Сходимость по энергии

Стержень призматический 366 Сходимость по энергии 155 [c.937]

Критерий сходимости по энергии. В этом случае критерием сходимости является вьшолнение следующего неравенства [c.192]

Мы собираемся доказать, что решения метода конечных элементов, основанные на несогласованных элементах Вильсона, сходятся к и. Скорость сходимости будет минимальной —0(h ) по энергии, хотя это может не дать правильного отражения ее точности при больших h. (Существенная черта метода конечных элементов — успех на грубой сетке даже элементы, не являющиеся сходящимися и не выдерживающие кусочное тестирование, для реальных h могут дать удовлетворительные результаты.) Если элемент к тому же выдерживает тестирование для полиномов более высокой степени то скорость сходимости по энергии должна была бы возрасти до но это не так. [c.210]

К сожалению, эта теорема основывается на некоторых важных предположениях, которые во многих случаях могут быть несправедливыми. Во-первых, мы предполагали, что в 3) существует элемент и, который удовлетворяет уравнению (10.5) и минимизирует функционал (10.7). На вопрос о существовании элементов, реализующих минимум функционала / (и), ответ частично дается приводимой ниже теоремой, в которой используются понятия энергетической нормы и сходимости по энергии. Кратко поясним их. Новое определение скалярного произведения [и, г ] = Хи, V) приводит к новому определению нормы в а именно и = = [и, Эта норма называется энергетической нормой или [c.115]

Легко показать, что если оператор X положительно ограничен снизу, то сходимость по энергии последовательности м" к и влечет за собой сходимость в среднем и" к и. При отыскании элементов и, минимизирующих функционал / (и), мы будем требовать, чтобы решение уравнения (10.5) обладало конечной энергией, т. е. чтобы и <С о°. Условие на оператор X, необходимое для существования элемента и, минимизирующего функционал / (и), дается следующей теоремой ). [c.115]

При теоретическом анализе удобнее всего судить о сходимости по величине полной энергии системы. Если в пределе она будет стремиться к своему точному значению, то перемещения, деформации и напряжения также будут стремиться к своим точным значениям в каждой точке тела. [c.205]

В нестационарной теории, как уже было отмечено в предыдущей главе, многие этапы необходимых математических расчетов требуют использования волновых пакетов для обеспечения сходимости соответствующих выражений. В стационарной теории невозможно использовать волновые пакеты, не вводя сложных весовых функций и очень громоздких интегрирований по энергии. Без этого же в стационарной теории неизбежны трудности, связанные с вопросами сходимости. [c.171]

Вычислим сначала скорость сходимости метода конечных элементов, не применяя специальные приемы — сгущение сетки и использование сингулярных функций. Оценить ошибку по энергии деформации не трудно. Как всегда, —ближайшая к и пробная функция, и, если u -Ж , эта ошибка имеет порядок Однако в общем случае и принадлежит всего лишь неко- [c.307]

Сходимость в этом случае монотонна ). Однако монотонная сходимость не означает сходимости к J и ). Тем не менее можно утверждать, что если Ф " гэ Ф i = 1,2,.. ., и если базисные функции аппроксимаций полны по энергии относительно некоторого содержащего и класса функций, то J (Z7 ) монотонно сходится к J (и ). [c.139]

Создавая при помощи специальной магнитной системы (магнитной линзы) по оси электронного луча магнитное поле определенной формы, можно обеспечить сходимость траекторий электронов в одной точке (фокусировку) и изменять ее в широких пределах. При этом изменяется концентрация энергии на обрабатываемом изделии, что представляет значительный интерес с технологической точки зрения. [c.111]

