Конечные деформации изотропной

Комплексный потенциал 263 Композитные материалы 201, 213, 218 Конечные деформации изотропной упругой среды 75 Коноидальное разрушение 305 Контакт двух упругих шаров 608 Концентрация напряжений 697, 698 Координаты цилиндрические 287 Коробление земной коры 321 Коэффициент вязкости 209, 686 [c.854]

Как мы увидим в IX. 3, при бесконечно малой упругой деформации из естественной конфигурации простой сдвиг может быть вызван приложением пропорционального ему напряжения сдвига э том же направлении. При конечной деформации изотропного упругого тела такое простое описание эффектов уже невозможно, поскольку одно лишь напряжение сдвига никогда не может произвести простой сдвиг. [c.276]

Оно, как это будет показано дальше в главе 8, в действительности справедливо для всякого изотропного идеально упругого твердого тела. Отсюда следует, что в любых материалах подобного типа возникновение неодинаковых по величине нормальных компонент напряжения обусловлено эффектом конечной деформации . Если деформация s мала, то разность рц — рзг будет невелика по сравнению со сдвиговым напряжением. [c.110]

Соотношения (3.132) представляют собой обычный закон Гука, записанный в скоростях напряжений и деформаций. Очевидно, что таким образом можно записать закон бесконечно малого деформирования в окрестности произвольной конечной деформации любого несжимаемого упругого тела, однако модуль Юнга будет, вообще говоря, зависеть от величины конечной деформации (точнее говоря, от трех инвариантов тензора деформации, так как тело считается изотропным). Предположение о постоянстве Е означает, что реакция выбранной модели упругого тела на малые возмущения не зависит от величины конечной деформации. [c.105]

Около 20 лет тому назад при исследовании больших деформаций, включая пластические волны при конечных деформациях, я заинтересовался изучением кристаллических тел, для которых тепловые и механические предыстории изменялись в большей мере, чем это обычно бывает согласно описаниям в известных мне литературных источниках. Результаты этих исследований, которые привели к моему открытию дискретного распределения значений модулей соответствующих нулевой точке в изотропных телах, явились значительным дополнением к аналогичным результатам по дискретному распределению значений коэффициентов парабол, которые я ввел для описания функции отклика при нагружении в условиях конечных деформаций. Результаты исследования также указывают на вероятность того, что модули отдельных изотропных кристаллических тел могут переходить от одного устойчивого значения для данного материала к другому дискретному устойчивому значению согласно квантованным распределениям, задаваемым фор- [c.509]

Не менее важно, как будет показано ниже, то, что для изотропных тел на эту общую функцию отклика при различных комбинациях значений компонентов напряжений могут быть наложены ступеньки по Савару — Массону. Отклонение от графика параболической функции отклика по вертикали при возрастании напряжения и близкой к постоянному значению деформации сменяется участком увеличения деформаций при близком к постоянному значению напряжений с возвращением точно к графику параболической зависимости функции отклика. Такая же картина неизменно имеет место и при комбинации отдельных приращений компонентов деформации. То, что эта картина не обязательно такова для отношений отдельных компонентов,— это важное открытие, влияющее на любое представление уравнений состояния, управляющих конечными деформациями в кристаллах. [c.341]

Из соотношения (5.35) следует, что единственная явная зависимость массовой плотности свободной энергии от компонентов тензора конечной деформации Грина — это зависимость через якобиан J t) очевидно, что такая зависимость эквивалентна зависимости от плотности массы p t). Если допустить для соотношения (5.35) зависимость от деформации более общую, чем через одну скалярную величину J(i), то будет нарушено предположение об отсутствии предпочтительной конфигурации. Отсюда также следует, что рассматриваемая сплошная среда изотропна, поскольку функционал (5.35) удовлетворяет принципу объективности. [c.123]

Обоснование 4 мы также рассмотрим позднее при изложении теории конечных деформаций, однако даже в теории бесконечно малых деформаций оно пе адекватно, поскольку (X. 1-1)- лишь достаточно, но не необходимо для того, чтобы скорости волн были действительны и отличны от нуля. Например, как мы увидим в XI. 8, для изотропных материалов необходимыми и достаточными условиями служат более слабые неравенства [X > О, + 2[х>0. Таким образом, обоснование 4 никак нельзя развить в адекватное основание для получения априорного неравенства. [c.315]

