Пластинки Уравнения упругости

Дифференциальное уравнение изгиба пластинки на упругом основании согласно уравнению (5.12) имеет вид [c.173]

Дифференциальные уравнения упругой линии для первой и второй частей пластинки при силе Р, направленной вниз, будут [c.221]

Решения систем уравнений (а), (б) и (в), (г) получены главным образом в трудах советских ученых. На основании этих решений составлены подробные таблицы для расчета пластинок на упругом основании (см., например, [7]). [c.140]

Напряженное состояние рабочего колеса предполагаем осесимметричным, что оправдано для колес с числом лопаток больше 12. Схему деформации дисков с лопатками принимаем аналогичной схеме деформации круглой трехслойной пластинки с упругим заполнителем. При этом для деформаций несущих слоев справедлива гипотеза Кирхгоффа—Лява, а для среднего слоя (лопаток) — гипотеза о равномерном по ширине распределении деформаций сдвига. Ступичную часть колеса представим в виде кольца (при сопряжении лопаток со ступицей) или в виде изотропного диска. Основные уравнения получены вариационным методом. [c.184]

Если X и у рассматривать как переменные, то w = / (x, у, 5, г]) будет уравнением упругой поверхности пластинки, загруженной силой Р=1 в фиксированной точке л = 5, У = >). Если же считать переменными координаты S, у, то уравнение (134) будет описывать поверхность влияния для прогиба пластинки в фиксированной точке X, у при этом положение перемещающейся точки приложения сосредоточенной нагрузки будет указываться координатами 5. t. Отсюда нетрудно определить прогиб в любой точке пластинки и в том случае, если она подвергается действию нагрузки интенсивностью /(S, т]), распределенной по некоторой площади А. Действительно, приложив элементарную нагрузку /(S, i d di в точке х — , у = г] и использовав принцип наложения, найдем прогиб [c.132]

Следует обратить внимание также на то, что в отношении изгиба пологая сферическая оболочка ведет себя сходно с пластинкой на упругом основании. Лишь характеристическая длина выражается на этот раз уравнением (q), вместо выражения (а), указанного на стр. 291 для пластинки. Поэтому, если /, будучи определена уравнением (q), оказывается малой в сравнении с радиусом контура, то этот случай следует считать эквивалентным случаю пластинки на весьма жестком основании. Прогибы и изгибающие моменты в центре такой оболочки лишь в ничтожной степени зависят от условий на внешнем контуре, влияющих на состояние только краевой зоны оболочки ). [c.618]

Если длина прямоугольной пластинки велика по сравнению с ее шириной и нагрузка постоянна по всей длине, то поверхность изгиба в точках, достаточно далеко расположенных от коротких сторон пластинки, можно рассматривать как цилиндрическую. В этом случае для вычисления прогиба и изгибных напряжений достаточно рассмотреть изгиб полосы АВ (рис. 34) шириной, равной единице. Если толщину пластинки обозначить через 2/1, а прогиб ее — через w, то уравнение упругой полосы АВ будет [c.625]

Задачей дальнейших исследований является отыскание правильного объяснения этих фактов. Конечно, здесь речь идет не только о математической задаче, т. е. о нахождении решений основных уравнений упругого равновесия, которые соответствовали бы граничным условиям лучше, чем прежние. То, что на этом пути сделано Герцем, трудно превзойти. Можно было бы попытаться устранить или уменьшить ту неточность, которая получается из-за вычисления деформации шара вблизи поверхности давления по тем же формулам, как и плитки, и отыскать с этой целью особое решение для шара. Но мы видели на примере, что ввиду малости а и заметного влияния кривизны шара в пределах этой небольшой области ожидать нельзя. Но если бы мы и могли несколько улучшить формулы, то все равно независимость их от размеров пробного образца, свойственная всем решениям основных уравнений упругого равновесия, сохранилась бы. Поэтому, идя этим путем, нельзя найти объяснение тому факту, что при одинаковых условиях небольшой шарик вызывает повреждение пластинки без вреда для самого себя скорее, чем большой. [c.246]

Элементарный вывод уравнения упругого режима фильтрации связан не только с введением гипотез о постоянстве горного давления, но и с пренебрежением анализа деформации. Поэтому различные типы локальной формулировки (18.4) гипотезы о постоянстве горного давления становятся эквивалентными, параметры пласта тп = тп (а , р) и к = к Ы, р) оказываются функциями одного давления тп = = т (р), к = к (р). При этом необходимо либо определить фигурирующие в этих связях коэффициенты по натурным исследованиям пласта, либо находить их в лабораторных опытах, моделирующих пластовые условия. [c.194]

