Задача Уравнения в перемещениях

В 2.7 указывалось, что если задача решается в перемещениях, то разрешающими уравнениями являются уравнения равновесия. В данном случае имеем одну неизвестную функцию прогибов w и [c.155]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

Отметим, что если задача решается в перемещениях (т. е отыскиваются функции и, V, ю), то в применении уравнения совместности деформаций нет необходимости. В дальнейшем рассматривается смешанная форма решения, согласно которой в качестве основных неизвестных принимаются нормальный прогиб IV и функция напряжений вводимая следующим образом [c.177]

При использовании деформационной теории, согласно которой связь между напряжениями и деформациями является конечной нелинейной, полная система уравнений может быть приведена к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях, аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются различные варианты метода последовательных приближений. Возможна, например, следующая схема этого метода (метод дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации по формуле (10.15) [c.745]

Вариационное условие (5.42) позволяет получить разрешающие уравнения в перемещениях для решения задачи устойчивости и колебаний трехслойных оболочек, а также сформулировать однородные граничные условия задачи. [c.212]

Вариационная формулировка (5.66) задачи статики с использованием соотношений (5.62)—(5.64) позволяет получить разрешаюш,ие уравнения в перемещениях и граничные условия. [c.221]

Задача по нахождению с и а" является статически неопределимой, и поэтому к уравнению (14.2) следует добавить уравнение в перемещениях. Полные окружные удлинения внутренней и наружной стенок [c.360]

Применение метода граничных элементов часто осложняется отсутствием фундаментальных решений дифференциальных уравнений или громоздкими сложными выражениями, определяющими фундаментальные решения. В настоящем параграфе излагается итерационный процесс решения задач изгиба пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Приведены интегральные уравнения непрямого МГЭ. Система нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях (3.1.3) для оболочки постоянной толщины записывается в виде [24] [c.72]

Рассмотрим систему неоднородных тел вращения с общей осью в цилиндрической системе координат rzQ, взаимодействующих посредством контакта. Контакт между отдельными телами осуществляется только по поверхностям вращения, занимая произвольную область поверхности. Между телами может быть установлен зазор или натяг по произвольному закону. Так как деформации и перемещения предполагаются малыми, то отклонениями тел от цилиндрической формы вследствие меняющихся в окружном направлении зазоров или натягов пренебрегаем. На части свободной поверхности могут быть заданы компоненты внешней нагрузки, имеющие размерность напряжений, на остальной — перемещения или смешанные граничные условия. Кроме того, конструкция может быть нагружена объемными силами и неравномерным температурным полем. Решение задачи осуществляется в перемещениях с использованием вариационного уравнения Лагранжа [c.157]

Постановка задачи при помощи уравнений в перемещениях [c.100]

Коэффициенты в соотношениях, полученных при формулировании задачи при помощи уравнений в перемещениях [c.107]

Запишем вариационное уравнение принципа (3.31) для нашего случая (задачу решаем в перемещениях). Решение составим для идеально пластичной среды, для которой [c.152]

Для постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях используется первое из уравнений (1.6.8). Отбрасывая в нем инерционный член —рн и внося в него дополнительный член — вектор объемной силы F, получаем основное уравнение рассматриваемой задачи в виде [c.37]

Сравнивая уравнения (2.2.1) и (2.2.2) с соответствующими уравнениями изотермической теории упругости, можно сделать заключение о том, что постановка квазистатической задачи термоупругости в перемещениях сводится к постановке задачи изотермической теории упругости, если рассматривать в качестве [c.39]

Динамическая задача термоупругости в перемещениях сводится к решению первого из уравнений (1.6.8), в котором температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). Для получения общего решения этого уравнения в форме (1.6.9) требуется исследование волновых уравнений (1.6.14) и (1.6.15). [c.177]

Полагая в уравнении (2.2.1) %= О, Р = О и учитывая, что все производные по г равны нулю, для задачи термоупругости о плоской деформации получаем следующие два уравнения в перемещениях [c.96]

С помощью теоремы о минимуме потенциальной энергии можно сформулировать ряд частных утверждений, касающихся вида дифференциальных уравнений в перемещениях и связанных с ними естественных граничных условий для задач об изгибе балок, мембран, плит, оболочек, для кручения бруса, плоского напряженного состояния в пластинках и т. д. [c.124]