В этом параграфе представлены приложения описанной теории к некоторым задачам теории упругости при конечных деформациях. Все приводимые ниже примеры относятся к изотропным телам. [c.332]

Теорию конечной плоской деформации изотропных гиперупругих тел можно трактовать как частный случай обсуждавшейся в предыдущем пункте теории для осесимметричных тел. Рассмотрим однородное твердое тело в условиях плоской деформации, параллельной плоскости х . Кроме того, тело может быть подвергнуто равномерному растяжению в направлении оси ж , характеризуемому относительным удлинением %. Тогда 70,3 определяются формулами (18.48а), 70,3 = О и 7,3 = - X — 1), где теперь % — известная постоянная. Главные инварианты тензора меры деформации имеют вид [c.375]

Мы не будем здесь рассматривать в деталях вопрос о модели трансляционного упрочнения с кусочно линейной поверхностью нагружения. Простая схема, приведенная на рис. 16.8.2, иллюстрирует эту разницу. Двигаясь в октаэдрической плоскости по радиальному пути нагружения при изотропном упрочнении, мы будем все время находиться на одной и той же стороне расширяющегося шестиугольника, представляющего собою след пересечения октаэдрической плоскости с расширяющейся призматической поверхностью нагружения. При кинематическом упрочнении шестиугольник сначала будет двигаться вправо по нормали к той стороне, на которой находится конец вектора нагружения. В момент, когда шестиугольник займет положение, показанное штриховой линией, конец вектора нагружения окажется в вершине, которая будет следовать по прямолинейному пути нагружения, увлекая за собою перемещающийся параллельно шестиугольник. Радиус-вектор s центра шестиугольника изображает в некотором масштабе пластическую деформацию, вызванную напряжением а при заданном радиальном пути нагружения. Конечно, это относится к случаю линейного упрочнения. [c.557]

Идеализированная теория, основанная на предположении о нерастяжимости волокон, во многих случаях не дает достаточно подробной информации о распределении напряжений, поскольку в этой теории должны быть заданы граничные условия в напряжениях. В конкретных задачах эти условия или могут быть неизвестными, или их в принципе нельзя задать по той причине, что волокна замкнуты и не пересекаются с границей тела. В таких случаях может оказаться необходимым найти приближенные решения, в которых деформация, определяемая идеализированной теорией, берется в качестве первого приближения для материалов со слегка растяжимыми волокнами. Поскольку аналогичная проблема решается в обычной теории воз-муш,ений, для построения последующих приближений можно использовать метод, описанный в статье Грина с соавторами [17], посвященной исследованию задачи о малых деформациях, наложенных на конечные. В указанной статье этот метод применяется к изотропным материалам, но его можно применить и к интересующему нас случаю трансверсальной изотропии. [c.349]

Далее для оценки распределения напряжений в волокне и матрице слоя применяется метод конечных элементов. Поскольку рассматривается только нагружение в плоскости слоистого композита с симметричной относительно срединной плоскости структурой, осредненные напряжения и деформации в любом слое постоянны по толщине слоя. Поэтому достаточно решить задачу о распределении напряжений в компонентах слоя для одного повторяющегося сегмента, не принимая во внимание его расположение в слое. Для определения критического элемента, в котором будет достигнут предел текучести, можно применить любой однородный изотропный критерий пластичности (например, основанный на гипотезе об энергии формоизменения). Приложенные нагрузки затем пересчитываются в точке зарождения течения критического элемента. Когда точка начала течения зафиксирована, можно переходить в диапазон нелинейного нагружения. [c.277]

