Работа векторного поля

Работа векторного поля 31 Рабочее топливо 321 Рабочий процесс паровой машины 70Ь Равновесие гидролитическое 88 [c.725]

Работа векторного поля 31 укрепления отверстий 522 Сепарационные схемы, гидро- [c.725]

Иногда этот интеграл интерпретируется как работа векторного поля вдоль контура / . Если циркуляция векторного поля вдоль замкнутого пути (контура) равна нулю, то поле называют потенциальным. [c.5]

Вообще, если для векторного поля существует скалярная функция ф, обладающая свойством определять работу вектора простым выражением типа (2.16), то такое поле называют потенциальным. Потенциальные векторные поля находят весьма широкое применение при решении различных проблем физики и техники. Потенциальными являются векторное поле скорости в жидкой среде (при определенных условиях), векторное поле электростатических сил и поле центростремительных сил однако магнитное поле скалярным потенциалом не обладает. Понятие потенциала в механике известно давно, например, понятие потенциала скоростей было введено Эйлером. [c.28]

Векторные поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, встречаются в типичных семействах с не менее чем двумя параметрами. Бифуркации таких полей в типичных двупараметрических семействах описаны в п. 2.6. Бифуркации петли сепаратрисы в типичных многопараметрических семействах исследованы в работе [79]. [c.98]

Ниже, при изложении понятия работы, а затем в третьем томе, мы будем заниматься исследованием векторного поля т. е. системы связанных векторов, приложенных в различных точках некоторой непрерывной области пространства. [c.44]

Уравнение (3.3) имеет стандартную дифференциальную форму принципа баланса энергии (см., например, формулу (58) работы [35]). Если временную переменную считать равноправной с пространственными координатами, то уравнение (3.3) будет представлять собой требование равенства нулю дивергенции некоторого векторного поля в точке области переменных пространство— время. Если уравнение (3.3) выполняется в некотором пространственно-временном объеме , то, применив теорему Гаусса — Остроградского в ее исходной формулировке, получим утверждение о том, что интеграл по границе данного объема от скалярного произведения вектора, от которого вычисляется дивергенция, иа единичный вектор внешней нормали к границе равняется нулю. [c.101]

Отличительной особенностью работ отмеченных авторов является исследование окрестностей векторных полей систем именно около регулярной особой точки, т.е. там, где правые части систем имеют достаточное количество непрерывных производных. [c.136]

Рассмотрим сначала геометрически-линейную модель, т. е. случай малых перемещений и поворотов. Векторные поля перемещений u(r,t) и малых поворотов Э (/ ,/) независимы. Операторы V и V ( 3.2) неразличимы, уравнения можно писать в отсчетной конфигурации . За основу вывода примем, как и везде в этой книге, принцип виртуальной работы [c.97]

Таким образом, по крайней мере для маленьких значений Ь, преобразование однозначно определяется векторным полем. Для больших 4 следует рассмотреть композицию отображений, определенных в локальных координатах. Если решения существуют для всех вещественных значений 4, векторное поле называется полным. Следует иметь в виду, что если 4 велико, то мы вынуждены работать на многообразии в различных локальных системах координат, но это не порождает особых трудностей. Если многообразие М компактно и не имеет границы, то оно может быть покрыто конечным числом координатных карт. Внутри любой карты решения существуют для некоторого фиксированного интервала времени. Так как каждая точка X еМ принадлежит некоторой не очень маленькой координатной окрестности, отсюда следует, что любое С -гладкое векторное поле на замкнутом компактном многообразии без границы полно и, таким образом, определяет гладкий поток, т. е. однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия М. [c.25]

Именно как элементы этого касательного пространства векторные поля в формулировке принципа виртуальных работ правомерно считать вариациями. Данное наблюдение служит также обоснованием термина вариационный применительно к самим уравнениям. Прилагательное виртуальный , заимствованное из классической механики сплошных сред, отражает тот факт, что векторные поля е ГфФ, входящие в формулировку принципа виртуальной работы, являются по своей сути математическими объектами, не требующими физического истолкования. [c.111]

Векторное поле А, удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию (Иу А = О, называется соленой-дальним (полем без источников). При выполнении условия го1 А = О поле А является потенциальным векторным полем. Если такое поле характеризует силу, действующую на материальную точку, то работа внешних сил при обходе замкнутого контура будет равна нулю. [c.7]

Формулировка знаменитого принципа виртуальной работы, также называемого принципом Д Аламбера, хотя и имеет дело с понятием энергии, не требует предварительного изложения термодинамики. Тем не менее мы отложили обсуждение этого принципа до сих пор, так как намереваемся показать его тесную связь с принципом объективности. В качестве примера рассмотрим случай, когда локальные балансные уравнения механики сводятся к простым соотношениям (2.4.21) и (2.4.28) с граничными условиями (2.4.20). Пусть у — произвольное векторное поле, компоненты которого v имеют размерность [c.109]

