Устойчивость плоской формы равновесия

Устойчивость плоской формы равновесия пластин [c.414]

Тонкий однородный диск (рис. 153) вращается около неподвижной оси, перпендикулярной к его плоскости. Может ли такой диск потерять устойчивость плоской формы равновесия [c.65]

Одним из распространенных видов нагружения многослойных пластин, работающих в качестве силовых элементов конструкций, является воздействие нормальных сжимающих или касательных усилий, которые могут привести к потере устойчивости плоской формы равновесия. [c.202]

При растяжении плоского образца с центральной трещиной может быть потеряна устойчивость плоской формы равновесия образца. Потеря устойчивости выражается в выпучивании части поверхности [c.244]

После этого рассмотрения явления потери устойчивости плоской формы равновесия с чисто качественной стороны мы перейдем к математическим выкладкам, чтобы исследовать явление и с количественной стороны. [c.325]

При исследовании явлений устойчивости плоской формы равновесия одно- или многопролетной неразрезной балки, концы которой не могут повертываться в плоскости концевых поперечных сечений и которая нагружена вертикальными силами в плоскости, целесообразно исходить из уравнения (48). Но при этом, однако, нужно иметь в виду, что так же, как и в случае диференциального уравнения (48) для упругой линии, в каждом пролете интегрирование нужно производить особо, так как выражение момента М при переходе через точку приложения силы или через опору изменяется. Обе постоянные интегрирования, получающиеся в каждом пролете, определяются по граничным условиям в начале и в конце соответствующего пролета. [c.333]

Если бы мы принимали во внимание только вертикальную стенку балки, то предположения предыдущего параграфа были бы выполнены полностью. Но не принимать во внимание горизонтальных полок нельзя, так как они в рассматриваемом явлении играют существенную роль. Мы на основании предыдущего знаем, что при переходе плоской формы равновесия в искривленную кроме изгиба приходится учитывать и кручение. В шестой главе мы уже детально занимались кручением прокатных балок и в 70 нашли удобное приближенное решение для двутавровой балки. Но в задаче об устойчивости плоской формы равновесия при изгибе кручение следует рассматривать совершающимся при других граничных условиях на концах балки, чем в случае чистого кручения. Как и в предыдущем параграфе, мы рассмотрим случай балки, защемленной одним концом. Если бы на свободном конце такой балки действовал крутящий момент, ось которого совпадала бы с осью балки, то мы не получили бы случая чистого кручения, так как на защемленном конце поперечное сечение вынуждено оставаться плоским, в то время как в случае чистого кручения оно перекашивалось бы ). Чтобы осуществить такие граничные условия в точности, можно поступить так воспрепятствовать повороту обоих концов балки около оси ее, а к среднему сечению приложить некоторый момент. Тогда вследствие симметрии среднее поперечное сечение будет оставаться плоским. Само собой разумеется, что сказанное относится к балке любого сечения. В предыдущем параграфе в случае прямоугольного сечения мы это обстоятельство оставляли без внимания, так как там оно большого влияния не оказывало. В случае же двутавровой балки дело обстоит иначе. Сохранение плоской формы концевого сечения имеет здесь потому большее влияние на угол закручивания балки, который получается от действия на свободный конец крутящего момента, что в силу рассматриваемого граничного условия горизонтальные полки, особенно вблизи места защемления, работают на изгиб. Подобный случай кручения стержня эллиптического сечения при [c.335]

Проведем через центр кольца три взаимно перпендикулярных оси координат, причем пусть плоскость ху совпадает с плоскостью кольца, а ось г пусть совпадает с осью симметрии кольца. Мы можем характеризовать потерю устойчивости плоской формы равновесия бесконечно малыми перемещениями С параллельными оси г, которые и нарушают плоскую круглую форму нейтральной осевой линии кольца. Происходящие при этом перемещения точек нейтральной осевой линии параллельно плоскости кольца будут бесконечно малыми величинами высших порядков, и, следовательно, ими в сравнении с перемещениями С можно пренебречь. Перемещение С представляет пока еще неизвестную функцию от центрального угла а. Мы применим общие условия равновесия к форме кольца, характеризуемой перемещениями [c.378]

