Аппроксимация базисными функциями

Соответственно, в зависимости от желаемой плавности аппроксимации, базисные функции могут быть постоянными, захватывающими один интервал (рис. 7.9, а), кусочно-линейными, ненулевыми на двух интервалах (рис. 7.9, б), квадратными параболами, охватывающими три интервала (рис. 7.9, в), и т. д. [c.160]

Кусочно-постоянная аппроксимация. Простейшим видом конечноэлементной аппроксимации является кусочно-постоянная аппроксимация. Базисные функции или функции формы конечных элементов в этом случае не зависят от формы элементов и размерности пространства, в которое вложены конечные элементы. Они определяются выражением [c.146]

Кусочно-линейная аппроксимация. При такой аппроксимации базисные функции изменяются линейно в пределах конечного элемента, а их вид зависит от его формы. Поэтому базисные функции часто называют функциями формы элементов [124]. Приведем функции формы для наиболее часто встречающихся элементов [29, 41, 124]. [c.146]

Аппроксимация базисными функциями 27 [c.298]

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для случая разбиения Q на четырехугольные подобласти, при использовании аппроксимаций степени выше первой, для трехмерных задач теории упругости. В задаче изгиба тонких пластин необходимо различать базисные функции, соответствующие прогибу и производным от прогиба, в связи с чем простая система уравнений (4.8) для определения базисных функций заменяется достаточно громоздкой системой подробнее об этом будет сказано позже. [c.160]

Рассмотрим изопараметрические конечные элементы Лагранжа. Указанному выше условию непрерывности проще всего удовлетворить, задав F х) в виде комбинации тех же базисных функций, с помощью которых производится аппроксимация [c.199]

Тот же прием используется и в многомерных полях. Для. примера на рис. 7.10 показаны кусочно-линейные базисные функции, позволяющие дать соответствующую аппроксимацию функции двух аргументов [c.160]

Как было указано во введении к части В, сплошное тело условно разбивается на конечные элементы и при построении метода конечных элементов (МКЭ) рассматривается как совокупность этих элементов. Непрерывные функции, представляющие физические величины, заменяются аппроксимирующими функциями, которые выбираются гладкими в каждом элементе, но во всем теле являются кусочно-гладкими. Приближенное решение представляется в каждом элементе с помощью интерполяционных функций с неизвестными параметрами аппроксимаций, которыми могут быть, например, значения величин в узловых точках. Интерполяционные функции, называемые также функциями формы (или базисными функциями), выбираются так, чтобы, как только определены неизвестные параметры, распределения физических величин ю всем теле определялись однозначно. Итак, нашей следующей задачей будет вычисление неизвестных параметров. [c.425]

Расчет произведен дважды. В первом варианте в качестве базисных функций при аппроксимации перемещений принимались одномерные полиномы Лагранжа второго порядка от координат и, и и первого порядка от координаты г. Второй вариант отличается от первого тем, что базисные функции от v строились на основе функций sin v и os v. Результаты расчета в двух вариантах совпали с точностью до четырех значащих цифр. [c.195]

В областях той или иной гладкости решений многомерной задачи знание хороших аппроксимирующих агрегатов (базисов), построенных часто с помощью аналитических конструкций, передающих основные закономерности дифференциальной задачи, позволяет решить еще одну весьма важную задачу — об экономичном представлении информации, полученной в результате численного решения сложной многомерной задачи. Иногда линейные комбинации или рациональные дроби из удачных базисных функций позволяют при ограниченном наборе коэффициентов разложения построить достаточно точную аппроксимацию параметров физических полей в трехмерных задачах. [c.15]

Экспериментально найденные значения относительной среднеквадратичной ошибки 6 аппроксимации базисных экспоненциальных функций для N = 16, 32, 64, 128, 256 приведены в таблице [c.41]

Полученные уточненные соотношения теории оболочек эквивалентны трехмерным уравнениям термосилового равновесия элемента деформируемой среды. Точность аппроксимации уточненными уравнениями искомых функций по нормальной координате зависит от размерности системы базисных функций и степени учета изменения метрики по толщине оболочки. [c.5]

