Кривизна поперечного сдвига

Для тонкого кольца воспользуемся гипотезой о нерастяжимости осн. Расчет проведем без учета деформаций поперечного сдвига. Изменение кривизны будем определять [c.49]

Матрица К (2.101) представляет матрицу приведенных жест-костных характеристик многослойной оболочки на поперечный сдвиг. В этом случае, если оси упругой симметрии отдельных слоев совпадают с осями кривизн, то коэффициенты матрицы К (2.101) вычисляются достаточно просто [c.99]

Изменения кривизн и деформации поперечного сдвига, соответствующие аппроксимациям перемещений (3.60), равны нулю. [c.148]

Рассмотрим один частный случай расчета, относяш,ийся к тонким цилиндрическим многослойным оболочкам, нагруженным нормальными силами. При расчете таких оболочек можно не учитывать изменение радиуса кривизны по толщине, деформации поперечных сдвигов можно положить равными нулю. Решением для т, п-й гармоники разложения будут следующие амплитудные значения перемещений [c.240]

Для тонких слоистых оболочек, при анализе которых можно не учитывать изменение радиуса кривизны по толщине и деформации поперечного сдвига, выражение (5.74) упрощается [c.255]

Это соотношение было получено на основании чисто геометрических соображений, поэтому оно справедливо для балок из любого материала, разумеется, если ограничиваться малыми прогибами. Для того чтобы, при определении прогибов воспользоваться соотношением (9.20), надо знать кривизну х. Для линейно упругого материала кривизна равна М/(Е1). Для неупругой балки (например, для балки из упруго-идеально-пластического материала) следует подобрать подходящее (подобное (9.18)) выражение для кривизны. Использование соотношения (9.20) означает пренебрежение влиянием поперечного сдвига на прогиб, что в обычных условиях обеспечивает достаточную точность. [c.367]

Изменение геометрии оболочки при деформации в теории типа Тимошенко описывается перемещениями координатной поверхности и, v, w и углами поворота поперечных сечений д и ф. Для определения деформаций растяжения-сжатия срединной поверхности ец, 22, сдвига 12, поперечного сдвига 13, 23, приращений кривизны и кручения поверхности через перемещения, целесообразно использовать зависимости [c.106]

Пунктирные кривые вычислены для круговой оболочки радиуса Яо, сплошные — для волнообразной. По оси ординат здесь отложены значения отношения квадрата низшей частоты при текущих значениях параметра (Я/i) к квадрату частоты при (Я/i) = = 100. Для кривых 1 модули поперечного сдвига соответствуют исходным, для кривых 2 и 3 они ниже на один и два порядка. Так как при каждом значении (Яo/i) упругие и массовые характеристики оболочки одинаковы, за исключением модулей поперечного сдвига, то различие между пунктирными кривыми объясняется только этим фактором. В этом заключается также причина несовпадения сплошных кривых. К тому же очевидно, что для волнообразных оболочек той же толщины пониженная сдвиговая жесткость композитов весьма существенно влияет на частоты свободных колебаний. Это объясняется тем, что при переменной кривизне максимум отношения ( / 2) может быть значительно больше, чем /Яо- О том, как влияет на низшую частоту колебаний амплитуды волны гофра при Яо/Ь = = 51,3 дают представление кривые на рис. 2. [c.112]

При расчете таких оболочек можно не учитывать изменение радиуса кривизны по толщине и деформации поперечного сдвига == фу = 0). [c.391]

Рассматривая формулы для внутренних сил и моментов (7.38), замечаем, что учет явлений поперечных сдвигов и нормального-напряжения в этих формулах представляется в виде поправочных членов с множителями А /10, и А . Если поправочные члены, учитывающие поперечные сдвиги, зависят только от относительной толщины и физико-механических характеристик материала оболочки, то поправочные члены, учитывающие нормальное напряжение, зависят также от главных кривизн срединной поверхности оболочки. Очевидно, что чем положе оболочка, тем меньше-влияние поправочных членов, учитывающих нормальное напряжение на напряженное состояние оболочки. [c.114]

Уравнение (7.63) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации сдвига, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и нм можно пренебречь. Порядок определения перемещений поперечных сечений балок с помощью уравнения (7.63) рассмотрим на примере балки, изображенной на рис. 7.56. Балка имеет два участка. [c.291]

Сдвиг, вызываемый поперечной силой, не зависящей от 2, также остается неизменным по длине балки, при этом второй член в (12.117) обращается в нуль, т, е. в этом случае сдвиг не вызывает изменения кривизны оси стержня. Изменение Кл —кривизны оси стержня — вызывается переменным по г сдвигом такой сдвиг возникает, если и Qy также зависит от г. [c.203]