На основании теоремы Кирхгофа о единственности решения задачи теории упругости, доказанной в 118, мы можем считать, что раз мы нашли решение уравнений упругости, удовлетворяющее начальным и граничным условиям, то это решение будет единственным, и никакого другого решения найти нельзя. Это относится ко всем проблемам, которые будут рассматриваться в этой книге. Исключение составляют только задачи о равновесии длинных тонких прутьев пли тонких пластинок и тонких оболочек, где возможно несколько решений. [c.94]

Значение теоремы Кирхгофа заключается в том, что она гарантирует нам, за исключением особых случаев, что найденное нами решение уравнений упругости при заданных граничных и начальных условиях есть единственное возможное решение, и другого решения быть не может. Только в случае упругого равновесия длинных тонких прутьев, тонких, пластинок и оболочек возможны несколько решений, вследствие чего равновесие может быть неустойчивым. [c.311]

Помимо этого уравнения упругая поверхность ш должна удовлетворять двум граничным условиям для каждого элемента граничной поверхности пластинки. Если эти условия относятся к составляющим нормальных и касательных напряжений, [c.309]

Для пластинки из упругого материала, не обладающей вязкостью ( г = 0, te O, = т = прогибы т при условии, что пластинка покоится на упругом основании (д = —/гт) и нагружена давлением р, находятся из уравнения [c.350]

Предположим сначала для общности, что материал пластинки вязко-упругий. Тогда, принимая во внимание уравнение [c.394]

До сих пор мы предполагали, что напряженное состояние упругого кольца, подкрепляющего край отверстия в пластинке, описывается, как и напряженное состояние самой пластинки, уравнениями плоской теории упругости или уравнениями изгиба тонких пластинок. Если подкрепляющее кольцо достаточно тонко или имеет фасонный профиль, то его с большим основанием следует рассматривать как кривой брус, деформации которого описываются элементарными уравнениями теории сопротивления материалов. [c.65]

Принцип Сен-Венана В предыдущем параграфе мы рассмотрели несколько случаев, в которых точные решения для прямоугольных пластинок были получены с помощью функции напряжений очень простого вида. В каждом случае все уравнения упругости были удовлетворены, но решения являлись точными только при условии, что поверхностные усилия распределены заданным образом. [c.42]

Представим себе, что часть материала, испытывающая пластическую деформацию, вырезана из пластинки по круглой цилиндрической поверхности малого радиуса, как показано на фиг. 49 i. Тогда к остающейся части пластинки можно применить уравнения упругости. [c.98]

На основе гипотезы продолжающегося нагружения получение уравнений устойчивости трехслойных пластинок и оболочек с учетом работы материала за пределом пропорциональности проводится по той же методике, что и вывод уравнений упругой устойчивости, с той разницей, что вместо соотношений закона Гука используют соотношения теории малых упруго-пластических деформаций или теории течения. [c.253]

Деформации сдвига 131 — Уравнения дифференциальные 128—130 — Уравнения упругости 128, 131, 132 Пластинки круглые переменной толщины 121 [c.461]

Круглые пластинки. Введя в уравнение (130) реакцию упругого основания (—кт), получим дифференциальное уравнение изгиба пластинки на упругом основании [c.583]

Общие замечания. Материал пластинки следует идеальной упруго-пластической схеме (см. гл. 3, рис. 4, а). При достаточно большой нагрузке пластинка испытывает упруго-пластический изгиб. При этом в пластинке будут сечения, деформируемые упруго и упруго-пластически. В областях пластинки, деформируемых упруго, прогиб описывается дифференциальным уравнением [c.620]

Исследуем удлиненную прямоугольную пластинку из дуралюмина, защемленную но короткому краю (рис. 72). В этих условиях пластинку можно рассматривать как широкую балку, с одним заделанным и другим свобод- z ным концом. Уравнение попе- речных колебаний такой балки- пластинки, как системы с бес- Уу конечно большим числом степеней свободы, получается из уравнения упругой линии, имеющего вид [c.119]

Предложенный метод вывода интегродифференциального уравнения для контактного давления р а) может быть применен к другим подобным задачам. Пусть в круговое отверстие в бесконечной пластинке вложена упругая шайба того же диаметра, прижимаемая к краю отверстия си-лой Р, приложенной в центре шайбы [114]. Упругие постоянные шайбы и пластинки различные. Решим краевую задачу (3.10) для шайбы. Это решение дается формулами, аналогичными (3.15) и (3.19) для пластинки. По формулам (3.20) подсчитаем Н1+ (сРи,)1аЬ на контуре шайбы. [c.138]