Предложенная задача дает достаточно широкий простор для исследовании. С одной стороны, можно ограничиться исследованием устойчивости по отношению к осесимметричному опрокидыванию. Такое решение трудностей не представляет. С другой стороны, интересно рассмотреть существование несимметричных форм равновесия и установить условия выхода кольца из плоскости кривизны с кручением. Здесь необходимо будет предварительно вывести уравнения равновесия несколько более общего вида, чем те, которые используются при исследовании устойчивости плоской формы изгиба. [c.335]

При дальнейшем возрастании силы F наступает такой момент, когда стержень внезапно начинает изгибаться в горизонтальной плоскости с одновременным закручиванием (рис. 15.2). Если в этой ситуации задержать рост нагрузки, то можно убедиться, что новая форма равновесия устойчива, а прежняя плоская— неустойчива. Говорят, что произошла потеря устойчивости плоской формы изгиба. И в данном случае критическую силу F. r определяют как наибольшее значение силы f, при котором наряду с исходной имеет место другая смежная форма равновесия. [c.277]

На рис. 13.3 приведены примеры потери устойчивости с образованием смежных форм равновесия. Рама, в стойках которой возникает только центральное сжатие, при потере устойчивости изгибается, и узлы рамы смещаются по горизонтали. Круглая труба, находящаяся под действием равномерного внешнего давления, при потере устойчивости приобретает смежную (овальную) форму равновесия. Тонкая полоса, работающая на изгиб в вертикальной плоскости, при достижении силой критического значения теряет устойчивость плоской формы изгиба и начинает дополнительно испытывать изгиб в горизонтальной плоскости и кручение. [c.262]

Будем считать первоначальную плоскую форму равновесия пластины при нагружении ее в срединной плоскости устойчивой, если при небольшом вынужденном искривлении (поперечном отклонении) она стремится вернуться в первоначальное положение. Когда нагрузки достигнут некоторых критических значений, первоначальная форма равновесия окажется неустойчивой пластина может находиться в равновесии и при небольшом искривлении. Напомним, что одновременное существование двух форм равновесия называется бифуркацией (раздвоением). [c.468]

Уравнение (78) определяет то критическое значение Ркр силы, действующей на свободный конец, при переходе за которое плоская форма равновесия теряет устойчивость, потому что, как показывает формула (73), величина Ь зависит от Р. Если мы положим [c.345]

При исследовании малых прогибов упругих стержней показано, как можно ввести поперечный сдвиг в дифференциальное уравнение равновесия этой теории. Излагается расчет балок на упругом основании и важная для судостроения задача, поставленная И. Г. Бубновым, о расчете перекрестных балок. Рассмотрен продольно-поперечный изгиб балок, приводится точное, а также приближенное, развитое автором, решение в тригонометрических рядах. Дается систематизированное изложение теории выпучивания прямых сплошных стержней, полос, круговых колец, двутавровых балок, устойчивости вала при кручении. Уточняется известная задача Ф. С. Ясинского о расчете на устойчивость пояса открытых мостов. Приводятся точные и приближенные решения этой задачи энергетическим методом, данные самим автором. Особенно ценны результаты, относящиеся к устойчивости плоской формы изгиба полос и двутавровых балок. Теория изгиба, кручения и устойчивости двутавровых балок была разработана автором в 1905—1906 годах и оказалась основополагающим исследованием для последующих разработок в области расчета и общей теории тонкостенных стержней. Автор приводит компактные формулы для расчета критических сил. [c.6]