В основу изложения положены работы авторов настоящей монографии [47, 71, 75], в которых при изучении систем дифференциальных уравнений осу ществляется переход к векторным полям и алгебрам Ли, порождаемым этой системой. Общие вопросы теории гладких многообразий, векторных полей и алгебр Ли можно найти в работах [4, 92, 101]. Алгебры формальных векторных полей и исследования на их основе структуры дифференциальных уравнений описаны в работах [122, 135]. В работе [3] развивается метод исчисления, основанный на экспоненциальном представлении потоков, определяемых нестационарными обыкновенными дифференциальными уравнениями, и отражающий наиболее общие теоретико-групповые свойства потоков. Рассмотрены различные прикладные аспекты такого подхода, в особенности в применении к задачам теории управления и оптимизации. [c.264]

Пример 9.1. Механическая работа. Начнем с простого примера, в котором используется элементарное понятие работы. Рассмотрим два векторных поля и (X) и F (X), определенных в области М пространства Если и (X) — то поле, которое аппроксимируется, то [c.94]

Пусть векторная функция U (X) описывает поле перемещений некоторого непрерывного тела, а F (X) — поле действующих м тело сил. Тогда — работа локального поля сил i< >(x) на перемещениях U(e> (х), а означает обычное скалярное произведение векторов ( = ) [c.94]

Имеющиеся в настоящее время работы по теории гидромагнитного динамо связаны, в основном, с теорией земного и звездного магнетизма. Укажем прежде всего работы 54,21 д особенно 22, в которых стационарное уравнение индукции (5,8) исследуется при заданном поле скоростей, более или менее соответствующем предполагаемым движениям внутри звезд. Так как во всех этих работах рассматривается ограниченная масса жидкости, имеющая форму шара, то используется разложение векторных полей V и И по векторным ортогональным сферическим гармоникам. В согласии с вышеизложенным, анализ показывает, что при высокой симметрии векторных полей стационарный процесс невозможен. Поэтому [c.33]

Принцип Даламбера более элементарен по сравнению с остальными вариационными принципами, так как он не требует интегрирования повремени. Недостатком принципа является то, что виртуальная работа сил инерции есть поли-генная величина, не сводимая к одной скалярной функции. Это делает его неудобным при использовании криволинейных координат. Однако во многих простых задачах динамики, которые могут быть рассмотрены при помощи прямоугольных координат или векторными методами вообще без всяких координат, принцип Даламбера очень полезен. [c.116]

Существ, продвижение в решении этой задачи было достигнуто в 50—70-х гг. на основе развития идеи о векторных калибровочных полях, сформулированной в уже упоминавшейся работе Янга н Миллса. Отталкиваясь от известного положения о том, что всякий наблюдаемый экспериментально закон сохранения связан с инвариантностью описывающего систему лагранжиана относительно [c.605]

В гл. 7—9 дан качественный анализ работы идеально вязких конструкций на основе разработанных векторных представлений, наглядно иллюстрирующий наиболее важные закономерности поведения неупругих анизотропно упрочняющихся тел при однократном, повторно-переменном и циклическом механическом и тепловом нагружениях. Здесь рассмотрены и принципы построения расчетных моделей конструкций. Примеры выполнения практических расчетов кинетики полей неупругих деформаций в деталях конструкций приведены в гл. 10. [c.10]

В случае пространственного движения в центральном поле, когда д = — /сг/ г р, уравнения экстремалей (4.71) имеют согласно работе [31] четыре первых интеграла, из которых один скалярный и один векторный [c.129]

Данный вопрос можно разъяснить еще и следующим образом. Возьмем кубический метр жидкости, заключенный в практически невесомый прочный (например, стальной) контейнер, имеющий кубическую форму. Далее представим себе, что этот контейнер (заполненный тяжелой жидкостью) перемещается в воздухе (т. е. только в поле сил тяжести). Очевидно, работа, выполненная этим контейнером, определится разностью наименований соответствующих линий равного потенциала только поля сил тяжести ( начальной и конечной эквипотенциалей). После этого удалим из нашего контейнера жидкость и тем самым сделаем его невесомым. Этот пустой невесомый контейнер будем мысленно перемещать не в воздухе, а в окружающей жидкости, т. е. только в векторном поле градиентов Jp давления. Очевидно, за счет давления жидкости на стенки пустого контейнера сверху и снизу (т. е. за счет архимедовой силы, имеющей свою потенциальную функцию в виде р/у) мы получим ту же работу, что и выше, когда мы мысленно перемещали данный контейнер в воздухе (в поле сил тяжести). Однако две эти работы [c.50]

