимся к нашей задаче. Устойчивость оболочки (так же, как и устойчивость любого упругого тела) можно рассматривать только исходя из первоначально нелинейной постановки задачи. Действительно, в силу теоремы Кирхгофа [51] задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущений (внешние силы и заданные перемещения на границе тела), т. е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций. Для оболочек это условие выполнено (см. 1.10). [c.38]

Сетка из сопротивлений, являющаяся наиболее распространенной системой аналогии, имеет тот недостаток, что требует большого числа точных сопротивлений и дает потенциальные поля для узлов сетки для получения эквипотенциальных линий необходимо выполнять интерполирование между точками с известными потенциалами. С другой стороны, погрешность в подборе элементов сетки из сопротивлений может быть не выше 0,1 % ив требуемых местах поля (участки возле криволинейного контура с входящими углами) сетка может быть более мелкой. С применением сопротивлений легко могут выполняться объемные поля и поля в сферических или цилиндрических координатах. Нелинейность и внутренние возбуждения любых типов могут быть воспроизведены с помощью токов через питающие сопротивления в узлах сетки. Если внутреннее возбуждение является функцией потенциала или градиента потенциала узла, то необходимое регулирование достигается последовательным приближением или же автоматически с помощью включаемых в узлы сетки электронных операционных усилителей [50]. [c.272]

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, на которую наложены голономные стационарные связи и действуют заданные стационарные силы при этом предположим, что у системы имеет-ся положение устойчивого равновесия. Разложение кинетической, потенциальной и диссипативной функций в окрестности этого положения вплоть до членов второго порядка малости включительно приводит к линейному уравнению. Однако во многих практически важных задачах возникает необходимость исследования колебаний с достаточно большими амплитудами и скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным и приходится учитывать последующие члены разложений, приводящие к нелинейным уравнениям. Если при этом отклонения от положения равновесия и скорости точек не слишком велики, то соответствующие уравнения будут описывать малые нелинейные колебания. [c.311]

Замечание. Термин малые колебания некорректно отражает эволюцию системы, которая описывается функцией x t). Значения координаты и скорости в окрестности устойчивого положения равновесия будут малыми , если достаточно малы их начальные значения. Более точно, если полная энергия Е меньше значения потенциальной энергии в ближайшем к координате q = с локальном максимуме функции U q) нри q = q-m-Однако, оставаясь малой в области Ад = qm - с , координата х удовлетворяет нелинейному уравнению, описывающему нелинейные колебания. Поэтому термин линейные колебания наиболее точно соответствует движению системы у дна потенциальной ямы, где функция x[t) удовлетворяет линейному уравнению (17.4). Важно отметить, что эволюция исходной системы описывается нелинейными уравнениями. [c.137]

Применение метода к нелинейным молекулам типа ХУ,. Рассмотрим случай нелинейной симметричной молекулы типа ХУо, для которой получаются два нормальных колебания типа симметрии А, и одно колебание типа В,. В этом случае выражение для потенциальной энергии как функции любых координат симметрии (например, показанных на фиг. 55, а), согласно изложенному выше, имеет следующий вид [c.167]

Фиг. 16. Поверхность потенциальной энергии нелинейной молекулы в вырожденном электронном состоянии как функция двух компонент вырожденной нормальной координаты (первое приближение). Горизонтальная плоскость проведена через минимум потенциальной энергии, получающейся без учета электронно-колебательного взаимодействия.

