Пластинки Пластинки Уравнения

До сих пор мы предполагали, что напряженное состояние упругого кольца, подкрепляющего край отверстия в пластинке, описывается, как и напряженное состояние самой пластинки, уравнениями плоской теории упругости или уравнениями изгиба тонких пластинок. Если подкрепляющее кольцо достаточно тонко или имеет фасонный профиль, то его с большим основанием следует рассматривать как кривой брус, деформации которого описываются элементарными уравнениями теории сопротивления материалов. [c.65]

В тонких плоских пластинках, слегка изогнутых поперечными силами, упругие моменты согласно теории выражаются при помощи формул (18) через величины, определяющие кривизну средней поверхности, а эти последние выражаются через нормальное смещение при помощи формул (17). Для такой пластинки уравнения равновесия имеют вид [c.510]

При применении к тонким пластинкам общие уравнения равновесия значительно упрощаются. Удобнее, однако, выводить эти упрощенные уравнения не непосредственно из общих, а вычислив заново свободную энергию изогнутой пластинки и затем про-варьировав эту энергию. [c.60]

Таким образом, имеем в качестве условия минимальности полной свободной энергии пластинки уравнение [c.65]

Перейдем теперь к продольным волнам в тонких пластинках. Уравнения движения для таких колебаний можно написать сразу, [c.139]

Точная теория изгиба пластинок, исходящая из основных уравнений теории упругости, весьма сложна. Ее методами пока решены только некоторые простейшие задачи. В связи с этим возникла необходимость в приближенной теории расчета пластинок, которая, основываясь на ряде допущений, давала бы близкие к точным, но более простые решения важнейших практических задач. Такая теория создана работами многих ученых в первой половине XIX в. Приближенная теория изгиба пластинок, которая называется технической теорией пластинок, базируется на следующих двух основных гипотезах (гипотезах Кирхгофа) [c.498]

Точные решения, полученные результате численного интегрирования, удается найти только для круглых симметрично загруженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилиндрических координатах на z и интегрируя по толщине, мы получим следующее дифференциальное уравнение для изгибающих моментов [c.641]

Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки, выведенные в декартовой системе координат, преобразуем к полярной системе координат. [c.146]

Все рассуждения, приведенные для функции одного аргумента, можно применить и к функциям двух и более аргументов. Для решения задачи об изгибе пластинок уравнения Бубнова — Галеркина (е) можно представить в следующем виде [c.161]

Для квадратной пластинки эти уравнения дают [c.271]

Показать, что для круглых полярно-симметрично нагруженных пластинок дифференциальное уравнение может быть приведено к виду [c.149]

И допустим, что поверхность раздела двух жидкостей есть поверхность вращения, ось которой совпадает с осью пластинки. Тогда уравнение (22) примет вид [c.127]

Применительно к данной пластинке уравнение (4.18) принимает вид [c.175]

Для света, падающего перпендикулярно к плоскости пластинки, уравнения (39) сводятся к двум [c.20]

Ввиду полной симметрии граничных условий, т. е. одинаковости а на правой и левой сторонах пластинки, уравнения которых суть [c.47]

В системах с пластинчатым строением зависимость предела текучести от расстояния между пластинками определяется уравнением Холла — Петча [c.139]

Для круглой кольцевой пластинки уравнение (6.56) при v=t 0 упрощается [c.210]

При расчетном напряжении 1,3 кг/мм- и при укладке поперечины на пласть расчетное уравнение будет иметь вид [c.253]

Индекс V относится к наружному или внутреннему контуру пластинки. Уравнение совместности деформаций [c.51]

В соответствии с этим получим интегральные уравнения для пластинки, аналогичные уравнениям (1.156) и [c.53]

Обратимся теперь к кинематической модели ломаной линии. Уравнения цилиндрического изгиба длинной прямоугольной трехслойной пластинки, основанные на этой модели, получим из общей системы (3.7.9) — (3.7.13), модифицированных согласно (3.7.15), (3.7.16) для того случая, когда поперечные сдвиговые деформации учитываются в заполнителе и не учитываются в несущих слоях пластинки. Эти уравнения записываются так к = 1, 2, 3) [c.102]

