Потенциальное векторное поле

Вообще, если для векторного поля существует скалярная функция ф, обладающая свойством определять работу вектора простым выражением типа (2.16), то такое поле называют потенциальным. Потенциальные векторные поля находят весьма широкое применение при решении различных проблем физики и техники. Потенциальными являются векторное поле скорости в жидкой среде (при определенных условиях), векторное поле электростатических сил и поле центростремительных сил однако магнитное поле скалярным потенциалом не обладает. Понятие потенциала в механике известно давно, например, понятие потенциала скоростей было введено Эйлером. [c.28]

Потенциальная энергия 376 Потенциальное векторное поле 233 Потенцирование 78 Потери в механизмах 448 Поток векторного поля 232 Пояс шаровой — Поверхность сферическая — Центр тяжести 371 Правило Гульдена (Гюльдена) 111 [c.582]

СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ — скалярная ф-ция, описывающая безвихревые (потенциальные) векторные поля. В общем случае п-мерного пространства это 4 ция п переменных (координат). В трёхмерном пространстве безвихревыми (потенциальными) являются векторные поля в(г), удовлетворяющие условию у X а(г) = 0 они могут быть представлены в виде а(г) = — yij i ). Величина ф(г), определяемая полем л(г) с точностью до произвольной постоянной, ваз. С. п. векторного поля а(г). [c.536]

О-ft не удовлетворяет условию потенциальности векторного поля (I.I46). Поэтому движение является не потенциальным, а вихревым. Компоненты вектора вихря найдем по формуле (III.17) (Пд. = а>у = О, = —и/2. Вектор вихря [c.110]

При стационарном движении вектор й X F образует [см. (13)] потенциальное векторное поле с потенциалом В. При этом, как было доказано в 4, через каждую точку пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной линии поля вектора Й X F, проходящей через эту точку. Эти ортогональные поверхности будут поверхностями уровня трехчлена Бернулли. Касательные плоскости к этим поверхностям содержат векторы й и F. Поверхности уровня можно получить, взяв (рис. 29) какую-нибудь линию тока и проведя через все ее точки вихревые линии эти вихревые линии образуют вихревую поверхность — поверхность уровня, проходящую через данную линию тока. Можно поступить и иначе взяв некоторую вихревую линию, через все ее точки провести линии тока тогда эти линии тока образуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию. [c.93]

При стационарном движении вектор, равный произведению Q X V, образует потенциальное векторное поле, так как по (13) [c.146]

Используя потенциальность векторного поля /о У, получим [c.88]

При стационарном движении вектор й X V образует [см. (13)] потенциальное векторное поле с потенциалом В. При этом, как было доказано в 8, через каждую точку пространства можно провести поверх- [c.117]

Рассмотрим теперь статистически однородное и изотропное потенциальное векторное поле. Примером такого поля, рассмотрением которого мы и ограничимся, является градиент скалярного статистически однородного и изотропного поля. Пусть [c.62]

Корреляционный тензор потенциального векторного поля удовлетворяет уравнению [c.64]

Векторное поле А, удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию (Иу А = О, называется соленой-дальним (полем без источников). При выполнении условия го1 А = О поле А является потенциальным векторным полем. Если такое поле характеризует силу, действующую на материальную точку, то работа внешних сил при обходе замкнутого контура будет равна нулю. [c.7]

Каустики потенциальных систем невзаимодействующих частиц. Рассмотрим потенциальное векторное поле ь д)=д8/дд в евклидовом пространстве. Невзаимодействующие частицы с таким полем скоростей через время t перейдут из в q- -tv q). Возникшее таким образом отображение пространства в себя лагранжево (этот вывод сохраняется и в более общем случае движения в потенциальном поле, так как гамильтонов фазовый поток переводит исходное лагранжево многообразие p=дS/дq в лагранжево). [c.104]

ДЛЯ потенциального векторного поля и = 3. [c.53]

Теперь получена возможность представить основные соотношения, характеризующие потенциальное силовое поле, в форме векторных уравнений. [c.377]

Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от некоторого скаляра. Этот скаляр на- [c.35]

Известно, что векторное поле потенциально, если выполняется условие [c.167]