Большие вырезы в палубах, надстройки, фундаменты под главные и вспомогательные механизмы, различные подкрепления, выгородки и шахты приводят к значительной неоднородности и сложности конструкции, для исчерпывающего анализа которой необходимо применять численные методы типа метода конечных элементов [8, 13]. Наряду с этим в судостроении широко используют приближенные методы динамических расчетов, в которых судовые конструкции представляют как балки, рамы, изотропные и ортотропные пластины и цилиндрические оболочки. В основе приближенных схем расчета судовых конструкций лежит допущение о возможности независимого определения при статической нагрузке так называемых общих деформаций корпуса и местных деформаций его элементов — перекрытий, поперечных рам, отдельных балок набора, пластин обшивки. При этом под общими понимают деформации, соответствующие балочным формам смещений корпуса в целом, происходя- [c.434]

Для поликристаллических материалов сферическая форма является статистически средней по различным формам зерен и ее целесообразно принять в качестве первого приближения. Радиус сферы можно не конкретизировать, хотя для заполнения определенного объема поликристалла радиус сферических зерен должен меняться от некоторого конечного до исчезающе малого значения. Каждое зерно считаем однородным монокристаллом, обладающим в общем случае анизотропией теплопроводности, температурной деформации и упругих характеристик (см. 2.2). При хаотической ориентации анизотропные зерна образуют поликристалл с изотропными свойствами. Поэтому в первом приближении вместо взаимодействия анизотропных зерен между собой будем рассматривать взаимодействие отдельно взятого однородного анизотропного сферического включения с изотропной окружающей средой. Влияние такого включения на температурное и напряженно-деформированное состояния среды быстро уменьшается с увеличением расстояния от включения. Поэтому при малых размерах зерен объем окружающей среды в таком случае можно считать неограниченным. [c.70]

Исследования, в основу которых была положена линейная аппроксимация, конечно шли дальше определения численных значений постоянных упругости. Экспериментаторы интересовались линейностью при малых деформациях в термоупругости вязкоупругостью и связью между адиабатическим и изотермическим поведением тел. Интерес первостепенной важности представляли исследования фундаментальных вопросов, касавшихся анизотропии монокристаллов вопрос возможности существования изотропности в по- [c.535]

Конечные деформации изотропной идеально упругой несжимаемой среды. Специальным случаем материала, рассмотренного в 2.2, Б, является упругое тело, обладающее коэффициентом Пуассона v = /2 = onst и постоянными модулями упругости Е и сдвига 0 = Е13 в условиях, когда упругие деформации могут возрастать до конечных значений. Так должна себя вести идеально упругая резиноподобная изотропная среда, не обнаруживающая при умеренных деформациях никакого упругого [c.75]

Упругопластическая составляющая модели определялась на каждом этане нагружения. Согласно обычной схеме приращений, принятой в методе конечных элементов, приращения нанряхге-ния и деформации изотропной o an ляющей связаны соотношением [c.80]

Многими указаниями и ссылками на работы этих и других ученых я обязан подробным библиографиям, составленным Трусделлом [ ], Трусделлом и Тоупином Прагером и Эрингеном р]. Своим собственным ознакомлением с предметом я особенно обязан проф. К. Вейссенбергу. Его идеи стимулировали многие из моих работ в этой области. В частности, фундаментальная идея о возможности установления изотропной связи напряжения с конечными деформациями в текущем растворе полимера принадлежит Вейссенбергу [ ]. Сравнительно простой метод формулирования в явном виде вполне приемлемых реологических уравнений состояния, развитый в главах 4, 5 и 6, также опирается на гипотезу Вейссенберга [ ] (ср. Гроссман [ ]). [c.11]

Наиболее общие математически возможные соотношения напряжение — деформация необязательно являются производными от одной скалярной функции. Например, из классической теории упругости хорошо известно, что введение деформационно-энергетической функции уменьшает число независимых упругих констант в соотношениях напряжение—деформация. Ограничения на соотношения напряжение — деформация для изотропных материалов в теории больших конечных деформаций были рассмотрены Лоджем и Вейссенбергом Р]. Некоторые авторы ввели термин гипоупругость (т. е. меньше, чем упругость) для описания упругих материалов, напряжение в которых является производной только от простой деформационно-энергетической функции. По-видимому, весьма маловероятно, чтобы реально существовала упругая среда (в том смысле, что напряжение есть однозначная функция деформации), которая в то же время была бы негипоупругой. В этом случае переменных Т, уц было бы достаточно для описания напряжений, но не термодинамического состояния, что довольно странно. Если это так, то различие между упругими и гипоупругими твердыми телами скорее математическое, нежели физическое. [c.206]

