Кривизна точное выражение

Для исследования равновесных состояний продольно сжатого упругого стержня при F > Fn, о которых речь шла в 15.3, следует обратиться к более точным выражениям деформаций и изменений кривизн через перемещения. Предположим справедливой гипотезу плоских сечений и, следовательно, верной зависимость (15.5) между моментом и характеристикой изгиба к = d0/ds. Выразим и через поперечное перемещение v (s) как функцию дуговой координаты s на изогну гой оси стержня. Так как (рис. 15.17) du/di = sin 0, то после однократного дифференцирования [c.356]

Этот интеграл представляет собой знакомый нам из предыдущей главы статический момент сечения относительно нейтральной линии. Так как статический момент равен нулю, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, координата у в выражениях (4.2) и (4.3) получает определенность она отсчитывается от центральной оси, перпендикулярной плоскости кривизны. Точно так же получает определенность и кривизна 1/р, как кривизна нейтрального слоя, или как кривизна оси стержня. [c.170]

Уравнение (7.63) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации сдвига, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и нм можно пренебречь. Порядок определения перемещений поперечных сечений балок с помощью уравнения (7.63) рассмотрим на примере балки, изображенной на рис. 7.56. Балка имеет два участка. [c.291]

Это точное выражение радиуса кривизны можно заменить более простым, приближенны-м выражением, допускаемые прогибы при изгибе балок весьма невелики (составляют приблизительно одну тысячную долю длины балки) и упругая линия мало отличается от прямой. ВелИ чина dy/dx, представляющая собой tg9, т. е. тангенс угла, образованного касательной к упругой ЛИНИИ с положительным направлением оси х, настолько мала, что ее величина, будучи возведенной в квадрат, делается пренебрежимо малой [c.249]

Если рассматривать стержень, заделанный одним концом при свободном другом, подвергнутый воздействию на него сжимающей силы, уже после того, как он потерял устойчивость прямолинейной формы (рис. 18.44), точное выражение кривизны изогнутой оси стержня 1/р в точке, отстоящей от начала отсчета [c.360]

Если прогибы балки не малы по сравнению с ее длиной, то в левой части уравнения (9.1) надо использовать точное выражение для кривизны изогнутой оси [c.185]

Шестое уравнение равновесия элемента А В В А[ — равенства нулю суммы моментов относительно нормали — должно быть следствием парности касательных напряжений и удовлетворяться автоматически при точных выражениях усилий и моментов через деформации и параметры изменения кривизны. [c.143]

Как видно из (3.14), эти компоненты определены без учета влияния мембранных деформаций еь ег, y изменения кривизн и кручение. Более точные выражения изменений кривизн и кручения [c.39]

Если в уравнении (2.60) вместо приближенного выражения для кривизны использовать точное выражение Xy = wll( по- [c.142]

Возможно, таким образом, иметь бесконечное множество упругих линий. Чтобы получить изогнутую ось в одну полуволну, как на рис. 24, а, следует приложить нагрузку, в четыре раза большую той, которая вычислена Эйлером для случая, когда один конец стержня жестко заделан. Для получения кривой рис. 24, б требуется нагрузка, в 16 раз превышающая нагрузку Эйлера, и т. д. Лагранж не ограничивается вычислением критических значений нагрузки jP, но предпринимает и исследование прогибов, которые должны возникнуть, когда нагрузка Р превысит критическое значение. С этой целью он использует уравнение, в которое входит точное выражение кривизны, а не приближенное, как в уравнении (а), и, интегрируя его путем разложения в ряд, получает [c.53]

Точно так же для главных кривизн получим выражения [c.317]

Следует заметить, что проведенный здесь анализ основан на использовании соотношения закона Гука v" — - М /которое справедливо только при малых прогибах. Поэтому С С /, т.е. возмущения малы. Если взять точное выражение для кривизны (8.6.2), то вместо уравнения (12.2.3) мы придем к нелинейному дифференциальному уравнению [c.379]

Точное выражение длй. кривизны. Бели углы наклонов линии прогибов балки велики, то уже нельзя пользоваться упрощениями анда (6.3). Вместо этого следует использовать точное выражение для зависимости угла наклона от угла поворота 0 оси балки [c.212]

Отметим, что величина Л амплитуды прогиба стержня в приведенном выше решении задачи Эйлера никак не определяется и теоретически может быть сколь угодно большой. Этот противоречащий действительности вывод является следствием линеаризации задачи. На самом деле при больших прогибах перестает быть обоснованным приближенное выражение для кривизны, которым мы пользовались при выводе уравнения (1). В этом случае надо использовать точное выражение [c.366]

Уравнение (68.7) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе-точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации балки, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и им можно пренебречь. [c.326]

Таким образом, вместо точного выражения кривизны можно Принять приближенное [c.277]

Точное выражение кривизны, как известно, имеет вид [c.14]

Если выводить формулу Эйлера, пользуясь точным выражением кривизны (см. с. 201), то значение критической силы совпадает со значением, определяемым формулой (12.2), но одновременно может быть получена рмула для определения прогибов. [c.327]

Сравнить полученные результаты. Насколько хорошо приближенное выражение для кривизны аппроксимирует ее точное выражение [c.100]

Для задач второго рода, наряду с расчетами на жесткость, могут проводиться и расчеты на устойчивость. Использование точного выражения для кривизны показывает, что при вполне определенном конечном прогибе, зависящем только от среднего нормального [c.279]

Если бы функция нулевого приближения х) представляла собой точное выражение кривизны при какой-либо форме собственных колебаний, а р(0) — их частоту, функция / < ) совпала бы с функцией [c.353]