Практически обычно приходится встречаться с задачей, когда одно из усилий Р задано и нужно разыскать то наименьшее значение для другого сжимающего усилия, при котором плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой. Это предельное значение сжимающих усилий будем называть критическим. Для его определения мы можем использовать те же приемы, которые применялись при изучении устойчивости сжатых стержней. Можно исходить из общего дифференциального уравнения (226) для искривленной поверхности пластинки и определить из [c.423]

Плоская форма равновесия пластинки, находящейся под действием усилий Р и / 2> будет устойчива, пока ей соответствует минимум потенциальной энергии. [c.423]

Так же, как при Р = О, мы можем и в настоящем случае показать, что наименьшие значения для Рг и Р , при которых плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой, получаются из условия (с) 59, если в нем все коэффициенты Л кроме одного, положить равными нулю. Таким образом, критические значения усилий должны удовлетворять уравнению [c.430]

Этим определяется то значение растягивающих напряжений р , при котором плоская форма равновесия пластинки со сжимающими напряжениями р = 7р перестает быть устойчивой. Для растягивающих напряжений, больших найденного значения, пластинка устойчива, для меньших — не устойчива. [c.433]

Предположим, что прямоугольная пластинка, опертая по сторонам ж = О и X = а (рис. 122), сжимается вдоль оси х равномерно распределенными усилиями Р . Пусть эти усилия достигли предела, когда плоская форма равновесия пластинки перестала быть устойчивой. [c.443]

Таким образом, решается вопрос об устойчивости различных форм равновесия при плоском изгибе тонких стержней в задачах основного класса. Аналогичный подход может быть применен и в задачах, сводящихся к основному классу. [c.93]

Задачу об устойчивости плоской формы пластинки, подвергающейся действию сил, приложенных в плоскости пластинки, можно сформулировать следующим образом предполагая, что величина и закон распределения краевых усилий остаются неизменными, и характеризуя внешнюю нагрузку параметром у, критическое значение параметра у определяют в момент появления других форм равновесия пластинки, сопровождающихся искривлением ее срединной плоскости. [c.74]

К исследованию устойчивости можно подходить и с более общих позиций устойчивости движения. Здесь следует говорить о неустойчивости или устойчивости плоской формы пластинки под действием сил, приложенных в срединной плоскости пластинки. Наряду с этой невозмущенной формой равновесия пластинки рассматривают близкие к ней возмущенные формы движения. Если сколь угодно малые возмущения вызывают во времени конечные отклонения от невозмущенного равновесия, то последнее называют неустойчивым. [c.75]

Получим общее выражение для определения критической нагрузки с помощью интегрирования дифференциального уравнения устойчивости. Увеличивая интенсивность нагрузки можно достичь такого состояния, когда плоская форма равновесия пластинки станет неустойчивой и произойдет выпучивание пластинки. [c.79]

В обширной литературе по исследованию устойчивости монолитных сжатых стержней основное внимание уделяется рассмотрению критических значений нагрузок, соответствуюш,их плоским формам равновесия. Критическая нагрузка определяется как наименьшее значение осевых сжимающих сил, при котором происходит бифуркация, или раздвоение форм равновесия, т. е., помимо основной прямолинейной формы равновесия, возникает новая криволинейная форма. При этом, как правило, рассматриваются криволинейные формы равновесия, расположенные в одной из двух главных плоскостей изгиба. [c.278]

Рассмотренные случаи устойчивости стержней с нижним заделанным концом представляют собой различные комбинации наложения на верхний конец одной или двух линейных связей, одной или двух угловых связей и их сочетаний. В ряде случаев при произвольном расположении линейных и угловых связей (по отношению к главным центральным осям) бифуркация форм равновесия связана с образованием пространственных форм и только при совпадении направления связей с главными осями имеют место исключительно плоские формы равновесия. [c.319]