Базисные функции могут быть линейными, квадратичными и т. д. Заметим, что порядок интерполяции функций и ti может быть различен (tj) и Ф (tj). Учитывая, что усилия в теории упругости могут быть представлены через производные смещения щ, по-видимому, целесообразно выбирать аппроксимацию для усилий на порядок ниже, чем для перемещений (линейные перемещения — постоянные усилия, квадратичные перемещения — линейные усилия и т. д.). [c.56]

Процедура сглаживания может быть построена на основании использования параметрической (физической или формальной) либо непараметрической моделей сигнала y (i) в (1.44). В первом случае она фактически сводится к процедуре оценивания неизвестных параметров модели, которая рассмотрена в гл. 2. При этом в качестве формальных моделей используются полиномы или ряды типа (1.21) и проводится оценка их коэффициентов Yi. Сглаживание значений г/(if) рядами целесообразно при таком выборе базисных функций, при котором малая погрешность аппроксимации достигается при не слишком большом числе членов. При сглаживании сложных сигналов целесообразно разбить интервал аппроксимации на участки, позволяющие использовать семейство простых функций, в частности многочленов невысоких порядков (<3) —сплайн-функций, которые состыкованы так, чтобы на граничных участках не было разрывов сигнала y (t) и нескольких его производных [c.28]

Основная идея метода Бубнова — Галеркина состоит в том, что приближенное решение однородной краевой задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и числом этих функций, входящих в разложение. При удачном выборе базиса достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно небольшим числом функций. [c.28]

Эффективность метода может быть проиллюстрирована путем сравнения приближенного решения с точным на примере тех немногих задач, для которых точное решение удается найти. Так, в случае вертикального кругового цилиндра (см. 11) второе приближение метода (две базисные функции в аппроксимации скорости) позволяет найти нижнее критическое число Рэлея с точностью до долей процента во всем интервале изменения отношения теплопроводностей жидкости и массива. В случае же плоского горизонтального слоя еще более высокую точность дает первое приближение (см. 7). [c.31]

В первом приближении, когда в аппроксимации (11.17) удерживается лишь одна базисная функция, условие разрешимости сводится к обращению в нуль левого верхнего элемента определителя. Отсюда находим критическое значение К(й) в первом приближении [c.77]

Для решения задачи об устойчивости равновесия с помощью метода Галеркина необходимо выбрать систему базисных функций. Векторные базисные функции для аппроксимации скорости удобно искать в виде полиномов, обращающихся в нуль на границе полости [c.109]

Исходя из трех базисных функций при аппроксимации (х,у,г) (1 — г ) , (1 — 0, (1 — С08 0, [c.115]

При аппроксимации амплитуд возмущений функции тока p и температуры в примем в качестве систем базисных функций соответствующие амплитуды нормальных возмущений в покоящемся слое жидкости. Краевые задачи, определяющие эти функции, и их явный вид приведены в предьщущем параграфе (см. (2.6)-(2.9) и (2.21)). В соответствии с идеей метода Галеркина представим искомые амплитуды в виде разложений О N-1 М-1 [c.20]

Исследованию спектров возмущений и границ устойчивости обсуждаемого течения посвящены работы [1, 2]. Для решения задачи применялся метод Галеркина с базисными функциями, описанными в 2. В отличие от течения с нечетными профилями скорости и температуры, возникающими в слое с разными температурами границ, в данном случае профили являются четными, и потому решения амплитудной задачи распадаются на два класса — четных и нечетных решений. Для аппроксимации амплитуд в каждом из классов используются системы базисных функций соответствующей четности. Условия Галеркина приводят теперь к комплексной [c.167]

Нри больших деформациях отклонение формы включения от эллипсоидальной может оказаться значительным, и расчеты, выполненные путем минимизации функционала с одной базисной функцией для аппроксимации формы включения, могут давать значительно отличающиеся от истинных результаты. [c.152]

Кусочно-квадратичная аппроксимация. В этом случае базисные функции имеют билинейный вид для линейных элементов д — = 1, 2, 3) для крайних узлов [c.147]