Вопрос о влиянии деформации сдвига при изгибе на величину прогибов и тесно с этим связанные вопросы о влиянии сдвигов на кривизну оси балки и об учете потенциальной энергии стеснения депланации поперечного сечения стержня, вызванной сдвигом, обсуждался в рамках элементарной теории в ряде работ в некоторых из них предприняты попытки оценки результатов при помощи аппарата теории упругости. [c.502]

Определение числа степеней свободы т деформируемого сплош-него тела связано с существенными затруднениями. В ферме это число легко определяется как количество возможных (и независимых) перемещений ее узлов (см. рис. 7.4). Нетрудно его определить и в некоторых других случаях. Например, однородный изотропный брус постоянного поперечного сечения при чистом изгибе от носительно оси симметрии сечения имеет только одну степень свободы соображения симметрии приводят к тому, что поперечные сечения должны оставаться плоскими (края не учитываются), а нейтральная ось независимо от характера деформации (упругая, пластическая) — совпадать с центральной. Обобщенным перемещением здесь служит кривизна. Брус при чистом косом изгибе, если сечение имеет не более одной оси симметрии, имеет три степени свободы (две кривизны и деформация осевой линии представляют три обобщенных перемещения). При поперечном изгибе брус имеет уже, строго говоря, бесконечное число степеней свободы для определе-, ния деформаций нужно задать кривизны и положения нейтральных осей во всех сечениях (сдвиг во внимание не принимается). Но для получения приближенного решения, более простого и в то же время [c.161]

Уточнение формулы (4.55) в связи с кривизной витков, их изгибом и влиянием поперечной и нормальной сил при малых углах подъема практически нецелесообразно, так как принятые допуски на размеры пружин, на число витков, а также незнание точной величины модуля сдвига G все равно могут привести к значительному отклонению (достигающему 10%) действительного осевого перемещения от расчетного. [c.102]

Когда на балку действует непрерывно распределенная нагрузка д, поперечная сила Q является непрерывной функцией, дифференцируемой по х. Тогда кривизна, обусловленная влиянием одного сдвига, выражается как [c.248]

Рассмотрим другой пример — свободно опертую балку, нагруженную сосредоточенной силой Р, приложенной в середине пролета. Для левой половины балки выражения для изгибающего момента, поперечной силы и интенсивности нагрузки соответственно таковы М—Рх/2, <3=Р/2, 0. Отсюда получаем следующие выражения для кривизн, обусловленных изгибом и сдвигом [c.251]

Поперечные прямые линии, параллельные до гнутья, остаются прямыми и после гнутья, но они поворачиваются относительно друг друга и не совпадают с центром кривизны отвода на угол сдвига р. Замеры показывают, что для отводов с Я = Ду угол Р = 9-ь 10°, а при Я = , ЪДу угол р = 6,5. В результате сдвига в передней и задней частях отвода после гнутья появляются отрезки размерами ахИ Сг,которые являются отходами.Чем меньше радиус гиба, тем больше величина отходов. Так, при Я = Ду отходы достигают 8—12%, а при Я = , ЪДу от 3 до 5%. [c.145]

Б них могут распространяться как продольные, так и поперечные волны, или волны сдвига (см. главу восьмую). При падении на линзу плоских продольных волн даже под прямым углом, благодаря наличию кривизны в линзе волны падают на её границы уже под косыми углами при этом возникают поперечные волны, скорость распространения которых меньше скорости распространения продольных волн. Возникающие поперечные волны преломляются под другими углами, чем волны продольные, что приводит к размазыванию картины в фокусе линзы. Вследствие этого акустические линзы из твёрдых тел не могут обеспечить тако 1 чёткой картины, какая получается в случае оптических систем. Построение теории акустических линз, учитывающей наличие как продольных, так и поперечных волн, наталкивается на очень большие трудности здесь ещё почти ничего не сделано. Скомпенсировать влияние поперечных волн экспериментальным путём также пока не удаётся. Указанная трудность вносит, в частности, определённые ограничения в работу ультразвукового микроскопа С. Я. Соколова. [c.307]

При распределенной на балке нагрузке поперечная сила Р есть непрерывная функция ж. Тогда кривизна, вызываемая только сдвигом, будет [c.222]

В частном случае т-0, п-0 мы имеем гауссов пучок - основную моду свободного пространства. Параметр К(2) в (2.1.22) для всех мод одинаков. Это означает, что кривизна волнового фронта одинакова для всех мод и закон его изменения один и тот же. Однако фазовый сдвиг Ф зависит от поперечного индекса. Можно найти, что [c.56]