Рассмотренные в предыдущей главе разнообразные случаи устойчивости сжатых стержней имеют одну общую особенность их криволинейная форма равновесия представляет собой плоскую кривую и составление дифференциального уравнения упругой линии не представляет затруднений. При рассмотрении более сложных задач устойчивости прямолинейных и криволинейных стержней, как например устойчивости сжатых естественно закрученных стержней устойчивости скрученных стержней устойчивости сжато-скручен-пых стержней устойчивости круговых колец, нагруженных равномерно распределенными радиальными силами устойчивости плоской формы изгиба прямолинейных и криволинейных балок — приходится руководствоваться теорией пространственной упругой линии. [c.836]

В предыдущей главе рассмотрена устойчивость сжатых тонкостенных профилей. Тонкие листы (пластины) также требуют расчета иа устойчивость. Действительно, при некоторой величине усилий, действующих в плоскости пластины, плоская форма равновесия последней становится неустойчивой и пластина выпучивается. Это выпучивание пластин возникает при нагрузках тем меньших, чем меньше толщина пластины по сравнению с прочими ее размерами. Расчеты пластин иа устойчивость особенно существенны в таких специализированных отраслях машиностроения, как судостроение, самолетостроение и т. н. [c.964]

Если точка с координатами и Му, которые обозначают заданные значения усилий, попадет внутрь области ОАВС, то плоское равновесное состояние пластинки будет устойчивым. Если же указанная точка попадает на границу области устойчивости, т. е. на ломаную АВС, то плоская форма равновесия будет неустойчивой, а комбинация усилий — критической. [c.288]

Совершенно аналогйчно прямоугольной пластинке исследуется и вопрос об устойчивости плоской формы равновесия круглой пластинки. Кто придает большое значение точным решениям, тот в случае круглой пластинки будет чувствовать себя удовлетворенным в большей степени, чем в случае прямоугольной пластинки, так как мы можем совершенно аналогично тому, как это оказалось возможным в третьей главе при рассмотрении изгиба круглых пластинок, симметрично нагруженных силами, перпендикулярными к их поверхности, вывести сравнительно просто точное выражение для критической нагрузки. Но для практических целей это не имеет никакого значения, и потому мы предпочитаем вывести формулу для критической нагрузки круглой пластинки совершенно таким же способом, как и для прямоугольной. Для этой цели нам нужно лишь составить выражение работы деформации при изгибе для такой возможной формы изогнутой поверхности со стрелою прогиба /, которая не очень отличалась бы от получающейся при потере устойчивости плоской формы. В третьей главе такого готового выражения, мы непосредственно не имеем, так как там задачу, относящуюся к круглой пластинке, мы решали на основании диференциального уравнения упругой поверхности, а не на основании теорем о работе упругих сил. Но мы легко можем его вывести дополнительно. По формуле (103), найденной нами в 27, стрела прогиба /круглой пластинки, нагруженной в центре сосредоточенной силой Р и свободно опертой по контуру, выражается следующим образом [c.319]

В уравнение (33) угол й не входит, и потому для процесса потери устойчивости плоской формы равновесия оно значения не имеет. Это уравнение представляет обыкновенное дифгренциальное уравнение изгиба балки при плоской форме равновесия, и, конечно, в момент перехода плоской формы в другую оно сохраняется. [c.326]

Пусть дано кольцо радиуса а. Пусть его меридиональное сечение имеет ось симметрии, параллельную оси симметрии кольца, так что ось симметрии меридионального сечения вместе с перпендикулярной к ней осью, проходящей через центр тяжести меридионального сечения, представляют главные оси поперечного сечення. Так как мы предполагаем, что размеры поперечного сечения в сравнении с диаметром 2а кольца малы, то к рассматриваемому кольцу можно применить формулы теорик изгиба бруса малой кривизны. Пусть нагрузка распределена равномерно вдоль круга радиуса а и направлена к центру этого круга. Пусть 1) все силы нагрузки будут направлены к этой неподвижной течке также и при бесконечно малом отклонении кольца от его круглой формы и пусть 2) на единицу длины окружности приходится нагрузка р кг см, так что центральному углу da соответствует нагрузка р айч. При очень большой нагрузке кольца образуется восьмерка , т. е. плоская форма равновесия переходит в искривленную. Так как в данном случае мы имеем задачу об устойчивости, то мы должны исходить из деформированного состояния кстльца, бесконечно близкого к состоянию равновесия, и выразить, что для этого близкого состояния также получается равновесие. Это дает нам условие, которому должна удовлетворять критическая нагрузка р , при переходе через которую начинается потеря устойчивости плоской формы равновесия. [c.378]