Другими словами, мы ограничиваемся исследованием бифуркаций в факторсистеме упрощенной нормальной формы семейства уравнений в окрестности цикла. Истолкование результатов в терминах исходной системы требует дополнительной работы, так как даже топологически бифуркации в исходной системе и в упрощенной нормальной форме не всегда одинаковы (см. например, п. 3.5). Начнем с построения вспомогательных семейств векторных полей на плоскости, сдвиг вдоль которых приближает преобразование монодромни циклов в случае сильного резонанса. [c.56]

Ранний период исследования нелокальных бифуркаций векторных полей на плоскости и сфере подытожен в [9], [36]. Структурная устойчивость и бифуркации векторных полей на диумерных поверхностях, отличных от плоскости и сферы, исследованы сравнительно недавно [185], [199] — [201]. С гипотезой о глобальных бифуркациях в однопараметрических семействах векторных полей на сфере (п. 2.2, гл. 3) тесно связана работа [169]. [c.209]

Заметим, что здесь из-за возможности более удобно описать нелинейные процессы при больших деформациях среды используется принцип виртуальной мощности, а не работы. В теоретической механике аналогичный принцип носит название принципа Журдена. Виртуальное движение -системы S, движущейся в системе отсчета и занимающей конфигурацию St в некоторый фиксированный момент времени t, задается векторным полем 6vi на конфигурации St. Для континуальных сред обычно предполагается поле 6v кусочно-непрерывным на St [59]. Виртуальную мощность формально можно охарактеризовать как линейную непрерывную функцию или линейный функционал над полем виртуальных скоростей, который можно представить в виде ска- [c.86]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Здесь прежде всего следует отметить работу Брауэра, в которой вопрос о разбиении. сферы на области, заполненные траекториями со сходным поведением, рассматривается для весьма общего случая, именно, для случая непрерывного векторного поля на сфере, с конечным числом особых точек. (В силу того, что Брауэр предполагает по.т1е просто непрерывным, а не непрерывно-дифференцируемым, как в настоящей книге,— через неособые точки сферы может проходить более одной траектории.) Если классификацию областей, данную Брауэром, использовать в рассматриваемом нами случае непрерывно-дифференцируемого поля, то отдельные области Брауэра, вообще говоря, будут состоять из нескольких ячеек в смысле 17. В качестве примера можно привести область, представленную на рис. 341, образующую одну область Брауэра. Она состоит из двух ячеек. Вопрос о выделешш траекторий, определяющих топологическую структуру разбиения на траектории, Брауэром не ставился. [c.555]

Пусть дано векторное поле F i кривая Zконечной длины. Приблизим кривую I ломаной со звеньями ASj и обозначим через значение силы в какой-нибудь точке А г тогда работа поля F на пути I есть по определению (рис. 26) [c.30]

Формальный анализ в проблеме линеаризации восходит еще к Пуанкаре, который рассматривал векторные поля, а не отображения. Доказательство гладкой линеаризации в нере-зоиансном С°°-случае принадлежит Стернбергу [312]- [314], а обобщение для нелинейных нормальных форм — Чещ [64]. Теории нормальных форм посвящена столь обширная литература, что мы не пытаемся перечислить даже главные источники. Работа Белицкого [38] содержит краткий обзор гладкого случая. Важная работа [61], [62], посвященная аналитическому случаю, принадлежит Брюно. [c.728]

Следующее обобщение определителя Хилла также по существу имеется в работе Хилла [55]. Для заданного комплексного р, 1р 1, пусть Хр — пространство комплексных абсолютно непрерывных векторных полей вдоль 7 удовлетворяющих (3) и таких, что ( +х) = р (<). Определим на Хр р-ин-дексную форму [60] траектории 7 по формуле второй вариации (1). Отождествим X и Хр, сопоставляя векторному полю Х векторное поле из Хр, где [А—х-Чпр О<(хт//< 21г. [c.159]

Перенос понятия вращения векторного поля на бесконечномерные пространства был произведен Лере и Шаудером [14], которые исходили из основополагающих работ Биркгофа и Келлога [35]. Дальнейшие рассмотрения степени отображения получили существенное развитие у Роте [40] и в особенности в работах М. А. Красносельского [И], у которого мы находим многочисленные приложения. [c.73]