Таким образом, исследования электроимпульсного разрушения различных материалов показали, что существуют общие закономерности, характерные для всех видов сырья, которые позволяют выбрать оптимальные, с точки зрения энергетических показателей, параметры источника импульсов и размер рабочего промежутка в камере. Сопоставление расчетных значений, выполненных по методике, представленной в разделе 2.4, с результатами экспериментальных исследований показали удовлетворительную сходимость. Предложенная методика расчета показателей разрушения может быть рекомендована для выбора параметров источника импульсов и оценки ожидаемых энергетических показателей электроимпульсного разрушения различных материалов. Экспериментальные фавнения удельных затрат энергии на различных аппаратах показали, что при сопоставимых производительностях [c.116]

Обоснование сходимости процесса (3.15) может быть проведено следующим образом. На искомом решении ввиду отсутствия нагрузок на S энергия деформации тела V определяется работой сил только на части поверхности Z, и по формуле Клапейрона равна [c.75]

Рекомендации по численному решению задач свободной конвекции в емкостях приведены в [14, 34, 71, 94]. Решения получены до значений чисел Релея 10 . Возможность получения решений при больших числах Релея была показана в (34 ) путем введения автоматической коррекции разностного оператора. Установлено, что при больших числах Релея, когда схемные коэффициенты переноса превосходят молекулярные, для сохранения устойчивости решений и равномерной сходимости следует опустить в уравнениях диффузионные члены. Подход к численному решению уравнений в замкнутой области можно проиллюстрировать па примере свободной конвекции жидкости в горизонтальной трубе. Математическая модель задачи описывается системой уравнений движения, энергии и неразрывности [c.187]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

Тем самым при численном моделировании процессов деформирования реальной среды может быть допущена двойная погрешность первая и весьма трудно устанавливаемая погрешность допускается при моделировании реальной среды (физически всегда дискретной, хотя и достаточно мелких масштабов) в виде континуальной модели вторая — на этапе численной дискретизации построенной континуальной модели (не говоря о других погрешностях при численной реализации, вопросах сходимости и т. д.). В связи с этим перспективным и методически оправданным является использование дискретных подходов на более ранних этапах моделирования задач механики сплошных сред, особенно задач с высокими градиентами скоростей, разрывами и поверхностями раздела, ударными волнами, разрушением, неоднородностью, сложной пространственной или физической структурой. Эту тенденцию не следует понимать буквально как полный отказ от континуальных представлений, но в то же время целесообразны дальнейшая разработка и создание механики дискретных систем или дискретных сред, являющейся промежуточным звеном между механикой материальных точек со связями [135] и континуальной механикой сплошных сред. Главное при этом — задание характерных масштабов усреднения определяющих параметров процесса по пространству и времени, например характерного размера выделенных дискретных элементов или объемов среды, для которых массу можно полагать сосредоточенной в точке, т. е. использовать для этих элементов средние значения сил инерции, количества движения или среднее значение внутренней энергии. [c.84]

Явное выполнение интегрирования по состояниям непрерывного спектра не является оптимальным методом вычисления выражения (5.1) из-за медленной сходимости интеграла при увеличении энергии состояния Ек в непрерывном спектре. Поэтому задачу обычно сводят к вычислению функции Грина (см. разд. 2.2, книгу [5.4] и книгу [5.5], 5.4). [c.115]

Дальнейшие сведения о виде функции / мог бы дать только эксперимент. Прежде всего, учитывая справедливость обычной кинематики с точностью порядка 10 вплоть до 7 10 [10], можно заключить, что функция / с той же точностью близка к единице при 1 —р /Е > 10 . Далее, желая объяснить отличием функции / от единицы отсутствие излома спектра космических лучей при энергии Е/. 5 10 , мы должны считать, что отклонение (/ — 1) становится порядка единицы как раз при этой энергии ). Это соответствует значению величины Л = 1 — (р /Е ) 10 . Таким образом, функция / с большой точностью равна единице в большей части области своего определения и резко меняется на краю этой области. Такой ход рассматриваемой функции свидетельствует о плохой сходимости ее разложения в ряд по степеням аргумента в интересующей нас области. Поэтому целесообразно перейти к другому безразмерному аргументу = р /(Е — р ) тогда функция /о как функция этого аргумента ведет себя существенно более гладко. Соответственно можно рассчитывать на сходимость разложения функции /( ), которое в предположении [c.167]