В монографии развит метод прямого бескоордииэтного тензорного исчисления 8 теории оболочек, гюдробно представлена кинематика конечных деформаций движущейся поверхности, даны различные формы уравнений равновесия оболочек, указаны общие представления определяющих соотношений для изотропных оболочек. Автором предложены новые уравнения динамики оболочек, в классе мзотропных оболочек найдено несколько семейств универсальных решений статичес-мих задач. [c.2]

Выше на рис. 3.128 я дал несколько сравнений. Наиболее интересным здесь фактом, если не касаться завершения исследования квантованной структуры значений в нулевой точке модулей изотропных элементов, было то, что из экспериментов при конечных деформациях этих тел (которые будут описаны в следующей главе см. часть И), я нашел, что температурная зависимость модулей при очень больших деформациях линейная, коэффициентом в которой является выражение вида (1—Т/Тт)- Модуль упругости при сдвиге при бесконечно малых деформациях также линейно зависит от температуры в этой линейной зависимости имеет место другое выражение коэффициента, а именно, (1—Т12Тп)- Это различие имеет интересный и, может быть, серьезный смысл для атомных теорий, от параметров которых при отыскании конечных деформаций на основе дислокационных моделей зависит модуль упругости при сдвиге. [c.522]

При решении конкретных задач при конечных деформациях считается, что эластомер однородный изотропный материал. Это связано в основном с имеюш,имся у исследователя для решения задачи математическим (программным) обеспечением. По реальные эластомеры это сложные микрокомпозиты ). Основой эластомера являются хаотически переплетенные цепи (макромолекулы), сшитые (после процесса вулканизации) в трехмерные сетки. Причем макромолекулы имеют различные длины и жесткости. В процессе деформирования макромолекулы образуют надмолекулярные и надсегментные ) образования, которые могут самопроизвольно неожиданно разрушаться в процессе деформирования, могут образовываться зоны кристаллизации. То есть структура эластомера и слабо регулярна, и изменяется в процессе деформирования. П хотя исследование структуры материала не является задачей механики деформируемого твердого тела, но, используя подробный материаловедческий анализ [15, 17, 18, 65], можно делать некоторые предположения о приближенных моделях для описания деформирования и разрушения эластомеров в рамках механики деформируемого твердого тела. [c.325]

Задача С . Пусть круговой цилиндр г R, 2 /г из нелинейноупругого изотропного несжимаемого материала равномерно сжат или растянут силами, приложенными к боковой поверхности г — R. Торцы цилиндра свободны от нагрузки. На описанную однородную конечную деформацию накладывается малая деформация, обусловленная внедрением в торцы цилиндра при г а двух симметрично расположенных круговых штампов. Трение между штампами и упругим телом отсутствует, а на боковой поверхности цилиндра г = R заданы условия отсутствия касательных напряжений и нормальных перемешений (см. рис. 2.6 на стр. 79). В силу предположений о малости добавочной деформации контактная задача рассматривается в линеаризованной постановке. [c.23]

Рассматривается круговой цилиндр радиуса о высоты 2к из нелинейно-упругого изотропного несжимаемого материала сжатый или растянутый равномерно распределенными и приложенными к боковой поверхности силами, при этом торцы цилиндра свободны от нагрузки. На описанную конечную деформацию накладывается малая деформация, обусло- [c.167]

Связи между напряжениями и деформациялш при конечных деформациях посвящены недавно опубликованные работы В. В. Новожилова связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде , Прикл. матем. и мех,, XV, вып. 2 (1951), 183, и О принципах обработки результатов статических испытаний изотропных материалов , Прикл, матем. и мех., XV, вып. 6, 709.—Прим. ред. [c.167]