Точное решение задачи об изгибе полубесконечной пластинки на упругом слое построено Р. В. Серебряным [95], обобщившим на эту задачу способ, предложенный им для расчета ослабленных шарнирами пластинок (1). Его способ позволяет, минуя интегральное уравнение, разрешимое точно методом факторизации (1, 3, 2). [c.290]

В тонких плоских пластинках, слегка изогнутых поперечными силами, упругие моменты согласно теории выражаются при помощи формул (18) через величины, определяющие кривизну средней поверхности, а эти последние выражаются через нормальное смещение при помощи формул (17). Для такой пластинки уравнения равновесия имеют вид [c.510]

В случае кривой пластинки или оболочки в первом приближении можно применить формулы (33) и выводы 306, как это делалось в случае плоской пластинки. Уравнения (34) и (35) остаются, следовательно, приближенно верными. Из них получаются члены низшего порядка в выражениях упругих усилий Т, 8 н упругих моментов. Путем подстановки в формулы (31) и (32) получаем в выражениях 7J, 5 следующие члены первого порядка относительно Л [c.558]

Другим примером может служить тождественность дифференциальных уравнений, вырал<ающих закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня, дифференциальным уравнениям упругой поверхности мембраны, натянутой на конкретный контур и подвергнутой равномерно раюпределенному давлению. Эта тождественность лежит в основе получившего распространение метода мембранной аналогии, при использовании которого в пластинке выреза- [c.7]

Так как в уравнении кривой величина X должна быть исключена, то отсюда следует, что уравнение упругой пластинки будет одним и тем же, независимо от того, примем ли мы, что она растяжима или же нет. Но натяжение нити, выражающееся с помощью X или с помощью F, когда нить неунруга (п. 43), увеличится благодаря упругости на величину [c.215]

Уравнения (4) совпадают по виду с уравнением упругой пластинки, лежащей на сплошном винкелеровском основании. Их можно решать независимо одно от другого, если контурные условия у всех слоев одинаковые (однотипные контурные условия). [c.269]

Переходя к случаю упругого стержня, Эйлер отмечает, что прямой метод вывода уравнения упругой кривой был применен Яковом Бернулли (см. стр. 39). Чтобы воспользоваться методом конечных причин , Эйлеру нужно иметь выражение энергии деформации, и здесь он прибегает к данным, предоставленным ему Даниилом Бернулли. Он заявляет Достославный и остроумнейший в этой возвышенной области исследования природы Даниил Бернулли сообщил мне, что он может представить всю силу, заключаюш у1ося в изогнутой упругой пластинке, одной формулой, которую он называет потенциальной силой", и что это выражение для упругой кривой должно быть наименьшим , а затем продолжает (согласно Бернулли) если только пластинка будет повсюду одинаково толстая, широкая и упругая и в естественном состоянии будет вытянута прямолинейно , то форма кривой прогиба должна [c.45]

Совершенно аналогйчно прямоугольной пластинке исследуется и вопрос об устойчивости плоской формы равновесия круглой пластинки. Кто придает большое значение точным решениям, тот в случае круглой пластинки будет чувствовать себя удовлетворенным в большей степени, чем в случае прямоугольной пластинки, так как мы можем совершенно аналогично тому, как это оказалось возможным в третьей главе при рассмотрении изгиба круглых пластинок, симметрично нагруженных силами, перпендикулярными к их поверхности, вывести сравнительно просто точное выражение для критической нагрузки. Но для практических целей это не имеет никакого значения, и потому мы предпочитаем вывести формулу для критической нагрузки круглой пластинки совершенно таким же способом, как и для прямоугольной. Для этой цели нам нужно лишь составить выражение работы деформации при изгибе для такой возможной формы изогнутой поверхности со стрелою прогиба /, которая не очень отличалась бы от получающейся при потере устойчивости плоской формы. В третьей главе такого готового выражения, мы непосредственно не имеем, так как там задачу, относящуюся к круглой пластинке, мы решали на основании диференциального уравнения упругой поверхности, а не на основании теорем о работе упругих сил. Но мы легко можем его вывести дополнительно. По формуле (103), найденной нами в 27, стрела прогиба /круглой пластинки, нагруженной в центре сосредоточенной силой Р и свободно опертой по контуру, выражается следующим образом [c.319]

Если нагрузка остается меньше этого критического аиачения, то плоская форма равновесия при изгибе остаетсяустойчивой. При нагрузке, равной этому критическому значению, равновесие будет безразличным, а при переходе за критическое значение неустойчивым. В последнем случае полоса будет стремиться занять новое положение равновесия. Уравнение упругой линии для случая действия критической силы, которому соответствует безразличное равновесие, будет выражаться формулой (40), если в нее вставить значения постоянных. При этом нркно иметь в виду, что наши выводы правильны только при бесконечно малых перемещениях, так что уравнение для осевой линии пластинки действительно лишь в непосредственной блиаости к нормальному состоянию. [c.328]

