Представления группы Лоренца

Вы говорите мне, что при анализе представлений группы Лоренца необходима осторожность я обещаю вам, что буду осторожен. [c.15]

Естественное развитие идей этого параграфа привело бы к введению понятия алгебры фон Неймана ЗЬ 0) открытого множества О. Эта алгебра есть -алгебра ограниченных операторов. Наиболее естественно эти операторы получаются с помощью спектрального разложения эрмитовых элементов. причем берется алгебра, порождаемая их спектральными проекциями. Мы не будем здесь вдаваться в объяснение такого построения. Заметим только, что есть веские основания для убеждения, что изучение алгебр М 0) — стоящее дело. Существуют соображения, в силу которых две теории поля, относящиеся к одному и тому же представлению группы Лоренца, приводят к одной и той же -матрице в том и только в том случае, если их алгебры 5 (0) изоморфны ). Этот факт придает интерес теоремам данного раздела. [c.199]

Докажите, что при изменении системы отсчета эта матрица преобразуется по правилу ж = и х11, где II 6 8Ь(2,С). Таким образом, мы получаем для каждого собственного преобразования Лоренца (преобразований из связной компоненты единицы) элемент и е 8Ь(2, С), и, тем самым, двумерное представление группы Лоренца ф н-)- иф, где ф = ( ) — двухкомпонентный спинор Вейля. [c.19]

Справедливость данной теоремы также очевидна с физической точки зрения. В самом деле, теорема выражает, например, то обстоятельство, что если Н — одночастичный гамильтониан, то 2 (Я) — свободный гамильтониан для системы, описываемой в пространстве Фока. Другое следствие из теоремы Кука если Ж > — пространство (неприводимого) унитарного представления группы Лоренца, то теорема позволяет указать явный вид законов релятивистских преобразований операторов рождения и уничтожения. [c.26]

Обычно предполагается, что в пространстве, рассматриваемом в теории, действует унитарное представление группы Лоренца (и, в частности, эволюция во времени) и существует вакуум То удовлетворяющий условиям [c.39]

Прямое произведение неприводимых представлений группы Лоренца [c.249]

Для рассмотрения этого вопроса мы опять воспользуемся установленным соответствием представлений группы Лоренца с представлениями группы 0+(4). Условимся неприводимые представления группы О (4), соответствующие неприводимым представлениям группы Лоренца, обозначать через ) [c.249]

Покажем, что матрицы D K) образуют представление группы Лоренца. Действительно, при последовательном применении двух преобразований Лоренца мы получим [c.252]

Несколько расширяя наше рассмотрение, мы можем сформулировать задачу следующим образом. Пусть задано некоторое неприводимое представление группы Лоренца Если вместо каждой матрицы [c.255]

Для того чтобы определить коэффициенты ац., заметим, что 1) тождественное представление группы Лоренца содержится только в прямом произведении одинаковых представлений, 2) квадратичная форма должна быть также инвариантной относительно группы вращений, 3) Oit = o-ki (условие эрмитовости). Учитывая первые два условия, мы можем написать [c.258]

Рассмотрим инфинитезимальные матрицы неприводимого представления группы Лоренца, соответствующие группе трех- [c.269]

В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, которые определяют преобразования волновых функций. [c.863]

Включение инверсий означает переход от собств. группы Лоренца 50(3, 1) к группе Лоренца О (3, 1). Поэтому простейшее спинорное представление 0(3, 1) четырёх- [c.645]

Будем считать, что группа Лоренца действует лишь на пространственно-временные координаты (которые мы трактуем как переменные, связанные с отсчетной конфигурацией) и не действует на физические поля (координатное представление которых осуществляется в эйлеровой системе координат). Поэтому можно заключить, что = 0. [c.673]

Уравнения баланса дефектов в данной модели строятся из интуитивных геометрических соображений, как правило, без учета временной зависимости [24, 25]. В настоящее время используются представления калибровочных полей [26—28], что позволяет изучать процессы, обусловленные взаимосвязью механических изменений внутри структурного элемента с соседними элементами и внешними объектами [27, 28]. Обычно внутренняя (локальная, описывающая структурный элемент) и внешняя (глобальная) симметрии представляются группой Лоренца. В ряде работ, например [29], рассмотрены идеи нарушенной симметрии, в которых поведение дислокаций описано аналогично теории сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау с некоторым параметром порядка. Следует отметить, что введение группы Лоренца как для внешних, так и для внутренних переменных не убедительно, поскольку в неоднородной среде отсутствует единственная скорость передачи сигнала — скорость звука. Теория, содержащая малый параметр, представляет собой скорее описание фазового перехода типа плавление , чем поведение механической среды, в которой заведомо отсутствуют какие-либо параметры порядка. [c.43]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Вводимое таким путём операторное поле оказывается совершенно аналогичным квантованному эл.-магн. нолю, отличаясь от него лингь выбором представления группы Лоренца и, возможно, способом квантования. Подобно эл.-магн. полю, одно такое иоле соответствует всей совокупности тождественных частиц данного сорта, наир, одно операторное Дирака поле описывает все электроны (и позитроны ) Вселенно1Г. [c.300]