Таким образом получается, что среди деформаций изогнутого и закрученного стержня главными будут следующие 1) удлинение продольных волокон, которое указанным в 232, Ь) образом связано с кривизной упругой линии 2) деформация сдвига такого же рода, как рассматривавшаяся в гл1 XIV деформация, возникающая при кручении 3) относительные смещения элементов поперечного сечения, параллельные плоскости этого сечеиия Последняя деформация для различных, ио близких сечений приближенно одинакова. [c.410]

Рассматриваемая задача представляет собой задачу о внутренней трещине, находящейся в сравнительно тонкостенном конструкционном элементе, для исследования которого применяют теорию пластин или оболочек. В обычной системе обозначений, принятой ниже и отнесенной к локальной системе координат, представленной на рис. 1, ui, U2 и Uz — компоненты вектора перемещений, Pi и Р2 — углы поворота нормали к нейтральной поверхности в плоскостях Х1Х3 и Х2Х3, Nij, Мц и Vi (i, j = 1,2) — результирующие мембранных усилий, момента и усилий поперечного сдвига. Принимаем также, что задача о сквозной трещине в пластине или оболочке поставлена и сведена к системе интегральных уравнений. В [11—16] принято, что неизвестными функциями интегральных уравнений являются производные перемещений поверхности трещины и углов поворота нормалей к нейтральной поверхности. Это является естественным следствием постановки задачи для пластины пли оболочки со смешанными краевыми условиями. В случае симметричной задачи о сквозной трещине в области —а <. Х <. а (расположенной в одной из главных плоскостей кривизны) пластины или оболоч- [c.245]

Завершая обсуждение возможных упрощений уравнений устойчивости упругих слоистых композитных оболочек, отметим еще предельные переходы, аналогичные тем, которые были указаны в задаче изгиба. Так, в результате предельного перехода (3.2.20) получаются классические уравнения устойчивости, базирующиеся на гипотезе о недсформируемых нормалях. Далее, полагая в уравнениях устойчивости компоненты тензора кривизны равными нулю, придем к неклассическим уравнениям устойчивости слоистых пластин. Наконец, как и в задаче изгиба, получаются уравнения устойчивости ортотропной многослойной оболочки, податливой на поперечные сдвиги лишь в одном направлении орто-тропии (армирования). [c.64]

Уравнения динамической теории оболочек с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига в криволинейной ортогональной системе координат выведены Р. М. Naghdi 3.142] (1957). Его построение в значительной мере основано на исследованиях Е. Ре1з5пег а и других авторов [2.184—2.18 ] (1944—1947), [3.93] (1950), 3.152] (1952). Обозначим символами 1 и криволинейные координаты точки срединной поверхности оболочки, характеризуемой главными радиусами кривизны и / г, а буквой — координату в направлении внешней нормали к срединной поверхности. Соответствующие орты tl, t2 и п образуют правую систему, В ортогональной системе координат имеем выражения для квадрата линейного элемента [c.193]

А. Kalnins [3.1171 (1961) уточнил соотношения, полученные в своей предыдущей работе, применительно к исследованию неосесимметричных колебаний упругих сферических пологих оболочек введением продольной и поперечной инерции, а также поперечного сдвига, с целью расширения пределов применимости теории по частотам и толщинам по сравнению с классической теорией оболочек. Задача приведена к трем независимым дифференциальным уравнениям относительно прогиба и двух функций, определяющих перемещения вдоль линий кривизны. Приведено решение этой системы и рассмотрены свободные колебания оболочки, защемленной по краю. Частотный спектр пологой оболочки подразделяется на три части, которые соответствуют трем доминирующим формам колебаний сдвиговая по толщине, продольная, поперечная. [c.208]

Элементарный учет влияния поперечной силы на кривизну кривой прогибов балок дали Репкин в Англин н Грасхоф I) в Германии. Если принять максимальную деформацию сдвига на нейтральной оси балки единичной ширины равной 3/2(Q/2 G), где Q—поперечная сила, то соответствующее увеличение кривизны определяется производной этой деформации сдвига по х. Эта производная равна 3/2 q/2 G). Исправленное выражение для кривизны, получаемой из элементарного анализа, принимает тогда вид [c.67]

Возможны два качественно разных случая закритического поведения пластин. Если закрепления контура пластины не препятствуют ее чисто изгабньш деформациям, при которых срединная плоскость переходит в развертывающуюся поверхность, малейшее пре-вьппение критической нагрузки приводит к очень быстрому росту поперечных прогибов и изгибных напряжений (кривая 1, рис. 9.12.1). Потеря устойчивости практически означает потерю несущей способности пластины. Но у пластин, входящих в состав силовой конструкции, контур обычно закреплен относительно поперечных прогибов и после потери устойчивости срединная плоскость становится поверхностью двоякой кривизны, что неизбежно связано с появлением в ней дополнительных удлинений и углов сдвига. В этом случае пластина после потери устойчивости может продолжать воспринимать возрастающую нагрузку (кривая 2). Однако возникающие изгибные- [c.208]