Здесь индексами 1 и 2 обозначены параметры в известной и в искомой точках Х2 определено из других уравнений системы 2 вычисляются по параметрам, найденным в предыдущем приближении. Однако при приближении к равновесию сходимость такой схемы ухудшается, и для проведения расчетов требуется существенное уменьшение шага интегрирования, что чрезвычайно увеличивает продолжительность счета. Как показывает анализ, это связано именно с использованием уравнений (2). Вблизи равновесия fi близки к нулю и очень чувствительны к изменениям Т и параметров Поэтому здесь небольшая погрешность в определении Т2 и д12 в предыдущем приближении ведет к большей погрешности в определении д12 в следующем приближении. Это ведет к увеличению погрешности в вычислении Т2, которая определяется из уравнения энергии с использованием д12, и т.д. [c.122]

Для ЭТОЙ цели указанная сумма (3.30) конечного числа членов подставлялась в определенные интегралы (3.25) и (3.26), выражающие энергии и внутренних и внешних сил. Прежде чем вычислять суммы интегралов, находились их частные производные по неизвестным постоянным С, . .., Затем использовалось вариационное условие 6(1 г+1 ) =0, приводившее к системе п линейных уравнений для определения постоянных Си. .., Сп. Эта система получалась после вычисления интегралов, которые появляются в этих уравнениях (при заданном распределении давления р по пластинке) в качестве коэффициентов этой системы. Можно добавить, что, как показали Ритц, а потом и другие авторы, при надлежащем выборе функций йУ ,(л , у) в представлении (3.30) рассмотренный метод дает очень быструю сходимость и его можно также использовать (после вычисления частных производных второго порядка от ге ) для нахождения действующих в пластинках напряжений изгиба или моментов. В случае пластинки с жестко заделанными краями Ритц и Стодола ) заметили, что вариация части интеграла, определяемого соотношением (3.25), [c.152]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

Вполне непрерывные ядра и их собственные значения. Если теперь предположить, что К — вполне непрерывный оператор, то радиус сходимости ряда (9.3) просто равен наименьшему по величине характеристическому значению оператора К- Поскольку ядро К = G (Е) Н зависит от энергии Е, то, вообще говоря, от энергии будет зависеть и каждое из его характеристических и собственных значений. Каждое собственное значение а Е) ядра К в то же время отвечает полюсу резольвенты Е — Яо — уН ) оператора Яо уН при Y — 1/а. Если Е изменяется от —оо до +оо, то точки, соответствующие каждому собственному значению (и каждому характеристическому значению), описывают траектории в комплексной а-плоскости. Поскольку [c.225]

Ответ на вопрос о том, сходится ли борновский ряд равномерно для всех значений энергии, можно дать, если установить, выходит или нет траектория какого-либо собственного значения а за пределы единичного круга. Сходимость является равномерной по при энергиях в интервале от Е — оо до = -1- оо тогда и только тогда, когда ни одна из указанных траекторий не выходит за пределы единичного круга. В гл. 10, 3 будет выведено простое достаточное условие равномерной сходимости борновского ряда для локального сферически симметричного потенциала V (г), состоящее в том, что потенциал — V не должен приводить к появлению связанных -состояний (и 5-резонансов с нулевой энергией). Если потенциал во всем пространстве либо всюду положителен, либо всюду отрицателен, то это условие, конечно, является также и необходимым. Пока не ясно, как данное условие связано с условием равномерной сходимости, выраженным через поведение траекторий собственных значений а. Однако можно высказать предположение (до сих пор еще строго не доказанное), что в случае локального сферически симметричного потенциала ни одна из траекторий а ( ), соответствующих угловому моменту больше нуля, не люжет пересекать ведущей х-траектории. [c.228]

