Сходимость монотонная

Хотя при возрастании Со от нуля радиус сходимости монотонно уменьшается, область положительных значений внутри круга сходимости больше всего для значения, лежащего между 0,4 и 0,5, примерно равного 0,445. Разложение по степеням С — 0,445 будет сходиться для всех положительных значений эксцентриситета, меньших 0,892 ). Аналогичное исследование соответствующих разложений координат гиперболического движения легко может быть выполнено ). [c.476]

На этом рисунке видно, что условие ф (хд) / О заставляет выбрать начальную точку достаточно близко от окончательного решения, для того чтобы в ряду итераций не было ни одной точки с горизонтальной касательной. Это условие является необходимым условием сходимости (монотонности функции в окрестности решения), которое не всегда легко выполняется, но для которого можно сформулировать собственные критерии для каждого типа решаемой задачи. [c.78]

В задачах по теоретическому обоснованию теплофизических методов монотонного режима среди перечисленных способов решения уравнения (1-1) более предпочтительным представляется способ последовательных приближений, так как он дает быструю сходимость решений и отличается несколько большей наглядностью, простотой и универсальностью. [c.8]

Признак сходимости Лейбница. Если члены ряда (4.13) поочередно меняют знак и их абсолютные значения и монотонно стремятся к нулю, то ряд (4.13) сходится (но не обязательно абсолютно). [c.102]

Для контроля сходимости последовательных приближений в данном случае можно использовать вариационную формулировку задачи. Дело в том, что перед закреплением торцов стержень неравномерно нагрет по длине, но свободен от нагрузки. Создание натяга при закреплении торцов приводит к монотонному деформированию материала стержня по всему его объему, т. е. нагружение в каждом поперечном сечении является пропорциональным, а поведение материала может быть описано в рамках деформационной теории пластичности (см. 1.5). В этом случае функционал (1.134) на статически допустимых распределениях напряжений [c.193]

Точность решения можно повысить, если на одном из промежуточных этапов перейти к системе конечных элементов с большим числом узлов, определив значения перемещений на этом этапе во вновь введенных узлах интерполированием и далее продолжив процесс варьирования. При этом контроль сходимости процесса последовательных приближений удобно вести по полному значению функционала (6.78), которое должно монотонно стремиться к минимуму. [c.253]

Для сравнения кинематических моделей оболочки достаточно, очевидно, сопоставить решения уравнений (3.55), составленных для рассматриваемых моделей. Заметим, однако, что этот вывод подтверждается результатами анализа поведения решений уравнений типа (3.45), полученных в [84]. В упомянутом исследовании (см. также работу [81]) доказана монотонная сходимость последовательных приближений решения рассматриваемой задачи, г. е. последовательностей собственных чисел усеченных операторов задач рассматриваемого типа [c.147]

Эти представления справедливы при условии, что ряды сходятся. Так как оба ряда состоят лишь из положительных членов, минимальное значение обеих монотонно возрастающих функций от j равно нулю [У (0) = О, у (0) = 0]. Критической точкой является значение J = 1, которое оказывается равным радиусу сходимости двух рядов (5.7.5). Чтобы понять, почему это так, рассмотрим уравнение [c.199]

Как и в исследованиях С. Н. Журкова долговечности различных материалов на воздухе, в наших экспериментах отмечается характерная особенность температурной зависимости прочности стеклопластиков прямые, соответствующие различным температурам, располагаются веерообразно и пересекаются в одном полюсе. Значит на диаграмме зависимости Igt от а существует такое значение долговечности, при котором время до разрушения т и соответствующее ему напряжение а сохраняют в данной среде определенной концентрации постоянные значения при изменении температуры в широких интервалах, т. е. в данной точке прочность не зависит от температуры и остается постоянной. Сходимость линий долговечности в одном полюсе указывает на монотонное изменение параметров а и Л в уравнении (3), определяемых свойствами материала, температурой и концентрацией данной среды. [c.173]

На практике большинство задач отрыва потока с положительным градиентом давления на плоской пластине можно достаточно точно решить с помощью членов до пятого порядка вплоть до начала отрыва с последующим применением короткой экстраполяции. Сходимость нового ряда выгоднее всего использовать для случаев с монотонным ускорением или замедлением внешнего потока. [c.95]