Центральное место в монографии занимает третья глава, в которой на основе единой кинематической гипотезы, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить условиям межслоевого контакта и условиям на граничных поверхностях, из принципа возможных перемещений получены нелинейные тензорные уравнения статики упругих анизотропных слоистых оболочек и сформулированы соответствующие им краевые условия. Указаны предельные переходы к уравнениям классической теории оболочек и ортотропной оболочки, предоставляющим возможность учета эффектов сдвига в одном направлении ортотропии (армирования) и неучета — в другом. Приведены упрощенные уравнения, пригодные для расчета пологих оболочек. Линеаризованные уравнения статической устойчивости слоистых оболочек, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, сформулированы в параграфе 3.4, а в параграфе 3.5 из принципа виртуальных работ эластокинетики выведены нелинейные уравнения динамики. Здесь же приведены линеаризованные уравнения динамической устойчивости слоистых оболочек и пластин, обсуждены предельные переходы и упрощения, подобные тем, какие были сделаны в задаче статики. Параграф 3.5 посвящен формулировке неклассических уравнений многослойных оболочек в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. В этой же системе координат составлены уравнения, описывающие осесимметричную деформацию слоистой ортотропной оболочки вращения. В параграфе 3.7 описаны [c.12]

Разупорядоченный сплав. Для переходной стадии, когда из хаоса формируются скопления, характерна картина из иачек грубых следов с почти полным отсутствием пересечений. Сдвиг достаточно локализован как на уровне зоны сдвига, так и на уровне пачки следов. На стадпи II во время образования пз скоплений сетчатой субструктуры без разориентировок характерны несколько более размытые пачки пересекающихся следов скольжения. Во фрагменте скольжения действуют, как минимум, две системы скольжения. В течение стадии III, когда сетчатая субструктура сменяется ячеисто-сетчатой с разориентировками, а затем последняя — полосовой, характерно дальнейшее огрубление (локализация) скольжения. Поперечное скольжение, наблюдавшееся локально с самого начала деформации, становится более распространенным явлением. Развиваются полосы сброса. Для стадии IV при превращении полосовой субструктуры в субструктуру с многомерными разориентировками типичными деталями картины являются еще более грубые следы с замепной кривизной и бугры и складки на поверхности. [c.158]

Высказанные мысли можно проиллюстрировать на примере поперечных волн струны. Пусть (рис. 2) мы имеем струну, в которой существует постоянное напряжение, обусловленное грузом Р. Допустим, что некоторый участок струны испытывает боковые сдвиги под действием внешних сил до тех пор, пока не займет положение АВС. Если внешние силы внезапно перестанут действовать, то в силу натяжения струны н каждой точке ее появится равнодействующая сила. Направление этих сил будет определяться направлением радиуса кривизны. Точка В начнет двигаться вниз, а точки Л и С вверх. Если участок струны АА первоначально находился в равновесии, то теперь он выйдет из равновесия и волна будет раапространяться с определенной скоростью справа налево. То же можно сказать относительно участка струны СС. Так, в области АВС возникнут две волны, бегущие в противоположных направлениях. [c.178]

Селекция поперечных типов колебаний иаклонвымв зеркалами. Вскоре после того как появился лазер, было обнарул 8но, что наклон зеркал приводит к значительным изменениям в наблюдаемой модовой структуре. Осью резонатора является линия, проходящая через центры кривизны обоих зеркал. Для того чтобы объем моды в активном веществе был максимален, с этой осью совмещают ось активного элемента (гл, 11, 5), При наклоне зеркал ось резонатора сдвигается, а это может повлиять на усиление, так как объем активного вещества уменьшается для одной мод >1 и увеличивается для др>гой. Тот факт, что используются различные области активного вещества, сказывается также на усиленин [c.332]

Чтобы найти собственные частоты резонатора, соответствующие различным поперечным модам ТЕМпт, нам потребуется определить фазовый сдвиг волны на оси пучка. Положим в решении (2.18) х = = г/ = О, а также заменим 1 + Ш 1 - z/Я + ID. Последняя замена, как и в 4 гл. VIII при выводе формулы (4.26), необходима для учета кривизны R волнового фронта в сходящ емся пучке. После этого из (2.18) нетрудно найти [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...