Комплексное пространство

Матрица общего линейного преобразования в двумерном комплексном пространстве имеет восемь величин, так как каждый из четырех ее элементов является комплексным. Однако наложенные нами требования уменьшают число независимых величин этой матрицы. Если условие унитарности [уравнение (4.50)] раскрыть, то оно запишется в виде следующих уравнений [c.128]

Отметим, что здесь имеет место существенное упрощение, которое вытекает из уже известного нам факта, что интегрирование по комплексному переменному сводится к интегрированию по соответствующему вещественному переменному. Это обстоятельство приводит к тому, что нет необходимости вводить какие-либо новые определения, связанные с мерой длины, площади и объемов в комплексном пространстве, и можно легко перейти от векторов к винтам, оставаясь в обычном трехмерном евклидовом пространстве. [c.79]

Движение механических систем происходит в трехмерном вещественном пространстве. Однако при описании механических колебаний иногда удобно использовать математические модели комплексных пространств. Ниже приведены некоторые свойства математических моделей трехмерного вещественного и комплекс-Рнс. I. Система отсчета с базисом °го Пространств, которые использованы в дру- [c.12]

При исследовании колебаний для описания динамических явлений часто удобно искусственно вводить комплексные векторы. В этом случае осуществляется переход к комплексному пространству. Примерами могут служить описания механических колебаний и нх преобразований, осуществляемых реальными датчиками. Применяя комплексное пространство при описании гармонических процессов, можно геометрически выражать временные сдвиги в рассматриваемых векторных процессах и реализовать известные преимущества аналитических расчетов с использованием комплексных показательных функций. [c.16]

В комплексном пространстве как скалярные произведения векторов, так и квадрат вектора могут принимать комплексные значения и, в частности, быть вещественными, мнимыми н нулем. Векторы, скалярный квадрат которых равен нулю, называют изотропными [13, 14]. [c.16]

Норму вектора в комплексном пространстве удобно задавать через второе скалярное произведение [c.16]

Некоторые свойства комплексного пространства. Ниже приведены наиболее Важные свойства комплексного пространства. [c.17]

С использованием первого скалярного произведения в комплексном пространстве можно задать те же метрические операции над векторами, что и в вещественном пространстве. [c.19]

Переход к комплексному пространству во временной области. Наиболее распространенным способом перехода от вещественного пространства к комплексному во временной области является построение вектора мнимой части комплексного вектора как преобразования Гильберта исходного вещественного вектора [20]. [c.19]

Переход к комплексному пространству в частотной области. В частотной области переход к комплексному пространству осуществляют, используя преобразования Лапласа и Фурье. [c.23]

В области комплексных частот (р = а + /со) переход к комплексному пространству осуществляют через преобразование Лапласа исходного временного вектора х (/) [c.24]

В области вещественных частот (р = /и) переход к комплексному пространству осуществляют путем получения вектора комплексного спектра X (/со) исходного [c.24]

Обозначим евклидово вещественное пространство размерности п символом R , а унитарное комплексное пространство — сим полом К . В качестве норм в векторных пространствах К и К можно взять одну из следующих величин [1, 2] [c.9]

Свойства обратного (по параметру х) преобразования Лапласа, связующего решение нестационарных н стационарных задач, определяются резольвентами задач дифракции. При реализации этой связи методами контурного интегрирования на комплексном многообразии [148, 150] естественно возникает вопрос об особенностях аналитического продолжения резольвенты задачи дифракции с действительной оси. Он рассматривается в рамках спектральной теории решеток, изучающей задачи дифракции при комплексных значениях частотного параметра х [25, 62, 66, 80, 151]. При этом в отличие от традиционных задач дифракции основное внимание уделяется не регулярным точкам х, где соответствующие операторы ограничено обратимы, а дополнительному к ним множеству — спектру, изучению характера особенностей и закономерностей их распределения в комплексном пространстве [152—187]. [c.10]