Таким образом, строится приближенное решение задачи. Приемлемо предположение, что при достаточной общности системы аппроксимирующих функций вычисленное значение потенциальной энергии системы будет все более с ростом п приближаться к ее минимуму. Но из этой сходимости по энергии не следует еще, что и последовательность приближений (2.3.1) сходится к искомому решению. Здесь нет места для этих рассмотрений, которым посвящена обширная специальная литература ). Вычисление дает при разумном выборе вида и числа аппроксимирующих функций значения вектора и, достаточно близкие к точному решению меньшей точности следует ожидать от вычисления по найденным методом Ритца перемещениям их производных, значит, и напряжений. [c.154]

Пусть Ф —функция из 5 ( Же, удовлетворяющая уравнению Ритца — Галёркина а Ф, о ) — (/, ю ) для всех Тогда порядок сходимости по энергии что эквивалентно порядку сходимости т-х производных) равен наилучшему возможному порядку аппроксимации, который можно достичь в 5 [c.144]

Это обобщение сделано Стренгом оно дает порядок /г2(ге- +1) для сходимости по энергии деформации. [c.340]

Отметим, что из сходимости некоторой последовательности в пространстве На (т. е. по энергии) вытекает сходимость и в норме исходного пространства. Действительно, пусть На в последовательность Нп На, и пусть ып — н ->-0, тогда и IIЫл — 11 0 вследствие (11.48). [c.134]

Подчерки л, что приведенные рагсуждения применимы, строго говоря, лишь к совместным конечным элементам. Если элементы удовлетворяют условию полноты я совестны, то при сгущении сетки сходимость конечноэлементного решения к точному по энергии будет монотонной. Другими словами, при сгущении сетки полная энергия системы %дет уменьшаться, оставаясь при этом выше своего точного значения. Можно показать [26], что погрешность рассмотренных выше элементов в энергии имеет порядок Р", где п — порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях. Если в выражении для энергии деформации встречаются вторые производные от перемещений (это имеет место, например, для некоторых конечноэлементных моделей пластин, работающих на изгиб, и оболочек), то ошибка в энергии будет иметь порядок [c.211]

Это доказательство применяется без всяких изменений ко всем таким задачам минимизации, и нет нужды повторять его в каждом случае. Необходимое и достаточное условие для сходимости метода Ритца очевидно для всякой допустимой функции и ее расстояние до пространства пробных функций S (измеренное по энергии) должно стремиться к нулю при h->0. Из доказательства предыдущей теоремы видно, что эту сходимость можно проверять на плотном подпространстве, т. е. таком, пополнение которого в энергетической норме включает все допустимые функции сходимость тогда будет автоматически следовать для каждой функции и. Однако интересно установить скорость сходимости в энергетической норме в случае, когда и — достаточно гладкая функция. [c.63]

Метод Ритца заключается в минимизации функционала I(и) на последовательности подпространств 5 . Основная теорема (стр. 54) устанавливает, что минимизирующая функция и есть проекция и на S , иными словами, л — ближайшая к и функция по норме энергии деформации а (и, и). Поэтому, если каждое подпространство 5 содержится в следующем (как это предполагается в классическом методе Ритца и обычно выполняется в методе конечных элементов, когда новые элементы строятся в результате разбиения старых), сходимость по норме энергии деформации монотонна при Л->0. Такова же и сходимость собственных значений. В тео рии Ритца это, возможно, и полезно, но не столь существенно монотонность последовательности подпространств 5 предполагается дополнительно, так что монотонность сходимости — дополнительный вывод. [c.339]

Кратко рассмотрим вопрос сходимости последовательности аппроксимаций Ритца. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим последовательность подпространств Ф , Ф ,. . . пространства 6, порождаемых функциями Фд (х), Фд (х),. . ., которые строятся из локальных конечноэлементных аппроксимаций обычным образом. Эта последовательность получается в результате использования регулярных равномерных измельчений модели мера мелкости которых б -> 0 предполагается, что базисные функции каждого подпространства г-соответственны и полны по энергии в смысле теоремы 10.6. [c.138]