Из Паули теоремы следует теперь, что для п(ь лей целого спина, полевые функции к-рых осуществляют однозначное представление группы Лоренца, при квантовании по Бозе — Эйнштейну коммутаторы [и (z), м( /)] или [м(л ), ( (у)] пропорц. ф-ции D x—y) и исчезают вне светового конуса, в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого сниыа то же достигается для антикоммутаторов [и(х), и у)] (или [i (a ), (у)] + ) при кваа- товании по Ферми — Дираку. Выражаемая ф-лами (6) или (7) связь между удовлетворяющими линейным ур-ниям лоренц-ковариантными ф-циями поля и или v, v и операторами л, ai рождения и уничтожения свободных частиц в стационарных квантовомеханич. состояниях есть точное магем. описание корпускулярно-волнового дуализма. [c.302]

Квантовая механика ставит в соотвегствие каждой частице поле её волновой ф-цин, дающее распределение различных, относящихся к частице физ, величин. Концепция поля является основной для описания свойств элементарных частиц в их взаимодействий. Конечная цель в этом случае — нахождение свойств частиц из ур-ний поля и перестановочных соотношений, определяющих квантовые свойства материи. Возможный вид ур-ний поля ограничен принципами симметрии и инвариантности, являющимися обобщением эксперим. данных. Лоренц-ковариантность, напр., требует, чтобы волновые ф-ции частиц преобразовались по неприводимым представлениям группы Лоренца. Таких представлений бесконечно иного, однако только часть пз них реализована в природе и соответствует тем или иным элементарным частицам. Реально используются наиб, простые ур-вин полей, являющиеся локальными и не-ревормвруемыми. Попытки построения теорий, не удовлетворяющих этим требованиям,— нелинейной, нелокальной и т. п. теорий поля — влекут за собой пересмотр ряда важнейших принципов, существенных при физ. интерпретации теории (принцип суперпозиции, положительность нормы волновой ф-цив н т. Д.). [c.56]

С. ф. полей, нреобразующнхс) по др. представлениям группы Лоренца, получаются из О. ф. скалярного поля действием соответствующих операторов дифференцироваиия. [c.534]

Доказательство теоремы РСТ для теории полей фа, ФЭ,. .., преобразующихся согласно общим неприводимым представлениям группы Лоренца, проводится аналогичным образом. Функция W не является более инвариантом, а вместо этого подчиняется следующему закону преобразования относительно SL (2, С) SL (2, С) [c.203]

Четырехкомпонентность релятивистской квантовой частицы связана с тем, что не суш ествует 2-мерных представлений группы Лоренца. Правда, суш ествуют 2-мерные представления группы собственных преобразований группы Лоренца. [c.160]

Итак, в новой системе переменных электромагнитное поле исчерпывающе описывается всего лишь двумя функциями—[х и 8 — удовлетворяющими неоднородным уравнениям д Аламбера. Этот результат совершенно естествен — так и должно быть для векторного поля без массы (т. е. для поля, у которого и в уравнения и в лагранжиан входят только производные, но не сама функция) согласно общей теории представлений группы Лоренца (см., например книги Гельфанда или Наймар-ка). При обычном описании, однако, для электромагнитного поля используются целых шесть функций — если работать с полями—или четыре функции — если работать с потенциалами. Дополнительное условие Лоренца уменьшает в последнем случае число потребных функций до трех, дальнейшая же редукция оказывается затруднительной для свободного поля три функции А х, Ау, А г связаны одним дифференциальным условием div А = == О, поэтому выделение независимых компонент легко совершается лишь для фурье-образов (ср. соответствующие рассуждения в 13а) для поля в присутствии источников не удается и это [c.288]

Покажем, что задачу о нахождении конечномерных неприводимых представлений группы Лоренца можно привести к аналогичной задаче для группы 0+(4). Действительно, если нам будут известны инфинитезимальные матрицы неприводимых представлений гругшы 0 (4), то соответствующие инфинитезимальные матрицы для группы Лоренца либо будут совпадать с ними (для пространственных вращений), либо будут отличаться множителем г (для преобразований, связываюггщх временную и пространственные координаты). [c.247]

Для инфиииггезимальных матриц неприводимых представлений группы Лоренца введем обозначения, аналогичные (22.31). Тогда мьг получаем окончательно следующие вьфажения [c.248]

Ясно, что в силу установленного соответствия между неприводимыми представлениями хруппы Лоренца и группы 0 (4) мы получим аналогичное разложение для прямого произведения двух неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца. [c.250]

Как легко убедиться, эта форма не является положительно определенной, что находится в согласии с тем, что рассматриваемые представления группы Лоренца неунитарны. В частности, если положить а = 1, то мы получим инвариант [c.258]

Как и в случае группы Лоренца, представления П. г. строят с помощью односвязЕой группы. Уд — универсальной накрывающей для группы (см. Группа). Для квантовой теории поля важны унитарные неприводимые представления У (см. Представление группы). Согласно требованию релятивистской инвариантности, векторам состояния отвечают т, н. проективные представления, задаваемые с точностью до фазового множителя. Имеет место теорема Вигнера — Баргмана, утверждающая, что любое проективное представление группы У порождается обычным однозначным унитарным представлением группы Уд. [c.173]

Смотреть страницы где упоминается термин Представления группы Лоренца : [c.913] [c.916] [c.300] [c.301] [c.608] [c.499] [c.32] [c.146] [c.27] [c.418] [c.194] [c.249] [c.251] [c.253] [c.645] [c.200] [c.131] [c.493] [c.422] [c.274] [c.232] [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...