Рассмотрим упругое полупространство дгз О, на границе которого Хз = О заданы перемещения. Первая краевая задача заключается в решении в области > О системы уравнений в перемещениях [c.212]

Достаточно общий метод решения задачи об упругом полупространстве дал Снеддон 1). Он основан на интегральном преобразовании Фурье по двум переменным, примененном к уравнениям в перемещениях, и приведении полученных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.248]

Задачу о плоском деформированном состоянии можно решать также в перемещениях. Исходным пунктом являются тогда уравнения в перемещениях (9). Поступая точно так же, как в 5.3, представим уравнение (9) в операторном виде [c.312]

Приведем несколько простых примеров решения двумерных задач термоупругости. Начнем с наиболее простого примера, а именно нагревания полого цилиндра осесимметричным образом ). Для определения перемещения иг применим формулу Майзеля (42). Обозначим через V радиальное перемещение, вызванное действием единичной радиальной нагрузки, приложенной к цилиндрической поверхности р = г. Для определения этого перемещения нужно решить уравнение в перемещениях [c.507]

К решению задачи о собственных напряжениях, так же как и в термоупругости, ведут два пути формулировка дифференциальных уравнений в перемещениях или в напряжениях. [c.533]

Предположим, что X = О и что причиной движения в неограниченной области являются начальные условия. Уравнения в перемещениях для рассматриваемой одномерной задачи примут следующий вид [c.554]

Для решения этой задачи применим метод интегрального преобразования Фурье, обсужденный в 9.6. Исходным пунктом является система уравнений в перемещениях для плоского деформированного состояния [c.664]

Задача характеризуется центральной симметрией. Система уравнений в перемещениях сводится поэтому к одному дифференциальному уравнению [c.751]

К уравнениям в перемещениях (8) следует добавить граничные условия. Заметим, что структура уравнений в перемещениях не соответствует шести граничным условиям. Если на поверхности заданы перемещения, то не удается независимо выразить нормальную составляющую вектора поворота. Мы имеем пять кинематических граничных условий. Аналогично обстоит дело и с условиями в нагрузках. Читателя, интересующегося этой задачей, отсылаем к работе Койтера ), где эта задача подробно обсуждена. [c.855]

Если принять за основные функции неизвестные перемещения, то решение задачи теории упругости можно свести к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях. Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равновесия (движения) (2.22) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука (2.24), а затем с помощью геометрических уравнений Коши (2.23) представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях [c.74]

Решение задач теории пластичности с помощью теории пластического течения представляет значительные трудности, обусловленные тем, что физические уравнения теории пластического течения (см. (5.9)) содержат не только компоненты напряжения, но и их приращения. Не представляется возможным данные уравнения решить относительно напряжений следовательно, нельзя составить систему уравнений в перемещениях. Во многих частных задачах обычно применяют численное интегрирование, прослеживая шаг за шагом развитие пластической деформации. На каждом этапе внешняя нагрузка получает приращения, по которым затем вычисляют соответствующие приращения напряжений и деформаций [224]. На каждом этапе, как указано в работах И. А. Биргера [9,11], необходимо решать некоторую задачу для упругого анизотропного тела с переменными параметрами упругости. [c.148]

Решение конкретной задачи теории упругости сводится к определению напряжений и перемещений, удовлетворяющих системе уравнений в перемещениях или в напряжениях и соответствующим условиям конкретной задачи, т. е. граничным условиям. Под граничными условиями понимают все сведения о напряжениях и перемещениях на поверхности детали, получаемые из анализа конструкции. [c.21]

Данную задачу решаем в перемещениях [см. выражение (71)], поэтому система уравнений для определения неизвестных постоянных согласно (178) следующая [c.93]

Решаем еще раз задачу, которая была рассмотрена в примерах 25 (см. рис. 47) и 14. Полная система уравнений состоит из дифференциальных уравнений в перемещениях и граничных условий. Для того чтобы уменьшить количество уравнений, которые не выполняются, выбираем выражения для перемещений и 5 при помощи разрешающей функции ф [c.96]