Вопрос о сходимости рядов по степеням числа Гартмана остается открытым. Ясно, однако, что до тех пор, пока эти ряды сходятся, описываемые ими возмущения — как конвективные, так и магнитные — меняются со временем монотонно. Появление в спектре осциллирующих возмущений возможно, таким образом, лишь при конечном значении М. [c.184]

Температурно-скоростная зависимость меди монотонна, а ее параметры, по результатам разных исследователей, обнаруживают хорошую сходимость [2, 193, 194]. [c.73]

Стандартные утверждения из теории меры Лебега (лемма Фату, теорема о монотонной сходимости, теорема Лебега об (ограниченной) сходимости и т. д.) по определению дословно применимы к любому пространству Лебега. [c.715]

Рассмотренные нами монотонные схемы и граничные формулы обладают этими свойствами при сколь угодно больших шагах сетки, хотя при повышенном порядке аппроксимации действуют некоторые ограничения на отношение шагов. Недостаток метода Зейделя — неудовлетворительные показатели по скорости сходимости и вычислительной устойчивости в условиях развитой конвекции (Ка Ю ), даже в случае монотонных аппроксимаций. Нейтрализовать дестабилизирующее влияние числа Рэлея удается за счет введения в алгоритм параметров релаксации. [c.106]

Результаты, приведенные в пп. 5.2.2, 5.2.3, прошли успешную апробацию при решении ряда новых задач [22—26]. Применялась консервативная монотонная схема 2-го порядка аппроксимации (3.30) — схема О. В области низких и умеренных Ка параметры релаксации принимались обычно дт = д =, 9ш=1,5 и обеспечивали хорошую скорость сходимости. Для получения стационарных решений при больших Ка применялся алгоритм стабилизации, построенный в п. 5.2.3. Величина О задавалась соотношением (5.5) или по близкой формуле. Структуру сходимости оказалось иногда лучше рассматривать на промежутке [Л ], так как при N0= [0 /2] итерационный процесс не всегда мог в достаточной степени развиться. При этом достигалось установление итераций, которое не имело места при дт = да = д, ,= 1. Как правило, процесс сходился за число итераций, соизмеримое с достигнутым на тестовых задачах. Если скорость сходимости была неудовлетворительной (а это случалось на сетках, отличных от рассмотренных при численном эксперименте), повысить ее удавалось путем изменения (обычно в сторону увеличения) коэффициента к в формуле (5.5), но не более чем в 2 раза. [c.140]

На рис. 5.4 показан характер сходимости рассматриваемых методов при ш=0,5 и ш = 0,9. Метод простой итерации в данном случае образует монотонный итерационный процесс. [c.114]

Решение, строго соответствующее принципу минимума потенциальной энергии, при построении Пр требует рассмотрения полей перемещений, обладающих межэлементной совместимостью. Если ищется решение, отвечающее принципу минимума дополнительной энергии, то при построении необходимо использовать функции, задающие равновесные поля напряжений, удовлетворяющие условиям равновесия на границах, разделяющих элементы. Как было показано в разд. 7.2 и 7.6, указанные решения обладают тем преимуществом, что для них могут быть установлены границы изменения определенных параметров решения. Кроме того, можно доказать монотонную сходимость этих параметров при измельчении сетки разбиения [8.1, 8.2]. [c.229]

Вначале выбирается функция (х, у), монотонно возрастающая по у, которая удовлетворяет граничным условиям на внешней (жидкой) и внутренней (твердой, непроницаемой) границах пограничного слоя. Эта функция обязательно содержит б (л ), потому что она удовлетворяет граничным условиям на жидкой границе пограничного слоя. Затем эту функцию подставляют в (6.40) и получают уравнение с одной неизвестной б (л ). Определив величину б (х), ее вводят в принятое распределение продольной компоненты скорости. Полученное таким образом распределение скорости Uy. (Ху у) подставляют в выражение для рух и вычисляют его. Чтобы убедиться в правильности ответа, необходимо повторить вычисления с несколько усложненной исходной функцией для распределения скорости Ux (х, у), которую следует рассматривать теперь в качестве второго приближения к точному решению. Если первое и второе приближения по трению отличаются друг от друга незначительно, то полученное решение близко к точному. В противном случае вычисления повторяют вновь для третьего приближения. Точное исследование сходимости этого процесса, насколько известно, еще не выполнено. [c.262]