Составив частные производные правых частей (IV. 1.5) по у и по X соответственно, убеждаемся, что в нашем случае условие (IV. 1.6) выполняется и векторное поле ускорения потенциально. Определение потенциала консервативного поля [c.167]

Функция ф, определенная указанным образом, обладает свойством потенциальной функции и называется потенциалом скоростей. Соответственно безвихревое движение называют также потенциальным. Введение понятия потенциала скорости дает возможность заменить векторное поле скоростей скалярным полем ф, что значительно упрощает исследование. [c.67]

Оперировать векторным полем значительно сложнее, чем скалярным. Поэтому векторное поле (например, поле сил) при его изучении заменяют особым скалярным полем. При этом такое скалярное поле представляют линиями равного значения особой функции U, называемой потенциальной [c.39]

Рис. 2-7. Векторное поле (а) скоростей и скалярное поле (б) потенциальной функции ф поля скоростей

Подчеркнем, что не каждое векторное поле может быть представлено (описано) потенциальной функцией. Имеются такие векторные поля, которые не имеют потенциала. Изучение таких полей в значительной мере затрудняется. При рассмотрении векторных полей, имеющих потенциальную функцию, сталкиваемся с особой математической задачей об отыскании этой функции (см. с. 80). [c.41]

Можно показать, что u /(2g) является потенциальной функцией векторного поля конвективных ускорений частиц жидкости. [c.101]

Решение задачи о напорной резко изменяющейся фильтрации на основе методов математической гидромеханики было впервые разработано (в 1920 — 1922 гг.) Н. Н. Павловским, показавшим, что область фильтрации в основании сооружения следует рассматривать как векторное поле скоростей фильтрации, имеющих некоторую потенциальную функцию [c.581]

Решение такой задачи можно сконструировать, опираясь на решение задачи об определении векторного поля по источникам и вихрям в неограниченном пространстве, после продолжения функций е и ю, заданных в области 3), во все пространство. Для удовлетворения граничных условий на 2 потребуется найти в 33 добавочное безвихревое потенциальное поле скоростей, для которого [c.278]

Таким образом силовое поле, о котором идет речь в рубр. 26—29 текста, является консервативным, если представляющее его геометрически векторное поле градиентное. Сила поля в этом случае есть градиент потенциальной функции. [c.383]

Поле излучения создаётся А. благодаря возбуждённым в ней перем. токам. Это могут быть токи проводимости или поляризации, текущие по разл. элементам А., или условные токи, вводимые в качестве эквивалентов сторонних (т. е. поддерживаемых к.-л. внешним источником) полей Е и (пли) Н. Любое векторное поле состоит из вихревых и потенциальных [c.92]

Известно, что векторное поле А потенциально, если rot Л = 0. Следовательно, движение является потенциальным, если [c.54]

Основная теорема векторного анализа. Напомним, что векторное поле А (х , х , х ) называется потенциальным, если оно является градиентом некоторой скалярной функции ф (х , х ), [c.63]

Потенциальное векторное поле а есть поле градиентов некоторой скалярной функции, т. е. существует функция и = = и(х,у, z) такая, что d = grad и или [c.233]

Потенциальное векторное поле а есть поле градиентов некоторой скалярной-функции, т. е. существует функция и = = и(х, у, г) такая, что а = grad и или du du ди [c.233]

Легко показать, что такое векторное поле может быть определено с помощью гармонических скалярных функций (П3.16), (П3.17). Иначе одновременно сопеноидальное и потенциальное векторное поле является гармоническим. Действительно, для обращения в тождество условия (П3.25) удобно ввести некоторую скалярную функцию v /, называемую функцией тока, такую что [c.293]

Потенциальное векторное поле y = gгad ф для случая, когда течение является плоским, имеет составляющие [c.281]

Потенциальным векторным полем а называется поле, ротор которого всюду равен О, т. е. для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно выполнение равенства roia = 0. Функция и = и(х, у, г) называется 1югепцг,алом поля, при этом а- grad и или [c.68]

Этой теореме можно придать другой, более общий, вид, не связывая ее с разложением сил [40]. Действительно, назовем для краткости поле векторов R (д), удовлетворяющее условию ортогональности (6.15), циркуляционным. Тогда будет справедлива следую-1цая теорема произвольное непрерывное вместе со своими прои.ч-водвыми первого порядка векторное поле Q (д) всегда можно разложить на потенциальное и циркуляционное поля [c.156]