Задачу решаем в перемещениях. Нетрудно заметить, что для квазистатической задачи вывод уравнений не содержит никаких операций, связанных с производными по времени, поэтому получаем прежние выражения (35) [c.172]

Выше были получены различные виды систем уравнений, разрешающих основную задачу расчета стержневых систем. Здесь проводится их исследование и выясняется связь между математическим характером уравнений и механическими свойствами стержневых сисагем. Рассматривается непосредственное решение некоторых типов разрешающих уравнений (уравнений равновесия в статически определимых задачах, уравнений в перемещениях и уравнений смешанного типа). Особое внимание уделяется решению разрешающих уравнений в перемещениях— методу перемещений. Он рассматривается и для стержневых систем, в которых можно п ренебречь продольными деформациями стержней. Предлагается удобная схема расчета методом перемещений и приводится несколько примеров. [c.113]

Gif и 8,7, то получим три уравнения, содержащие только три неизвестных перемещения Так ставится задача МДТТ в перемещениях. [c.84]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Таким образом, намечаются три пути решения задачи 1) в перемещениях, когда решается система уравнений (17.24) и отысканию подлежат функции и (.v, у), v (х, у) 2) в усилиях, когда решается система уравнений (17.22), (17.26) и отысканию подлежат функции Nx, Ny, Nxy. 3) в усилиях, выраженных через функцию усилий Ф в однородной задаче, когда отысканию подлежит одна функция Ф (л, у), удовлетворяющая уравнению (17.27). К этим уравнениям необходилю присоединить соответствующие задаче краевые условия. [c.412]

Во всех трех работах задача решалась в перемещениях, при этом в трехмерные уравнения движения (или равновесия) подставлялись оледующие разложения [c.196]

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тензор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При решении же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны бьпъ наложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое назьшается условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности деформаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций в (1.2.88) является необходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравнений О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П1.108) с заменой в ней а на и ао на uo Тс на Т о и Ть на Те [c.42]

Пусть, например, решается квазистатическая задача МДТТ в перемещениях, т. е. три уравнения (1.2.11) относительно трех переменных ис [c.67]

Если тело не ограничено, то должны еще быть заданы условия на бесконечности. Итак, изотермическая задача МДТТ заключается в решении трех уравнений (6.3) с граничными условиями (6.4) или (6.5) и начальными данными (6.6). В этом и состоит постановка динамической задачи МДТТ в перемещениях. Сюда, разумеется, следует добавить требование гладкости разыскиваемого решения, границы и входных данных pF,-, 5f, Ui и V<. [c.45]

Плоскую упругопластическую задачу можно легко решить, используя запись ГИУ либо на основе бигармониче-ского уравнения, либо при помощи уравнений в перемещениях. Представляется, что оба подхода могут давать хорошие результаты при сравнительно небольших порядках систем уравнений даже для задач, которые имеют особенности, как, например, задачи о брусьях с надрезами, [c.103]

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папкови-чем в 1932—1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона. [c.7]

Для представления общего решения задачи термоупругости в перемещениях ( 2.2) используются формулы П. Ф. Папко-вича [40], которые являются наиболее удобными для применения, так как они содержат функции, подчиняющиеся сравнительно простым дифференциальным уравнениям, и имеют функ- [c.36]

Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А, Л. Гольденвейзер (1939) А, И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А, Н. Кильчевский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания. [c.229]

Выражая искомые решения через разрешающие функции (см. гл. П1), мы преследовали цель свести более трудную задачу решения дифференциальных уравнений в перемещениях к хорошо известной задаче решения гармонического или бигармонического уравнения. Рассмотренное в п. 61 решение конечно-разностных уравнений показало, что особенности получаемых систем алгебраических уравнений не позволяют пока назвать достаточно надежный метод решения этих систем. Наиболее подробно изучены численные методы решения такой системы линейных алгебраических уравнений, которую мы получаем, применяя конечно-разно-етную аппроксимацию уравнения Лапласа = О или Пуассона V if) = / (д ). В работе Г. М. Максимова [55] применен численный метод, приводящий к неоднократному решению уравнения Лапласа для сжимаемого материала. Используем этот метод для несжимаемого материала. Выбираем решение (103). Введем обозначение [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...