Как внутреняя e t), так и кинетическая К(t ) энергии для внутренних точек области D Ei SE2 пропорциональны двойному интегралу по этой области от 27/(7 ) t xi X2). Задачу об оценке энергии сводим к исследованию сходимости несобственного интеграла [c.479]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Из расчета следует, что энергии активации разрушения сталей 12Х18Н12Т и 08Х16Н91 /12 при испытаниях в теплоизоляции по сравнению с испытаниями в воздушной среде снизились на 1,7 10 Дж/моль и 1,5 х X 10 Дж/моль. При этом изменения поверхностных энергий соответственно составили 0,255 и 0,230 Дж/моль. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных свидетельствует о хорошей их сходимости, что говорит о возможности использования результатов испытаний на микротвердость, проведенных при комнатной температуре для прогнозирования жаропрочных свойств стали в рабочих температурах. [c.55]

В [1-3] было показано, что проблемы математической совместности, унитарности, а также ряд вопросов динамического описания могут быть решены в НТП положительным образом. К числу оставшихся нерешенными относятся вопросы сходимости и макроскопической причинности (а также градиентной инвариантности в электродинамике). Как было показано еще Блохом [4], в НТП с жестким форм-фактором в вершинной части лагранжиана взаимодействия появляются специфические расходимости по углам псевдоевклидова пространства, связанные с нарушением правил обхода Фейнмана из-за акаузальности теории. Другими словами, расходимости связаны с большими значениями пространственных и временных компонент виртуальных импульсов при небольшой величине их четырехмерного квадрата. Анализ, основанный на сформулированной в [3 диаграммной технике, показывает, что форм-фактор устраняет лишь логарифмические расходимости локальной теории (в частности, расходимости собственной энергии фермиона, см. также [5]). Квадратично же расходившиеся матричные элементы остаются расходящимися и в НТП при этом дело не сводится к появлению бесконечной константы, а расходимость возникает лишь при определенных (пространственноподобных) импульсах диаграммы. Таким образом, рассматриваемый вариант НТП оказывается во всяком случае неприменимым к весьма актуальному случаю неперенормируемой теории. [c.143]

Вопрос о том, является ли первый член борновского ряда хорошим приближением или нет, конечно, тесно связан с вопросом о сходимости ряда, но не эквивалентен ему. Может иметь место не только такая ситуация, когда ряд сходится, а первый член далеко не совпадает со всей суммой, но и такая, когда ряд расходится, но тем не менее первый член (или сумма нескольких первых членов) дает хорошее приближение. Вообще говоря, соответствующий критерий, очевидно, должен быть связан со слабостью взаимодействия. В координатном представлении первый борновский член всегда содержит лишь интеграл от взаимодействия. Следовательно, он представляет собой произведение величины, характеризующей некоторую область Н, на некоторое усредненное значение взаимодействия Я. Кроме того, если /С ( ) стремится к нулю при -Н оо (это имеет место во многих важных случаях), то независимо от ееуг чм ы Я борновское приближение будет хорошим при условии, что энергия достаточно высока. В этом смысле оно по своей природе является высокоэнергетическим приближением. [c.232]

Траектории собственных значений а. Чтобы установить свойства сходимости борновского ряда для 5, при заданной энергии в функции от I, расслют-рим зависимость от I собственных значений а, ядра (12.149) радиального уравнения Липпмана — Швингера. С изменением I собственные значения а, движутся по некоторым траекториям в комплексной а-плоскости. При значениях I, для которых все собственные значения а находятся внутри единичного круга, борновский ряд для функции 5, сходится. Если при данной энергии ни одна из траекторий а не выходит за пределы единичного круга, то борновский ряд для любого 5 сходится. Предположим, что потенциал аналитичен (с индексом а = /оп) и подчиняется условию (12.118). Тогда, согласно неравенству (12.170), всегда существует конечный угловой момент [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...