Триводится вывод фундаментальных уравнений движения, реологии и термодинамики многофазных сред. Рассмотрены особенности сейсмических и ударных волн в насыщенных жидкостью породах, механизм уплотнения (консолидации) земляных масс, механика квазистационарных процессов в нефтегазовом пласте. Проанализированы свойства горных пород и флюидов под давлением, даны уравнения упругого режима фильтрации нефти и газа и расчеты важнейших типов фильтрационных потоков. Уделено внимание учету эффектов трещиноватости, прогиба кровли пластов (нелокально-упругих эффектов), изменений нроницаемости пласта, двучленного закона фильтрации и т. д. Предложены рекомендации по расшифровке наблюдений за установившимися и нестационарными режимами работы нефтяных п газовых скважин. [c.2]

Недавно Энгелундом и Серенсеном i было предложено толщу пород выше насыщенного пласта моделировать упругой пластиной, прогиб которой из-за снижения давления Др удовлетворяет уравнению ф [c.319]

В 1946 г. Владимиром Николаевичем были выведены основные дифференциальные уравнения движения упругой жидкости в упругой пористой среде, положившие начало аналитическому развитию теории нестационарной фильтрации. Теории упругого режима фильтрации посвя-ш.ены две монографии Упругий режим пластовых водонапорных систем и Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме , опубликованные соответственно в 1948 и 1959 гг. Это первые фундаментальные работы в мировой литературе. [c.119]

Формула (3.91) справедлива, когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки й. Когда же длина волны становится сравнимой с толщиной, распределение напряжений по сечению пластинки, перпендикулярному фронту волны, перестает быть равномерным. Тогда надо использовать точные уравнения теории упругости (2.8), (2.9), (2.10) и граничные условия, выражающие, что поверхности пластинки свободны от напряжений, причем анализ совершенно аналогичен тому, который описан в гл. II для волн Релея. Лемб [78] рассмотрел распространение синусоидальных плоских волн в бесконечной пластинке и показал, что при симметрии движения относительно срединной плоскости пластинки уравнение частот имеет вид [c.80]

В случае бесконечных рядов (16.3) возникает вопрос о том, сходятся ли значения и, V, т, полученные указанным методом, к действительным интегралам уравнений упругого равновесия в рассматриваемом случае. Ритц доказал это для разобранного им случая изгиба заделанной прямоугольной пластинки равномерной нагрузкой. В общем виде этот вопрос был предметом многих работ, в частности работ Н. М. Крылова и Л. Канторовича, но он не может считаться окончательно решённым, и мы не будем здесь останавливаться на нём. При конечном числе постоянных (16.4) мы получим приближённое решение, точность которого вообще тем выше, чем больше постоянных <16.4), и чем искуснее подобраны функции (16.5). [c.442]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

X j ztdz. Для упругих изотропных пластинок уравнение для опре- [c.295]

Галеркин Борис Григорьевич (1871-1945) — советский ученый в области теории упругости и инженер, академик. Окончил Петербургский политехнический институт 1899 г.), профессор (с 1920 г.) Ленинградского университета, в 1939-1945 гг. — директор Института механики АН СССР. Разработал эффективные методы приближенного решения уравнений теории упругости. Один иа создателей теории изгиба пластии. Предложил общий вид решения уравнений упругого равновесия. Развил математическую теорию цилиндрических оболочек. [c.452]

В случае длинного днлиндра присутствует еще компонента (Тг=ХГ, которая, однако, сразу определяется после решения системы уравнений в целом. Кроме того, в случае плоской пластинки входит упругая постоянная Х = 2 Хц/(Х+2 ц). [c.6]

В работе В. А, Пальмова [55], а затем в работе К- Е, Егорова [27] рассмотрена задача о контакте круглой пластинки с упругим слоем в условиях осевой симметрии, Использоваппый в этих работах метод (применительно к основанию (1,3) при отсутствии осевой симметрии) заключается в формулировке задачи в виде парного уравнения (2,31) и дифференциального уравнения из (2,24). Содержащиеся в (2,31) неизвестные прогибы пластинки исключаются следующим образом. Подставляется контактное напряжение, взятое в форме второго интеграла из (2.31), в правую часть дифференциального уравнения из (2.24) и находится его >ешение, удовлетворяющее условиям свободного края для пластинки. 7оследующая подстановка, полученного решения в (2.31) приводит к парному уравнению, содержащему, как обычно, только одну неизвестную функцию р (0- Методом подстановки в форме Лебедева — Кука (1, 5, 3) это парное уравнение сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...