Анализ физики явлений и известные методы математического описания динамических систем (с использованием диссипативной функции, уравнений кинетической и потенциальной энергий, а также Лагранжа) приводит нас к двум системам нелинейных дифференциальных уравнений. Первая из них с достаточным приближением описывает поведение ползуна в неподвижной системе координат XOV. [c.280]

В общем случае полученное выражение для Т будет функцией а, и а. , так что для нелинейной системы имеет место зависимость периода колебаний от общего запаса энергии или размаха совершаемых колебаний кеизохронность колебаний в нелинейных системах). Л ишь для линейной системы, когда потенциальная функция представляет собой квадратичную функцию координат Р (х)--= йСС Л + для колебаний вокруг положения равновесия имеем Т 2л/У2а = пУ 2/У а , т. е. период равен величине, не зазисящеа от амплитуды совершаемых колебаний. В этом случае колебания становятся изохронными, и период свободных колебаний в линейной системе не зависит от сообщенного ей начального запаса энергии. [c.20]

То, что задача по определению бифуркации решений для нелинейного тела не сводится к задаче по определению собственных состояний, затрудняет определение критических нагрузок потери единственности решения. В [47, 73, 79] вместо исследования на предмет бифуркации исходного нелинейного тела с потенциальной функцией оЕ предлагается исследовать линейное тело сравнения с потенциальной функцией qEl- Конструировать потенциал линейного тела сравнения можно опираясь на теорему сравнения Хилла [47, 73, 79]. [c.144]

Рассмотрим две теории пластического течения, описывающие деформирование тела из упругопластического материала с гладкой поверхностью текучести и с поверхностью текучести, имеющей угловую точку (см. 2.2.1). Для каждого из нелинейных тел с приведенными выше определяющими соотношениями образуем два линейных тела сравнения с тензорами и o t- Эти тензоры получаются с помощью тензоров определяющих соотношений теории пластического течения (с гладкой поверхностью текучести) и деформационной теории пластичности при игнорировании условий разгрузки окрестностей материальных точек, в которых выполнено равенство J2 =. В силу талсого соответствия далее в этом параграфе, для краткости, теорию пластического течения с гладкой поверхностью текучести будем называть теорией пластического течения, а теорию пластического течения с угловой точкой на поверхности текучести — деформационной теорией пластичности. Определим явные выражения потенциальных функций о-Б и o-Ef для обеих теорий. Из (2.40) в декартовой системе отсчета получаем [c.146]

Рассмотрим переход от координат (I2, il2, I2.....ti) к ровибронным координатам Q,ф,x.Qu. .., Qs -e, Xn+i, . , Zi) в уравнении Шредингера для жесткой нелинейной многоатомной молекулы здесь три угла Эйлера (9, ф, %) определяют ориентацию молекулярно-фиксированной системы осей (х, у, z) относительно пространственной системы осей ( , т), ), а (ЗЛ — 6) нормальных координат Qr являются линейными комбинациями координат ядер Xi, yt, Zi). Тогда оператор выражается через операторы (1 , Qu. .., Рзлг-е, Р, . ... Ръи-%), где — компоненты ровибронного углового момента, а Рг = —itid/dQr. Такая замена координат позволяет разделить сумму и межъ-ядерной потенциальной функции Vn (которая получается в приближении Борна — Оппенгеймера, рассмотренном в следующей главе) на часть, зависящую только от 1х, Jy> и на (ЗЛ —6) частей, зависящих только от координат Qr и сопряженных им импульсов Рг. Новый набор координат содержит теперь три угла Эйлера вместо двух углов в (7.65) и (7.66) для двухатомной молекулы и (3N — 6) колебательных координат Qr вместо одной координаты R в (7.67) для двухатомной молекулы. Как видно из (7.58) и (7.60), такая замена координат не влияет на форму Те [см. (7.46)]. [c.153]

Молекулы типа XY.2. Если при описании нелинейной симметричной трехатомной молекулы исходить из валентных или центральных сил, то необходимо ввести только две потенциальные постоянные. В то же время общеа число частот равно трем. Таким образом, если мы первоначально исходил из центральных сил, действующих между тремя атомами, то можно учесть дополнительную силу, действующую на какой-либо атом У при изменении расстояния между атомом X и другим атомом У. В этом случае потенциальная функция имеет вид [ср. (2,97)] [c.204]