Из предыдущего может показаться, что все типы элементов, для которых гарантируется сходимость, одинаково полезны, ио это далеко ие так. Нельзя игнорировать того, что на практике очень важна точность. Если. результаты при конечном размере элемента, диктуемом экономией вычислений, дают большую погрешность, то наличие элемента, который дает сходимость результата к точному решению по мере стремления размера элемента к нулю, является слабым утешением. Как можно иа практике определить точность вычисленного решения Ответ таков в общем случае никак. Одним из двух способов, однако, часто можно получить достаточный показатель точности. Первый состоит в том, что с помощью таких же элементов решается аналогичная задача с известным аналитическим решением. Определенная таким образом ошибка может быть использована для оценки ошибки в рассматриваемой задаче. Второй метод требует того, чтобы тип сходимости был предварительно определен для конкретной формулировки метода конечных элементов и для конкретной задачи. Если известно, что сходимость улучшается монотонно ) по мере уменьшения размеров сетки, то можно решить задачу несколько раз с последовательно уменьшаемыми элементами и для получения оценки сходимости решения экстраполировать результаты. [c.175]

Однако, когда начальная точка хорошо выбрана и выполняется критерий монотонности для производных, метод Ньютона-Рафсона дает очень хорошую сходимость. Часто достаточно менее десяти итераций, чтобы получить решение с высокой точностью (е = 0,001), [c.81]

Свойства обобщенной функции состояния по существу совпадают с описанными выше свойствами канонической функции состояния. Поэтому отметим только то обстоятельство, что Е(Я ) всегда (на полуплоскости сходимости) является регулярной, положительной. монотонно убывающей функцией Р . Всегда имеем [c.46]

Подчерки л, что приведенные рагсуждения применимы, строго говоря, лишь к совместным конечным элементам. Если элементы удовлетворяют условию полноты я совестны, то при сгущении сетки сходимость конечноэлементного решения к точному по энергии будет монотонной. Другими словами, при сгущении сетки полная энергия системы %дет уменьшаться, оставаясь при этом выше своего точного значения. Можно показать [26], что погрешность рассмотренных выше элементов в энергии имеет порядок Р", где п — порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях. Если в выражении для энергии деформации встречаются вторые производные от перемещений (это имеет место, например, для некоторых конечноэлементных моделей пластин, работающих на изгиб, и оболочек), то ошибка в энергии будет иметь порядок [c.211]

Обращаясь к рассмотренным ранее конечным элементам, Вадим, что треугольный элемент с линейным полем перемещений (см. 5.1) и совместный прямоугольный элемент (см. 5.2) удовлетворяют условию полноты. Это непосредственно следует из формул <5.1) и <5.16) для перемещений и , Uy, в которых представлены полные полиномы первого и нулевого п<фядк№. Поскольку эти элементы являются также совместными, то они обеспечивают монотонную сходимость решения к точному при сгущении сетки. Погрешность аппроксимации перемещений убывает при этом в обоих случаях по крайней мере как где I — длина наибольшей стороны элемента. Как показы- [c.211]

Таким образом, мы доказали, что плоские изопараметри-ческие элементы удовлетворяют условию полноты. Следовательно, их использование обеспечивает монотонную сходимость решения. Аналогично доказывается свойство полноты для одно-и трехмерных изопараметрических конечных элементов. [c.213]

Цель, которая должна быть поставлена перед квантовыми теориями, посвященными обоснованию статистики, по существу совпадает с той, которая ставилась в работах, исходивших из классических представлений. Эта цель заключается в том, чтобы дать интерпретацию не только некоторым частным проблемам — эргодичности илп ZT-теоремы, как обычно ставилась задача, но и всей совокупности принципов, лежащих в основании физической статистики. Эти принципы — эргодический характер временных средних, равномерная (относительно начальных состояний и относительно выбора той или иной величины заданной группы величин) сходимость к пределу временных средних, существование релаксации п /f-теорема — были охарактеризованы нами в 1 главы I. До сих пор обычно оставлялись в стороне утверждения о равномерной сходимости и о релаксации (в том смысле, что после некоторого времени — времени релаксации — вероятности состояний должны определяться флюктуационной формулой). Мы будем различать в дальнейшем две части проблемы необратимости проблему монотонного возрастания энтропии, которую будем называть ЛГ-теоремой, и проблему релаксации, имеющую только что определенный смысл. Совокупность указанных принципов лежит в основании как классической, так и квантовых статистик. В квантовых статистиках эти утверждения выражаются лишь на квантовом языке, так же как и понятия состояний системы, вероятностных распределешш, эргодических средних и т. д. [c.135]