Для полученных выражений (5.59). .. (5.64) это уравнение точно не удовлетворяется вследствие отождествления радиусов кривизны рассматриваемого слоя и срединной поверхности. Так как система пяти уравнений равновесия в принципе достаточна для полного решения задач о деформации оболочки, шестое уравнение равновесия можно не рассматривать. [c.143]

Кроме ошибки, обусловленной использованием тангенса угла в качестве самого угла в действительности могут иметь место перемещена в направлении оси х, которые должны быть рассмотрены наряду с поперечным перемещением w, отсюда следует, что величину dx надо просто заменить на dx( +txm), где г т — осевая деформация срединной (mifidle) поверхности, о которой разговор пойдет ниже. Математически точное выражение ld w/dz )/[l + idw/dxy] для кривизны, выражающей зависимость прогиба IV от координаты х, в данном случае может не применяться, так как здесь перемещенйя в направлении оси х не рассматриваются. Ошибки, вызываемые такими аппроксимация-ИИ, пренебрежимо малы для задач о балках, которые будут рассматриваться. [c.57]

Заключение. Среди представленных в таблице 6.5 значений энергии деформации, которые были подсчитаны в размерности, характеризующей площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс (см. рис. 6.10, а), те, что вычислялись с помощью приближенных выражений для деформаций (6.15), практически совнадали с найденными по точным выражениям-(б.И), за исключением значений энергии мембранных деформаций при очень больших проги-бых порядка 53,6Л, т. е. более чем в пятьдесят раз превышающих толщину оболочки. При таком прогибе- приближенное значение составляет менее четверти точного значения. При несколько меньшем прогибе приближенное значение энергии мембранных деформаций немного меньше, чем точное, но вместе с тем для обычных случаев применения их можно считать достаточно близкими. Сказанное указывает на то, что приближенные выражения для мембранных деформаций вполне приемлемо учитывают влияние кривизны и что добавление слагаемого dwIdxYll в выражение для [c.421]

Как уже отмечалось ранее, при малом числе окружных волн следовало бы рассмотреть влияние начальной кривизны. Усложнения точных выражений связаны главным образом с учетом влияния больших прогибов, и в дальнейшем они не будут приниматься во внимание, но, поскольку это сравнительно просто, будет оставлено все, что связано с уч1етом начальной кривизны. [c.423]

При обсуждении кривых, приведенных на рис. 10.2, необходимо иметь в виду, что выражение (10.2) было получено в предположении о малости прогибов и линейно упругом поведении материала. Поэтому здесь о больших прогибах 6 можно говорить только гипотетически. Если прогибы не являются малыми, то необходимо использовать точное выражение для кривизны, как уже было указано выше (разд. 6.1 и 6.12). Более того, в реальном стержне еще до того, как [c.389]

Большие прогибы стержней. При выводе уравнения линии прогибов (уравнения (d)) Величина максимального прогиба б оставалась неопределенной. Поэтому был сделан вывод, что при Я=Якр стержень может иметь произвольный мальга прогиб это условис представлено на рис. 10,5 горизонтальной прямой. Теория ограни- <йвалась малыми прогибами, Носкольку вместо точного выражения (6.10) для кривизны стержня использовалось приближенное значение w". Для некоторых случаев было получено решение точного дифференциального уравнения (см. Е10.1]) и показано, что в действительности не существует неопределенности в прогибах стержней. Вместо этого оказывается, что для идеального упругого стержня диаграмма зависимости нагрузки от прогиба соответствует штриховой кривой А на рис. 10.5. Если после возникновения больших прогибов напряжения в стержне превысят предел пропорциональности, то график зависимости нагрузки от прогиба будет отклоняться вниз, от кривой А. [c.397]

Для построения уточгненной теории упругого изгиба необходимо использовать точное выражение кривизны продольной оси стержня. Это точное выражение для наших целей удобнее записать в следующем виде [c.14]

Зависимость между прогибом свободного конца стойки 5 и сжимающей силой графически представлена на рис. 15.19. Отсюда видно, что по мере приближения силы Р к критическому значению (со8Л /->0) прогиб стержня неограниченно увеличивается независимо от эксцентриситета е. Конечно, прогиб стержня не может быть бесконечно большим. Такой результат оказался возможным только благодаря тому, что при записи дифференциального уравнения (а) было использовано приближенное выражение для кривизны оси стержня. Если же воспользоваться точным выражением [c.422]

Точное выражение (О для кривизны применялось первыми исследователями изогнутой оси. Оно применялось, например, Л. Эйлером в его знаменитой работе Elasti urves, английский перевод которой был опубликован в Isis, том 20 стр. 1, Ноябрь 1933 г. см. также С. П. Тимошенко, История науки о сопротивлении материалов, перевод,-4957, стр, 45. [c.125]

Ступени с хорошей структурой потока можно спроектировать, используя одновременно ТННЛ и закрутку НЛ с увеличивающимся от периферии к корню углом ai [14]. Достаточно точный для инженерных целей метод расчета строится путем комбинации изложенных выше методов расчета ступеней с ТННЛ (см. п. XI.2) и без ТННЛ с учетом кривизны линий тока. Так, полагая ширину лопаток В неизменной вдоль радиуса, получим для величины Га В (здесь го — радиус окружности, касательные к которой образуют выходные кромки НЛ в плоскости ги) выражение [c.201]

Допустим, оптический элемент или система формирует аберрированную сферическую волну, эйконал которой точно известен в плоскости М. Центр кривизны рассматриваемой сферической волны С находится в точке с координатами х, у, z, причем ось z перпендикулярна к плоскости М, а начало координат помещено в эту плоскость (рис. 2.1). Тогда в соответствии с выражением [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...