Итак, в новой системе переменных электромагнитное поле исчерпывающе описывается всего лишь двумя функциями—[х и 8 — удовлетворяющими неоднородным уравнениям д Аламбера. Этот результат совершенно естествен — так и должно быть для векторного поля без массы (т. е. для поля, у которого и в уравнения и в лагранжиан входят только производные, но не сама функция) согласно общей теории представлений группы Лоренца (см., например книги Гельфанда или Наймар-ка). При обычном описании, однако, для электромагнитного поля используются целых шесть функций — если работать с полями—или четыре функции — если работать с потенциалами. Дополнительное условие Лоренца уменьшает в последнем случае число потребных функций до трех, дальнейшая же редукция оказывается затруднительной для свободного поля три функции А х, Ау, А г связаны одним дифференциальным условием div А = == О, поэтому выделение независимых компонент легко совершается лишь для фурье-образов (ср. соответствующие рассуждения в 13а) для поля в присутствии источников не удается и это [c.288]

Доказательство формул (Dis 1). Достаточно (как и в [29]) применить формулу Пикара — Лефшеца и формулу вычетов Лере. Класс ht локально может быть представлен (при соглашениих, принятых в п. А. ИГ. 2.2) как векторное поле, трансверсальное к Sii и, следовательно, трансверсальное к границе клетки Иц, и легко видеть, что эта клетка представлиет собой сток или источник векторного поля, если е а . О Vi или, соответственно, 0 Vi(oHa не является ни стоком, ни источником, если не все ег имеют одинаковый знак). Для индекса пересечения (е I (применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям работы [29], гл. П, пример 7.4) получаем следующие значения [c.137]

Заключая этот раздел работы, следует отметить, что любое плоское векторное поле в трехмерном пространстве будет расслоенным. Поэтому поле напряжений, возникаюгцее нри плоской деформации тела, как частный случай входит в рассматриваемый класс расслоенных нолей напряжений. [c.45]

Как видно из формул (2.262)-(2.275), для расчета энергии рассеянных волн необходимо вычислить одночастичную и двухчастичную функции Грина. В Главе 2 построена диаграммная техника для вычисления одночастичной функции Грина в поротрещиноватой среде при любом статистическом распределении неоднородностей. Ниже будет развит диаграммный метод для определения двухчастичной функции Грина. Диаграммная техника для двухчастичной функции Грина построена в работе [49] для описания рассеяния волн в турбулентной атмосфере и впервые применена к теории морской реверберации в работах Т.А.Мороз [91, 92]. Однако в обоих случаях речь шла о скалярном поле и о рассеянии на гауссовом распределении флуктуаций плотности. В нашем случае речь идет о векторном поле и о рассеянии продольных и поперечных волн на произвольных флуктуациях тензора модулей упругости. [c.98]

Эта глава посвящена трем вопросам динамике материальной точки, основы которой изучались в курсе физики средней школы, применению элементов математического анализа к физике и применению начал векторного исчисления, изложенных в гл. 2. Мы составим и решим уравнения движения для некоторых простых случаев, имеющих отношение к теории лабораторных работ по физике. Эти уравнения I описывают движение заряженных частиц в Vi-(vi f однородных электрических и магнитных I полях, т. е. явления, нашедшие исключи-/ тельно широкое применение в экспериментах I тальной физике. Глава заканчивается по----- дробным анализом различных преобразований от одной системы отсчета к другой. [c.112]

Метрика векторного пространства. Другая проблема дискретного моделирования сплошного тела связана с записью условий равновесия. Они должны быть прямо связаны выбранной системой базисных функций число уравнений равновесия есть т. По-видимому, рациональный путь к получению этих уравнений состоит в использовании принципа возможных перемещений. Известно, что напряжения в теле удовлетворяют условиям равновесия при заданных внешних силах, если при любых вариациях возможных (разрешенных связями) перемещений в (нашем случае — полей перемещений Uf (х) dU ) работа напряжений на вызываемых этими перемещениями деформациях равна работе внешних сил. Отсюда, в частности, следует, что метрика пространства L, как и прежде (см. 30, 32), должна быть выбрана исходя из энергетических соображений. [c.163]

Хорошо известно из истории науки, что из простейших задач механики развились многие весьма содержательные математические дисциплины. Так, задача о форме кривой наибыстрейшего ската в однородном поле силы тяжести (задача о брахистохроне) привела к созданию вариационного исчисления, а затем и функционального анализа. Обобщения основных понятий механики (момента силы, работы силы, напряжения, деформации) составляют, в сущности, реальное основание векторного и тензорного анализа. Мы думаем, что конкретные задачи механики и физики обогащали математику идейным содержанием и оттачивали ее логические построения не меньше, чем абстрактные, предельно формализованные исследования в чисто внутренних областях математики. Абстрактные исследования содержательны и эвристичны при условии, что в их основе лежат (или предугаданы) некоторые количественные закономерности объективно существующих форм движения материи. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...