Зная Z как функцию координат х я у, мы из уравнения (28) при определенных граничных условиях, заданных на контуре срединной поверхности пластинки, можем определить W. В общем случае задача очень трудная. Затруднения возникают при формулировании граничных условий в случае заданных на контуре напряжений (но не прогибов) ). Здесь мы рассмотрим наиболее простой случай — круглую пластинку, нагруженную симметрично. [c.311]

Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. 96). При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. 99, 100). Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки. В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями. [c.12]

Налагая эти прогибы на прогибы свободно опертой пластинки из уравнения (89), получим следующее выражение для прогибов защемленной пластинки при загружении ее в центре [c.85]

Распределение напряжений в толстой защемленной по контуру круглой пластинке (Л/а = 0,4) с защемленными краями показано на рис. 43. Эти напряжения вычислены для с = 0,1а и v = 0,3. Максимальное сжимающее напряжение 0 в направлении, нормальном к горизонтальным поверхностям пластинки, получается в этом случае большим, чем максимальное сжимающее напряжение при изгибе, определенное уравнением (95). Максимальное растягивающее напряжение находится нз уравнения (97). Оно меньше, чем растягивающее напряжение, находимое из элементарной теории изгиба. Изменения последнего по ширине пластинки показаны на чертеже пунктирной [c.87]

Эта область имеет вид трубы, расширяющейся в сторону излучателя. Ее ось перпендикулярна к излучающей пластинке сечения трубы плоскостями, параллельными излучающей пластинке, имеют вид прямоугольников, оба размера которых уменьшаются с ростом 2 (незаштрихо-ванная область рис. 316). В кайме , заключенной между поверхностями (8.59) и поверхностью параллелепипеда, описываемой (при начале координат в центре пластинки) уравнениями [c.329]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Для прямоугольной пластинки решение уравнения Софи Жермен (7.16) в конечном виде получить не удается, приходится его искать в виде бесконечного ряда. [c.132]

Разрешающие уравнения. Рапее были рассмотрены три группы уравнений геометрические уравнения (51) —(54), описывающие 1 еометрию деформации пластинки физические уравнения (55), (56), устанавливающие связь де( юрмаций и напряжопи статические уравнения равновесия (62) —(66). [c.530]

Эксплуатационные режимы нагружения элементов конструкций имеют, как правило, более сложный характер, чем распространенные в практике экспериментов синусоидальные или треугольные формы циклов нагружения, хотя именно они являются наиболее часто используемыми при получении основных характеристик циклических свойств материалов и закономерностей их изменения в процессе деформирования. Синусоидальный или треугольный законы изменения напряжений и деформаций использовались в качестве основных и при экспериментальном изучении кинетики циклической и односторонне накапливаемой пласти ческих деформаций и их описании соответствующими зависимостями, рассмотренными в предыдущих главах. В ряде случаев условия эксплуатационного нагружения представляется возможным схематизировать такими упрощенными режимами. Однако в большинстве случаев для исследования поведения материала с учетом реальных условий оказывается необходимым рассмотрение и воспроизведение на экспериментальном оборудовании таких более сложных режимов, как двух-и многоступенчатое циклическое нагружение с различным чередованием уровней амплитуд напряжений и деформаций, нагружение трапецеидальными циклами с выдержками различной длительности на экстремумах нагрузки в полуциклах растяжения и (или) сжатия, а также в точках полного снятия нагрузки, двухчастотное и полигармо-ническое нагружение, нагружение со случайным чередованием амплитуд напряжений, соответствующим зарегистрированными в эксплуатации условиями. Особенно необходимым воспроизведение и исследование таких режимов становится в области повышенных и высоких температур, когда на характер и степень проявления температурно-временных эффектов, а следовательно, и на кинетику деформаций, существенное влияние оказывают факторы длительности, формы цикла и уровней напряжений или деформаций в процессе нагружения. Ниже приведены исследования закономерностей развития деформаций для ряда упомянутых режимов нагружения, позволяющие проанализировать применимость тех или иных уравнений кривых малоциклового деформирования и применение параметров этих уравнений при изменении режимов. [c.64]

Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки, выведенные в декартовой системе координат, преобразуем к полярной системе. В этом случае прогиб пластинки и нагрузка являются функцияхми переменных г и 0, т. е. ги = ш (г, 9) я q = q (г, 0). Тогда согласно зависимостям (7.3) основное уравнение изгиба пластинки (8.15) принимает вид аз ) di d w [c.140]

Балку длины I и единичной ширины будем представлять себе вырезанной" из пластинки двумя нормальными сечениями у = с, у=с+ с = onst). Уравнения ее изгиба полностью аналогичны уравнениям цилиндрического изгиба пластинки. Эти уравнения получим из общей системы (3.5.1) — (3.5.7), опуская в ней нелинейные и динамические слагаемые и принимая во внимание равенства = О, справедливые при перечисленных условиях для обеих рассматриваемых конструкций. Кроме того, в задаче изгиба пластинки верно равенство = О, а в задаче изгиба балки — уу Обращаясь к дифференциальным уравнениям равновесия (3.5.7), замечаем, что второе и пятое из них удовлетворяются тождественно, а остальные записываются в виде [c.95]

Эйлер заключает Этим уравнением и выражается природа кривой ЛтпВ, и из него же, если применять его к представившемуся случаю, определится и длина I (эквивалентного маятника) а зная ее, мы узнаем и самое колебательное движение ). После этого он интегрирует уравнение (f) и, используя принятые условия на концах пластинки, находит уравнение частот, из которого представляется возможным вычислять частоты для ряда последовательных форм колебаний. [c.49]

Прямые линии, параллельные оси х, искривляются в результате изгиба в параболы, обращенные выпуклостью вниз (рис. 24), прямые же, параллельные оси у, деформируются в параболы, обращен-ные выпуклостью вверх. Для прямых, делящих пополам углы между осями X и у, мы имеем х = у или X = — у поэтому прогибы по этим направлениям, как это видно из уравнения (f), равны нулю. Все прямые, бывщие до изгиба параллельными этим биссектрисам, остаются прямыми и после изгиба, повернувшись лищь на некоторый угол. Ограниченный такими прямыми линиями прямоугольник abed подвергнется перекосу (скручиванию), как показано на рис. 24. Представим себе, что через прямые аЬ, Ьс, d, ad проведены нормальные сечения пластинки. Из уравнений (39) и (40) мы заключаем, что изгибающие моменты в этих сечениях равны нулю, крутящие моменты в сечениях ad и Ьс равны Mj, в сечениях же аЬ и d — М . Таким образом, часть abed пластинки будет находиться в условиях пластинки, подвергающейся чистому изгибу крутящими моментами, равномерно распределенными по краям (рис. 25, а). [c.58]

Дифференциальное уравнение симметричного изгиба поперечно нагруженной круглой пластинки ). Если действующая на круглую пластинку нагрузка распределена по ней симметрично относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее центр, то изогнутая поверхность, в которую обратится срединная плоскость пластинки, также получится симметричной. Во всех точках, равно удаленных от центра пластинки, прогибы будут одинаковы, и потому мы сможем удовлетвориться рассмотрением их лишь в одном-единственном диаметральном сечении, проходящем через ось симметрии (рис. 27). Поместим начало координат О в центре неизогнутой пластинки, через г обозначим радиальные расстояния точек, лежащих в срединной плоскости, а через w — их прогибы вниз. Тогда максимальный наклон изогнутой поверхности в некоторой точке А будет равен — dwldr, кривизна же срединной поверхности пластинки в диаметральном сечении rz для малых прогибов выразится производной [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...