Легко видеть в силу свойств пространства У,, что и принадлежит комплексному пространству Loo(0, (Я (й))з). Поскольку, кроме того, вектор-функция u x,t) порождает нулевые объемные силы, то на основании формулы Гаусса—Остроградского [c.155]

Кроме того, ортогональность (8.4в) не существует, соответствующие интегралы расходятся. Ортогональность можно восстановить, вводя так называемое комплексное пространство , т. е. полагая на больших расстояниях в интегралах (8.4в) радиус комплексной переменной. [c.91]

Источники в комплексном пространстве. Поместим источник цилиндрической волны, т. е. функции Грина (11.86) свободного пространства [c.256]

Формально это геометрооптическое поле расходящейся цилиндрической волны, в котором, однако, источник помещен в комплексное пространство, а лучи имеют комплексную длину, так что и амплитуда и эйконал комплексны. В п. 21.10 мы уже рассматривали лучи, которые начинались и шли в комплексном пространстве, а вещественное пространство пересекали в области каустической тени. Здесь то же самое, однако вещественные прямолинейные лучи в отличие от окрестностей каустики совсем отсутствуют — весь гауссов пучок в каком-то смысле каустическая тень . Поля, имеющие такую лучевую структуру в комплексном пространстве, в обычном, вещественном пространстве дают неоднородные плоские волны. [c.257]

В этом случае S состоит из двух точек — обозначим их а и Ь, — так что L (S) становится двумерным комплексным пространством С . Аналог оператора А имеет вид [c.359]

Дадим необходимый для дальнейшего изложения краткий обзор теории абелевых функций (подробности можно найти, например, в [52, 125]). Рассмотрим т-мерное комплексное пространство С " с координатами г1,...,гт) = г. Напомним, что функция Г[г) называется мероморфной, если ее можно представить в виде отношения / г)/д г), где /,д — целые функции (представимые сходящимися степенными рядами во всем С "). Если д а) = О и /(а) ф О, то точка а е С " называется полюсом функции Г. Отметим, что при т > 1 полюсы (как и нули) не являются изолированными точками. Если /(а) = д а) = О и не существует предела Г ) при. 2 —> а, то точка г = а называется точкой неопределенности мероморфной функции Г. Точки неопределенности могут быть лишь при т > 2 (при т = 2 они изолированы). Вот простой пример у рациональной функции Р = х 1х2 начало координат — точка неопределенности. [c.112]

Вектор 8 и скаляр N определены соотношениями 8 = = ер стер 2, N = (р (р/2, где ер — двумерный спинор с компонентами а1, (12, а — матрицы Паули. В комплексном пространстве с координатами [c.373]

Здесь Wo принадлежит некоторой области евклидовой плоскости Е2 [Dl П i 2 Woo 0), wl S) — комплексному пространству С (кроме точки liJ = 0), значения А — плоскости Е2. Применим к уравнению (23) теорему о неявной операторной функции. [c.151]

Что такое сжатое состояние Для того, чтобы однозначно описать состояние классического механического гармонического осциллятора, нам нужны как амплитуда, так и фаза осциллятора. Точно так же нам нужны амплитуда и фаза для однозначного описания электромагнитного поля. В простейшем виде электромагнитное поле представляется вектором в комплексном пространстве, как показано на зис. 1.8. Заметим, что здесь изображён не полный вектор напряжённости электрического поля Е, а только одна его компонента. [c.23]

Для квантования поля нужна, конечно, некоторая функция распределения полевых векторов. Эта функция распределения обеспечивает весовой множитель для каждой точки комплексного пространства. Можно было бы подумать, что эта весовая функция даёт вероятность того или иного конкретного значения вектора электрического поля. К сожалению, квантовая механика не допускает такую вероятностную интерпретацию. Действительно, поскольку это комплексное пространство представляет собой фазовое пространство, образованное двумя [c.23]

Рис. 1.8. Представление электромагнитного поля в комплексном пространстве, то есть, в фазовом пространстве, образованном компонентами вектора (а). С учётом квантового описания поля конец вектора может лежать в любой точке области фазового пространства, имеющей минимальную площадь 2т Н. Эта область неопределённости может быть кругом (б), что приводит к симметричному распределению флуктуаций. Она также может быть эллипсом с несимметричным распределением флуктуаций в, г). В этом случае имеет место сжатие либо фазовых флуктуаций в), либо амплитудных (г), так что электромагнитное поле находится в сжатом состоянии