Попл и Лонге-Хиггинс [1002 ] рассчитали случай (нижняя часть фиг. 4, б), когда пижняя из двух потенциальных функций имеет при г — О максимум, а при ненулевом значении г минимум, т. е. соответствует нелинейной равновесной конфигурации. Чтобы рассмотреть этот случай, необходимо в выражения для потенциальной энергии и энергии связи включить члены с более высокой степенью (ангармоничность). Для электронно-колебательных уровней, соответствующих верхней потенциальной функции (когда молекула остается линейной), Поил и Лонге-Хиггинс получили следующую формулу [c.37]

При некоторых из неполносимметричных смещений получаются в первом приближении просто две параболические потенциальные функции, которые сходятся (соприкасаются) нри симметричном положении ядер, где обе функции имеют минимумы (когда электронно-колебательное взаимодействие мало), точно так же, как в случае линейных молекул (фиг. 4, б и 4, в). Однако, как показали Ян и Теллер [618], в нелинейной молекуле в отличие от линейной всегда имеется хотя бы одна неполносимметричная нормальная координата, которая обусловливает такое расщепление потенциальной функции, что потенциальные минимумы не соответствуют симметричному положению и располагаются тем дальше от него, чем сильнее электронно-колебательное взаимодействие. Одномерное сечение простых потенциальных функций показано на фиг. 11. В исходном равновесном положении два компонента потенциальной функции взаимно пересекаются под углом, не равным нулю. Таким образом, если учесть электронно-колебательное взаимодействие, то оказывается, что симметричная конфигурация не соответствует минимуму энергии, но при определенных несимметричных конфигурациях появляются несколько (равных) минимумов потенциальной энергии. [c.45]

Следует заметить, что взаимодойотиия типа Репнера — Теллера (обусловленные членами с четными степенями в потепциальиой функции) могут встречаться и в нелинейных молекулах. Через них выражается упомянутое выше влияние потенциальных минимумов, а также влияние вырожденных нормальных координат, которые не вызывают нестабильности по Яну — Теллеру (см., например, Хоуген [577]). В то же время взаимодействия по Яну — Теллеру (включая члены с нечетными степенями в потенциальной функции) не могут встречаться в линейных молекулах. [c.61]

Легко интерпретируются с позиций вибрационной механики в общей форме и все другие обсуждаемые здесь закономерности, хфакт ные для действия вибрации на нелинейные механические системы. А именно, допустим, что механическая система такова, что ее положения равновесия и их устойчивость при отсутствии вибрации определяются потенциальной энергией П Ос). При наличии же вибрации положения квазиравыовесия и их устойчивость, как было показано в гл. 3, во многих случаях определяются потенциальной функцией, [c.119]

Аналогичному условию должны удовлетворять добавочный потенциал ф в выражении для его полной величины ф = фс +ф, т. е. ф <Сфоо. При этих условиях нелинейное уравнение для потенциальной функции [c.636]

Название этой функции определяется следующими соображениями. Пусть для некоторого нелинейно упругого тела при испытании образца на растяжение экспериментально убтановлена за-висимовть между напряжением а и соответствующей упругой деформацией 8, которая характеризуется кривой Оу4 (рие. 3.1). Очевидно, что площадь ОАВ этой диаграммы еоответствует удельной потенциальной энергии деформации [c.55]

Приведенный коэффициент жесткости определяется из условия равенства величин потенциальной энергии амортизатора и эквивалентной иружины, как было показано в 48, и в общем случае может быть нелинейной функцией перемещения у, отсчитываемого от положения статического равновесия. [c.334]

При больших деформациях используют нелинейный згжон связи напряжений с деформациями — нелинейная упругость. Обычно задают удельную потенциальную энергию — упругий потенциал как функцию трех инвариантов тензора деформаций. Предложено множество различных потенциалов, большинство из них используют гипотезу несжимаемости материала. Потенциалов, учитывающих сжимаемость, значительно меньше. Подробнее с данным вопросом можно ознакомиться в работах [9, 54, 55, 59, 104, 183, 190, 191, 194, 195, 201, 203, 220, 229, 234]. [c.13]

Это уравнение является основным дифференциальным уравнением газовой динамики для плоского потенциального установивще-гося газового потока и является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции ф. [c.359]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...