При формировании системы линейных алгебраических уравнений метода граничных элементов (6.23) требуется представлять глобальные координаты как функции локальных. Наиболее удобно для этого использовать такие же базисные функции, как и для аппроксимации функций, т. е. функции ср ,, определяемые формулами (6.34) — (6.52). Тогда глобальные координаты можно представить в виде [c.148]

Требуемый порядок пространства базисных функций определяется порядком I н р. Такой выбор аппроксимации приводит к равенству = О на границе. Мерой ошибки является скалярное произведение невязки и пробной (весовой) функции ш [c.24]

Заметим, что вовсе не обязательно было знать базис — все матрицы и вектор Р (формула (13.15)) строятся, исходя из аппроксимирующего полинома. Теперь можно задаваться только определенной аппроксимацией и строить формально систему уравнений Ритца. Но для понимания идей МКЭ и обоснования сходимости важно знание его базисных функций. [c.171]

Для исследования краевой задачи (3.48)-(3.53) применяем подход, основанный на методе Бубнова-Галеркина и связанный с приближенным описанием течения с помоп1ЬЮ конечномерных динамических систем. При построении галеркинской аппроксимации уравнений гидродинамики основным является вопрос о том, сколько базисных функций учитывать в разложении. Единственным критерием правильности конечномерного описания является сравнение его с точным решением (если оно известно), либо с экспериментом. Имеющийся опыт применения разложений Галеркина низшего порядка (см. п. 3.1.2) показал их эффективность при качественном исследовании весьма сложных неоднородных нелинейных термохимических и гидродинамических систем для тех ситуаций, когда ясно, какую картину течения мы хотим описать. [c.108]

Основная идея, использованная при разработке гибридных трещинных элементов, сводится к включению решений (3.1) и (3.2) в базисные функции, представляющие перемещения и/или напряжения трещинного элемента, дополнительно к (несингулярным) полиномиальным базисным функциям порядка О г). Поскольку коэффициенты /Сг, /Сп и /Сщ являются неопределенными параметрами соответствующих базисных функций элемента, то их можно определить непосредственно из конечно-элементного решения. Заметим, что коэффициенты Ки и Kui, как правило, являются функциями координаты t. Тем не менее при конечно-элементной аппроксимации в каждом элементе, связанном с фронтом трещины, величины К], /Сгг и /Сги могут быть приняты постоянными, в результате чего сингулярное решение (3.2) может оказаться самоурав-новешенным. С другой стороны, если Ки Ки и / in выбраны так, что в каждом из элементов они являются произвольными функциями /, то сингулярное решение (3.2) не будет самоурав-новешенным. [c.188]

Сформулированные в [240] критерии сходимости приближенных конечно-элементных решений к точным накладывают ограничения на базисные функции Lpqr(aK а , а ). Последние должны обеспечивать непрерывность перемещений щ на границах контакта конечных элементов возможность точной аппроксимации постоянной деформации всего элемента равенство нулю тензорного поля деформаций при смещениях конечного элемента как жесткого тела. [c.189]

Для простоты представления р и и их значения будут считаться постоянными на любом временном шаге Ат, а Q x, т) будет заменяться своими средними значениями на каждом шаге. Значения и ы на произвольном граничном элементе могут быть представлены в виде р х, т) = N(a )p и и х, т) = N(a )u, где N(x) — изопарамет-рические базисные функции, арии — векторы узловых значений р R и. Естественно, что на элементах Ат вдоль оси времени также можно было бы ввести некоторые базисные функции. Однако, насколько нам известно, этого еще никто не делат, хотя работа Смита [15], касающаяся аппроксимаций Паде и Нёрсетта экспоненциальных функций, нашла бы здесь свое применение [26]. [c.257]

Система двумерных соотношений теории нетонких оболочек переменной толщины (1.84), (1.93) —(1.94), й-Ю2) —(1.104), (1. 114) — (1.116), (1.118) эквивалентна трехмерным уравнениям термосилового равновесия элемента деформируемой среды. Точность аппроксимации полученными соотношениями искомых функций Т и U по координате зависит от размерности системы базисных функций tpn(J ), фп(д ) и порядка учитываемых полиномов в разложении (1.65). [c.42]