Асимптотика. Установим связь этого комплексного пространства с классическим фазовым пространством. Для этого мы специально показали в приложении А, что главные вклады в контурный интеграл в формуле (4.4) возникают от двух симметрично расположенных точек [c.126]

Это соотношение является условием ортогональности оно требует, чтобы длина вектора г = xi yj zk оставалась неизменной при переходе от xyz к x y z. Таким образом, мы видим, что каждой унитарной матрице Q в двумерном комплексном пространстве соответствует некоторое связанное с ней ортогональное преобразование в обычном действительном пространстве трех измерений. Рассмотрим это соответствие более подробно. Пусть В будет вещественной ортогональной матрицей, преобразующей X в х, и пусть Q, будет соответствующей унитарной матрицей. Тогда будем иметь [c.130]

КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА (КХД) — квантовая теория сильного взаимодействия цветных глюонных п кварковых полей. Построена на основе принципа локальной калибровочной инвариантности относительно преобразований в трёхцветном комплексном пространство внутренних симметрий. По совр. представлениям, КХД составляет основу описания сильного взаимодействия между адронами и ответственна аа силы, связывающие кварки в адроны. [c.311]

Базой является пространство ортонормированных А--реперов в п-мерном пространстве Штифеля. Аналогично можно рассмотреть Р. с базой комплексного пространства Штифеля 8и(п)/8и(п — /с). [c.284]

Всякому линейному оператору А вещественного пространства соответствует линейный оператор комплексного пространства, действие которого на вещественные базисные векторы е,- совпадает с действием исходного оператора на эти векторы, и действие которого на произвольные комплексные векторы х= У] Kjfih опре- [c.19]

Весовая функция в такой форме есть многомерное гауссово рас1федгление в комплексном пространстве g переменных, следовательно, а считается случайным фазсфом (случайным векторо м в комплексном простран тве) со средним а. Среднее есть когерентная часть k-й моды. [c.236]

Примером применения комплексных чисел для описания массы является представление нецентрального гравитационного поля в задаче о движении искусственного спутника [33]. Классическая задача двух центров в небесной механике (Эйлер, Н. Е. Жуковский [38]) в случае комплексных масс двух притягивающих центров принимает обобщённую трактовку. Отметим, что комплексные массы вводятся одновременно для двух точек и используется комплексное пространство в котором для вычисления расстояния принято эрмитово скалярное произведение. Ограничения на комплексные числа выводятся из требования, чтобы силовая функция [c.18]

Прежде всего приходится считаться с тем, что, кроме собственных функций, могут появиться присоединенные функции, и тогда без них уже нельзя обойтись. Аналогия из линейной алгебры пусть А—линейный оператор в /г-мерном комплексном пространстве С" и I — жорда-нова форма матрицы этого оператора. Если I — диагональная матрица, то в С" есть базис, составленный из собственных векторов оператора Л если же в / имеется хотя бы одна жорданова клетка размера больше 1, то в С" уже нет базиса из собственных векторов оператора А, но есть базис, составленный из собственных и присоединенных векторов этого оператора. [c.292]

В самой простой ситуации распределение векторов поля симметрично по двум переменным комплексного пространства относительно среднего поля. Однако, для различных приложений в интерферомет-зии важно с высокой точностью измерять фазу поля. В этом случае амплитуда нам не столь интересна. Поэтому выгодно несимметричным образом перераспределить квантовые флуктуации. Так как мы должны сохранить плош,адь в фазовом пространстве, или, скорее, объём под распределением, уменьшение флуктуаций одной переменной ведёт к возрастанию флуктуаций другой переменной. Это явление имеет определённую аналогию с выдавливанием зубной пасты из тюбика. Поэтому-то выражение сжатие флуктуаций стало популярным. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...