Отсюда ясно, что скалярная величина z является потенциальной функцией векторного поля уклонов i. Хорошо известно, что в практике рельеф местности всегда представляют именно эквипотенциалами z = onst, причем из рассмотрения этих линий (горизонталей) легко можно установить значение и направление вектора i в любой точке земной поверхности. [c.41]

Данный вопрос можно разъяснить еще и следующим образом. Возьмем кубический метр жидкости, заключенный в практически невесомый прочный (например, стальной) контейнер, имеющий кубическую форму. Далее представим себе, что этот контейнер (заполненный тяжелой жидкостью) перемещается в воздухе (т. е. только в поле сил тяжести). Очевидно, работа, выполненная этим контейнером, определится разностью наименований соответствующих линий равного потенциала только поля сил тяжести ( начальной и конечной эквипотенциалей). После этого удалим из нашего контейнера жидкость и тем самым сделаем его невесомым. Этот пустой невесомый контейнер будем мысленно перемещать не в воздухе, а в окружающей жидкости, т. е. только в векторном поле градиентов Jp давления. Очевидно, за счет давления жидкости на стенки пустого контейнера сверху и снизу (т. е. за счет архимедовой силы, имеющей свою потенциальную функцию в виде р/у) мы получим ту же работу, что и выше, когда мы мысленно перемещали данный контейнер в воздухе (в поле сил тяжести). Однако две эти работы [c.50]

Область, занятую движущейся жидкостью, можно себе предсгавить как векторное поле скоростей (см. рис. 2-7, а). Рассмотрим частный случай движения жидкости, когда это векторное поле является потенциальным, т. е. таким, которое может быть описано некоторой функцией ф (х, у, z), обладающей следующим свойством (см. конец 2-4) [c.80]

Векторное поле является потенциальным, если существует такая функция координат (потенциал поля) 9 (х,у,г), что а = grad 9 или [c.192]

Постоянная Эйлера С 135 Постоянные величины—Таблицы 6 Потенциалы векторные 234 Потенциальная энергия 367 Потенцирование 78 Потери в механизмах 429 Поток векторного поля 232 Правила Гюльдена 111 Правило Жуковского-Гркя 399 Предел функции 134 —— числовой последов тел15ности 131 Предельная теорема 328 Предельные погрешности 65 Пределы—Теоремы 135 [c.559]

LMT 4 единицей Н. э. п. в СИ является вольт на метр (1 СГСЭ = 3-10 В/м). Распределение Н. э. п. в пространстве обычно характеризуют с помощью семейства линий Е (силовых линий электрич. поля), касательные к к-рым в каждой точке совпадают с направлениями вектора Е. Как и любое векторное поле, поле Е разбивается на две составляющие потенциальную ((v nl = о, Бп — УФ ) и вихревую (уБв = 0, Е-а = (v-4 "l). В частности, электрич. поле, создаваемое системой неподвижных зарядов, является чисто потенциальным. Электрич. поле излучения, в т. ч. поле Е в поперечных эл.-магн. волнах, является чисто вихревым. Вместе с вектором магн. индукции В Н. э. п. составляет единый 4-тензор электромагнитного поля. Поэтому чисто электрич. поле данной системы зарядов существует лишь в избранной системе отсчёта, где заряды неподвижны. В др. инерциальных системах отсчёта, перемещающихся относительно избранной с пост, скоростью V. возникает ещё и магнитное поле В = = [vEyY 1—v l , обусловленное появлением конвекц. токов j = pvlY 1—(р — плотность заряда в избранной системе). [c.246]

Если векторное поле У соленоидально, т. е. уУ = О, то для этого поля можно ввести векторный потенциал А, такой, что У = [у 1, при этом А определён с точностью до градиента произвольной ф-цин (градиентная инвариантность). В общем случае любое векторное поле представляется суммой потенциального и соле-ноидального полей. [c.89]

Если rot а г о, то векторное поле а наз. безвихревым или потенциальным. В этом случае существует скалярное поле ф (потенциал поля а), такое, что а —grad ф, его можно выразить через объёмный интеграл ф = JdPdiv в/4лг, где г — расстояние от элемента объёма dV до точки, в к-рой разыскивается значение поля ф. м. б. менешй. [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...