Аппроксимация граничных функций на основе дискретизации границы была рассмотрена в 2 главы 7. Если граничные функции зависят от времени, то возникает необходимость в их аппроксимации не только по границе, но и по времени. Будем предполагать в данном параграфе, что базисные функции в конечномерных пространствах аппроксимантов являются функциями с разделян -щимися переменными по пространству и по времени. Таким образом, функция f x,t), аппроксимирующая функцию f x,t) на ГХ[о, Ь], может быть записана в виде [c.240]

Выражение (1.21) в этом случае назовем спектральной моделью сигнала с дискретным спектром [14]. Число слагаемых в (1.21) характеризует размерность модели. Очевидно, что выбор базисных функций существено влияет на качество дальнейшего оценивания параметров сигнала. Помимо указанных выше свойств базис должен обеспечивать как можно меньшую размерность модели сигнала. Чрезмерное увеличение размерности, хотя и может повысить точность аппроксимации, но значительно усложнит алгоритм оценивания. Влияние внешних шумов и шумов , определяемых точностью реализации процедуры оценивания, также способствует тому, что более точные спектральные модели сигнала высокой размерности могут оказаться нецелесообразными. [c.22]

Решение этой задачи на основе современных численных методов было впервые получено Р.В. Бирихом [29, 30]. Использовался метод Галеркина с базисными функциями (/ , которые являются амплитудами возмущений функции тока в неподвижном слое жидкости (см. 2, 3). Для получения спектров декрементов и характеристических возмущений в достаточно широкой области значений параметров Gr и к требуется использовать в аппроксимации большое число базисных функций. В расчетах [29, 30] их число достигало 36. Сравнение результатов, полученных с разным числом базисных функций, показало, что такого приближения достаточно для надежного определения десяти нижних уровней спектра в области A Gr<30 10 [c.26]

Вычисленная для представленных на рис. 10.16 эталонных изображений двумерная коррелятцгонная функхщя Й Ах, Ау) была факторизована на две одномерных (Ах) и и (Ау), для каждой из которых была построена экспоненциально-ко-синусная аппроксимация. С использованием аппроксимируюшцх корреляционных функций Й (Ах) и ш Ау) аналитически решались одномерные интегральные уравнения (10.10) с экспоненциально-косинусным ядром и находились одномерные базисные функции. Двумерные базисные функции, рассчитанные в виде произведения одномерных в соответствии с (10.18), изображены на рис. 10.17. [c.614]

Метод граничных элементов можно трактовать как приближенный, способ решения граничных интегральных уравнений, включающий аппроксимацию функций, принадлежащих некоторому функциональному пространству, дискретной конечнозлементной моделью. Эта модель включает в себя конечное множество значений рассматриваемой, функции в области ее определения и аппроксимацию этой функции финитными базисными функциями, определенными на малых подобластях, называемых граничными элементами. В этом смысле метод,, граничных элементов тесно связан с методом конечных элементов, в котором-также функции, принадлежащие соответствующим функциональным пространствам, аппроксимируются конечномерной моделью. Ниже будем говорить о конечноэлементной аппроксимации и конечных элементах, имея в виду, что граничные элементы являются их частным случаем. [c.143]

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров конечных элементов и базисных функций на них или функций формы для элементов заметим, что конечноэлементная аппроксимация должна удовлетворять условиям линейной независимости и плотности в соответствующем функциональном пространстве. Проверка этих условий иногда представляет непростую задачу. Поэтому здесь эти вопросы рассматривать не будем, а ограничимся указанием собтветству-ющей литературы [159, 173, 372]. [c.146]

Аналогичные формулы имеются для базисных функций при кусоч-но-полинимиальной аппроксимации более высокого порядка. Они имеют более сложный вид и поэтому здесь не приводятся. Соответствующие формулы можно найти в литературе [29, 42,- 124, 374, 4391. Относительно простой вид имеют базисные функции лагранжева типа высшей степени [1241. Так, для линейных элементов [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...