Каждый из пяти рассмотренных выше подходов использует принципы линейной упругой механики разрушения и исключает из рассмотрения область около кончика трещины, размеры которой имеют тот же порядок, что и размеры кончика трещины. Существование подобной области, связанной с эффектами пластичности [13], трещинообразования (гл. 5), или конечными локальными деформациями (при отсутствии пластичности и трещинообразования) [43], отмечено и у изотропных материалов. В любом случае нелинейные эффекты учитываются этими подходами только посредством вычисления размеров зоны нелинейности. По-видимому, в соответствии с опубликованными на сегодняшний день данными наилучшее совпадение с экспериментами для более сложных методов I и П обнаруживается при анализе однонаправленных композитов с трещинами в матрице, ориентированными параллельно волокнам. Хорошие результаты можно получить и для косоугольно армированных композитов, если их разрушение зависит главным образом от образования трещин в матрице. С другой стороны, хорошее совпадение с экспериментами достигнуто и при использовании более эмпирических подходов HI, IV для анализа симметричных слоистых композитов со сквозными трещинами. Такие работы, как [44], имеют целью объединить методы линейной упругой механики разрушения с теорией слоистых сред, Одиако достаточ- [c.242]

Использование конечно-элементной дискретизации для определения полей упругопластических напряжений по теории течения описано в работе [17]. Модель упругопластического изотропного тела по теории мальк упругопластических деформаций при активном нагружении связывает тензоры напряжений о и деформаций е физическими соотношениями, которые в соответствии с (2.48) имеют вид [12] [c.69]

В проведенном расчете изотропное упрочнение не учитывалось. Поэтому предел текучести Тт в системах скольжения оставался постоянным, причем а у = 2Ту и Ву = Оу/ о = (Тт,/( о)/(1 + v). B итоге вместо (2.78) можно написать а/ау == (3/2) (F/бу — в< )/еу) х X (1 — Ро)/(1 + v) = (3/5) (К/бу — ё(р)/еу). С увеличением Y сплошная кривая на рис. 2.26 асимптотически стремится к прямой с угловым коэффициентом (3/5) GVGq = 0,006. Эта прямая на оси ординат отсекает отрезок (ст/ау)о, который соответствует относительному напряжению, вызывающему при отсутствии упрочнения пластическое течение во всех кристаллических зернах, причем в каждом из них активизируется по пять независимых систем скольжения. В этом случае каждое зерно обладает необходимым числом степеней свободы (шесть степеней свободы по числу независимых компонентов тензора деформации, которые связаны одним дополнительным условием о неизменности объема при неупругом деформировании), чтобы деформироваться совместно с поликристаллом, т. е. приращения пластической деформации (в макроосях ) во всех зернах одинаковы и совпадают с приращениями пластической деформации поликристалла. При этом взаимодействие зерен становится несущественным, а увеличение а связано лишь с их упрочнением (для идеально пластических зерен G = О и а остается постоянным). В этом расчете получено (а/ау)о = 1,532, а в [7, 601 — соответственно 1,536 и 1,541. Эти результаты хорошо согласуются между собой и характеризуют возможную погрешность вычислений, связанную с осреднением напряжений и деформаций по конечному числу кристаллических зерен. Показано [611, что увеличение при осреднении числа зерен с 28 до 91 изменяет результат лишь на 0,4 %. [c.105]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

MRDBS1 — вспомогательная для МТ0321 процедура, с помощью которой для IJ-ro конечного элемента вычисляются R — расстояние г от оси симметрии до центра тяжести треугольного сечения элемента D (4,4) — матрица упругости для изотропного материала при плоском напряженном состоянии В (4,6) — матрица связи вектора деформаций е и напряжений о S — площадь сечения конечного элемента [c.128]

Задача вычисления силовых и моментпых -напряжений равноценна нахождению деформаций е и изгибов — кручений Решения для них удается выразить в квадратурах через 7а, если известен соответствующий тензор Грина. Когда тело не нагружено внешними усилиями и имеет нулевые решения на бесконечности (что справедливо при ограничениях финитного характера для функции мотора 7а от координат), выражения для е и получаются конечными. В качестве примера приведем решения, справедливые для изотропной среды со стесненными поворотами (оз = Q, е е ), которые заимствуем, переписав их в безиндексной записи, из [61] [c.118]

Задача q. Рассматривается сплошной круговой цилиндр г R, 1 < 6 из нелинейного упругого изотропного несжимаемого материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и трение. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедре- [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...