На рис. 3.2 показано кольцо, нагруженное радиальной равномерно распределенной нагрузкой qo. При достижении критического значения (qo=qKp) кольцо теряет устойчивость. Новая форма равновесия показана на рис. 3.2 пунктиром. Потеря устойчивости плоской круговой формы кольца может привести к пространственной равновесной форже —выходу осевой линии кольца из плоскости чертежа. [c.94]

Задача об определении критических значений нагрузок, при которых наряду с плоской формой равновесия, устойчивость которой исследуется, становится возможной и иная — искривленная форма равновесия, вполне аналогична соответствующей задаче об определении критических значений сжимающих сил, приложенных к стержню. Для пластинки, подверженной действию сил, лежащих в ее плоскости, эта задача становится заметно более сложной, что связано с ее двумерностью. Определение критических состояний или критических внешних нагрузок возможно статическим, энергетическим и динамическим методами. У этих методов есть свои [c.414]

До.сих пор мы рассматривали задачи устойчивости стержней и пла- THfi идеально правильной формы. В силу этого допущения при любом уровне внешних нагрузок возможна исходная прямолинейная форма равновесия стержня и плоская форма равновесия пластин. Именно это допущение приводит к понятию критической нагрузки, т, е, такой нагрузки, при превышении которой исходная форма равновесия стерж- [c.214]

Мы рассмотрим простейший случай, когда поперечное сечение стержня представляет прямоугольник, шиг рина / которого в сравнении с высотой h мала. Теория устойчивости плоской формы упругого равновесия такого бруса была впервые подробно изучена Прандтлем (Prandtl) ) в его мюнхенской диссертации 1899 г. [c.323]

Случай потери устойчивости плоской формы изгиба балки, опирающейся обоими концами и нагруженной посредине силой, при тловии невозможности поворота концевых сечений около оси балки, играет в практике большую роль. Точно так же, как и в предыдущем параграфе, мы при рассмотрении этого случая будем исходить из основного уравнения (67) для искривленной формы равновесия дчутавровой балки. Всю длину балки мы обозначим через 21, а нагрузку, приложенную посредине балки, через Р, так что опорная реакция на каждом конце будет равна Р. Если начало системы коорлинат мы поместим в концевом сечении балки, то изгибающий момент, действующий на расстоянии х от конца, будет выражаться формулой [c.349]

Предположим, что прямоугольная пластинка с опертыми краями сжимается силами = —Т , = —Т , равномерно распределенными по соответствующим сторонам пластинки (рис. 114). Увеличивая сжимающие силы, мы можем достигнуть предела, когда плоская форма равновесия перестает быть устойчивой и дальнейшее увеличение сжатия сопровон дается вьгаучиванием пластинки. Возникает явление, аналогичное явлению продольного изгиба в случае сжатия прямых стержней. [c.423]

Задачи об устойчивости плоской формы изгиба двутавровых балок решены проф. С. П. Тимошенко ). Им же исследован целый ряд задач об устойчивости кривых стержней, пластин и случаев продольно-поперечного изгиба. Эта последняя задача была впервые рассмотрена проф. Бубновым для неразрезной балки на упругих опорах ). Им же были решена некоторые задачи об устойчивости пластин. Ряд задач об устойчивости упругих плит был впервые решён академиком Б. Г. Галёркиным ). Его общий метод приближённого решения задач устойчивости упругих систем получил широкое распространение в СССР и за границей. Задача о формах равновесия сжатых стержней была подробно исследована академиком [c.672]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...