На рис 2.10 показана зависимость значения функционала 2 в (2.54) от числа итераций кривая 1 для ГС-алгоритма (а = 0), кривая 2 для АМ-алгоритма (а = 10 ). Из рис. 2.10 видно, что адаптивный алгоритм обладает лучшей сходимостью кривая 2 достигает значения 1 после 4 итераций, в то время как кривая 1 достигает значения 1,2 носие 20 итераций. Рис. 2.10 также выявляет недостаток АМ-алгоритма его немонотонную сходимость. Но если брать значения функционала (2.54) через итерацию, то они буда т убывать монотонно. Для всех рассмотренных примеров начальная оценка фазы выбиралась случайной, и результаты практически не зависели от ее конкретной реализации. [c.63]

Здесь под сходимостью мы понимаем следующее при бесконечном уменьшении размеров элементов ошибки в определении величины X стремятся к нулю. Это иногда позволяет сказать, что решение, полученное при одном разбиении, заведомо лучше решения, полученного при другом. Очевидно, что в смысле определения величины х [формула (3.2)] это утверждение справедливо, еслн функция формы первого типа разбиения включает все функции формы второго типа разбиения. Именно такой случай возникает, когда новое разбиение получается последующим делением более крупных элементов. Сходимость по X при этом будет монотонной. Это обстоятельство впервые было установлено Мелошем в 1963 г. [8]. [c.47]

Как было показано Оденом [11], монотонная сходимость метода Ритца к точному решению имеет место, еслн [c.175]

Рассмотрим, например, функцию, линейную на треугольном элементе, и предположим, что удовлетворяются условия полноты и согласованности (1). Разбиение каждого треугольника соединением середин его сторон удовлетворит условию (2) а поскольку каждое последующее разбиение является линейным, условие (3) также удовлетворяется. Однако для более сложных формулировок удовлетворить требованиям монотонной сходимости нелегко. В частности, уменьшение размеров сеткн определенной процедурой может породить после некоторого разбиения больше элементов, чем может быть обработано имеющимся вычислительным оборудованием. [c.176]

Аппроксимационная сходимость с достоверностью монотонна для уравнения Лапласа = О и для простого уравнения диффузии дуд1 = = но необязательно для уравнения Пуассона или для нелинейного урав- [c.272]

Число (нелинейных) уравнений равно числу неизвестных коэффициентов, т. е. размерности пространства пробных функций 5 . Для двух описанных выше классов можно доказать существование такого решения Ф и его сходимость к и при условии, что на оператор наложены подходящие требования непрерывности. В самом деле, схема одного из возможных доказательств существования решения и такова доказывается существование Ф в конечномерном пространстве и дается априорная оценка, устанавливающая, что все Ф принадлежат некоторому компактному множеству тогда последовательность Ф должна иметь предельную точку при /г 0 этой точкой и будет и. Сиарле, Шульц и Варга [С6] показали, что оценки ошибки для линейных и нелинейных монотонных задач отличаются незначительно. [c.134]

Метод Ритца заключается в минимизации функционала I(и) на последовательности подпространств 5 . Основная теорема (стр. 54) устанавливает, что минимизирующая функция и есть проекция и на S , иными словами, л — ближайшая к и функция по норме энергии деформации а (и, и). Поэтому, если каждое подпространство 5 содержится в следующем (как это предполагается в классическом методе Ритца и обычно выполняется в методе конечных элементов, когда новые элементы строятся в результате разбиения старых), сходимость по норме энергии деформации монотонна при Л->0. Такова же и сходимость собственных значений. В тео рии Ритца это, возможно, и полезно, но не столь существенно монотонность последовательности подпространств 5 предполагается дополнительно, так что монотонность сходимости — дополнительный вывод. [c.339]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...