Уравнение упругой линии

Основное дифференциальное уравнение упругой линии балки [c.14]

Выражение (10.37) является точным дифференциальным уравнением упругой линии (изогнутой оси) балки. [c.179]

Однако величина (у У = tg 0 0 практически ничтожно мала по сравнению с единицей и, следовательно, этой величиной можно пренебречь, что приводит к упрощенному дифференциальному уравнению упругой линии балки [c.179]

Подставляя выражение изгибающего момента в дифференциальное уравнение упругой линии, получаем [c.180]

Решение. Разбиваем балку на два участка и составляем дифференциальные уравнения упругой линии для каждого из них в отдельности, поскольку выражения изгибающего момента на этих участках различны. Сначала определяем опорные реакции [c.181]

Поэтому дифференциальное уравнение упругой линии балки на этом участке принимает вид [c.181]

Таким образом, значение tg 0 не превышает 0,0004, т. е. весьма мало по сравнению с единицей. Этими величинами и можно пренебречь без ощутимой для практических целей ошибки. Тогда получим упрощенное дифференциальное уравнение упругой линии [c.272]

Заметим, что уравнение упругой линии иногда удобно записать в иной форме, считая заданным не момент М (х), а нагрузку q (д ). [c.273]

Уравнение упругой линии в форме (10.49) применяют при расчете балок на упругом основании и при рассмотрении колебаний балок. [c.273]

Предоставим читателю возможность самостоятельно решить этот пример. Укажем лишь, что на каждом из участков балки при интегрировании дифференциальных уравнений упругой линии будут получены по две произвольные постоянные i,D[ и Си, Оц. Для их определения к двум опорным условиям балки [c.277]

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования — составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям нагружения разбивается на п участков, то интегрирование дифференциальных уравнений для всех участков балки дает 2п произвольных постоянных. Добавив к двум основным оперным условиям балки 2 п — 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для определения этих постоянных. [c.281]

Дифференциальное уравнение упругой линии На /V участке запишется так [c.284]

Теперь можно показать, что соблюдение правил составления и интегрирования уравнений упругой линии обеспечило равенство произвольных постоянных на IV V участках. Действительно, положив в выражениях (10.79) и (10.82) х = d, т условий плавного сопряжения участков получим [c.284]

Уравнение (10.92) обычно называют универсальным уравнением упругой линии. При этом имеют в виду, что это уравнение применимо для любых расчетных схем балок. [c.286]

Запишем уравнение упругой линии для правого участка балки. Так как распределенная нагрузка обрывается в точке С, продлим ее до конца балки, одновременно вводя компенсирующую нагрузку такой же интенсивности (рис. 281, б). Уравнение упругой линии в общем случае будет иметь вид [c.286]

Подставив в уравнение (10.94) найденные значения начальных параметров, получим уравнение упругой линии в окончательном виде [c.287]

Запишем уравнение упругой линии для крайнего правого участка [c.287]

Теперь уравнение упругой линии для участка балки BD примет [c.288]

Чтобы вычислить перемещение точки С, нужно записать уравнение упругой линии для того участка, где находится эта точка. Так как она лежит на границе/и// участков, запишем уравнение упругой линии для первого участка. С этой целью в уравнении (10.100) нужно вычеркнуть слагаемые, соответствующие нагрузкам, появляющимся лишь на // и /// участках. Другими словами, в уравнение должен войти лишь один силовой фактор — [c.288]

Таким образом, уравнение упругой линии на первом участке имеет вид [c.288]

Подставив выражение (10.108) в уравнение (10.107), запишем уравнение упругой линии на уча-( гсн стке СВ в окончательном виде [c.290]

Запишем универсальное уравнение упругой линии (10. 24) для крайнего правого участка балки D , учтя, что геометрические начальные параметры 0 и равны нулю. Получим [c.294]

Подставив выражение (10.126) в уравнение (10.125), получим окончательное уравнение упругой линии для участка балки DE [c.294]

Уравнения углов поворота для всех участков получим дифференцированием уравнений упругой линии на соответствующих участках. [c.294]

Переходим к определению прогиба. Пользуясь универсальным уравнением упругой линии (10.92), для крайнего правого участка получаем [c.297]

Дифференциальное уравнение упругой линии для первой части имеет вид [c.298]

Перейдем к определению перемещений при помощи метода начальных параметров. Возьмем сечение на крайнем правом участке и запишем для него уравнение упругой линии [c.301]

Для определения угла поворота 6д правого конца балки продифференцируем уравнение упругой линии (10.137) для крайнего правого участка балки (5а < [c.301]

Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами сечений. Если размеры сечения стержня непрерывным образом изменяются по длине, то фор<мулы, полученные на основании гипотезы плоских поперечных сечений, становятся, вообще говоря, неверными (как и сама гипотеза). Однако некоторые точные решения теории упругости показывают, что в том случае, когда угол наклона образующей поверхности стержня к его осп невелик (не превышает 15— 20 ), с достаточной для инженерной практики точностью можно принимать распределение нормальных напряжений по высоте сечения прямолинейным. Тогда, естественно, можно пользоваться обычным условием прочности и дифференциальным уравнением упругой линии, т. е. [c.302]

Задавшись какой-либо формой сечения (причем таким образом, чтобы размеры его определялись только одним параметром), из уравнения (10.144) находим закон изменения этого параметра по длине балки. Тем самым определяем размеры всех сечений. Для нахождения перемещений можно пользоваться дифференциальным уравнением упругой линии (10.143). [c.303]

Таким образом, дифференциальное уравнение упругой линии для левой половины пролета имеет вид [c.305]

Каждый бесконечно тонкий слой материала балки, параллельны нейтральному, находится в плоском напряженном состоянии (рис. 479, й). Это обстоятельство и необходимо учесть при выводе дифференциального уравнения упругой линии балки-полоски. [c.479]

Таким образом, для балки-полоски дифференциальное уравнение упругой линии будет иметь вид [c.480]

Составим дифференциальное уравнение упругой линии сжатого стержня после потери устойчивости [c.507]

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому воспользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т. е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности [c.509]

Дифференциальное уравнение упругой линии [c.523]

Формулой Эйлера не всегда можно пользоваться. При ее выводе мы пользовались дифференциальным уравнением упругой линии, вывод которого основан на законе Гука. Закон же Гука, как известно, справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности. [c.269]

Составим диффере1щиальное уравнение упругой линии на участке V [c.283]

Расчет балок с промежуточным шарниром. Полученные выше универсальные уравнения упругой линии и углов поворота были найдены из рассмотрения участка К1 (рис. 280, б), на котором балка не имеет промежуточных шарниров, нарушающих плавность изогнутой сси. Поэтому, рассматривая всю балку в целом и оставляя общее для всех участков начало координат, применить эти уравнения к непосредпвеиному определению перемещений на участке SF балки, расположенном правее шарнира 5, нельзя. В этом случае определить перемещения можно, лишь рассматривая балку по частям (отдельно часть S и отде.пьно — SF). [c.292]

Для определения перемещений в полученной эквивалентной балке можно использовать универсальное уравненне упругой линии (10.92). [c.300]

W (д )=Шмакс =/= Л. Следовательно, уравнение упругой линии сжатого стержня имеет еид [c.504]

При использовании метода Ритца в уравнение упругой линии, представляющей вид колебаний, вводят несколько параметров, величины которых выбирают таким образом, чтобы частота основного типа колебаний была минимальной. [c.584]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...