Прямой метод при решении физических задач

Прямой метод при решении физических задач [c.141]

Применительно к инженерно-физическим проблемам изложен, новый метод исследований, основанный на использовании математического аппарата сопряженных уравнений и теории возмущений. Рассмотрено применение метода при решении задач теплообмена и гидродинамики, анализе прочности элементов конструкции ядер-ных реакторов, исследовании электротехнических характеристик систем прямого преобразования энергии, а также при идентификации нестационарных процессов для целей технической диагностики ядер-ных энергетических установок. Обсуждаются преимущества метода и даются рекомендации по его использованию. [c.2]

Рассмотренный в предыдущих параграфах широкий круг проблем, связанных с выявлением предельных возможностей оптических информационных систем, передачей солитонов на сверхдальние расстояния и т. д., предъявляет особые требования к точности математических методов описания соответствующих процессов. Традиционные прямые методы решения уравнений шредингеровского типа (сеточные и спектральные [50]) позволяют достоверно вычислять волновые поля на расстояниях, не превышающих нескольких дисперсионных длин. Сеточная дисперсия или искусственная периодизация решения приводит к появлению артефактов. Наибольшие трудности возникают при решении стохастических задач самовоздействия в дальнем поле Применительно к импульсам пикосекундного диапазона длительностей это соответствует сравнительно большим физическим расстояниям Lд l км (то 6 ПС, =1,5 мкм), но по мере перехода в фемтосекундный диапазон область достоверного моделирования быстро сокращается, так, при То=100 фс дисперсионная длина см. [c.220]

При прямом применении уравнений Гамильтона математические трудности решения задач механики обычно существенно не уменьшаются, так как при этом нам приходится иметь дело с такими же дифференциальными уравнениями, как и в методе Лагранжа. Преимущества метода Гамильтона заключаются не в его математической ценности, а в том, что он более глубоко проникает в структуру механики, так как равноправность координат и импульсов как независимых переменных предоставляет большую свободу для выбора величин, которые мы принимаем за координаты и импульсы . В результате мы приходим к новым, более абстрактным формам изложения физической сущности механики. Хотя полученные таким путем методы могут оказать некоторую помощь при решении задач механики, однако с современной точки зрения их главная ценность состоит в том, что они играют существенную роль в построении новых теорий. В частности, именно эти абстрактные концепции классической механики были исходными пунктами в построении статистической механики и квантовой теории. Изложению такого рода концепций, получающихся из уравнений Гамильтона, и посвящаются эта и следующая главы. [c.263]

Различие между физическими и математическими формулировками техники граничных элементов можно пояснить, напомнив, что в любой краевой задаче некоторые граничные параметры заданы как условия на границе, тогда как прочие отыскиваются при решении задачи в целом. В физическом подходе, как подчеркнуто выше, вначале отыскиваются сингулярности, которые удовлетворяют заданным граничным условиям, и только затем через эти сингулярные решения вычисляются остальные граничные параметры. Поскольку неизвестные граничные параметры не определяются непосредственно, эта процедура носит название непрямого метода граничных элементов. В математическом подходе промежуточный этап исключается благодаря использованию некоторых фундаментальных интегральных теорем, что ведет к системе алгебраических уравнений, непосредственно связывающей неизвестные граничные параметры с параметрами, заданными на каждом элементе контура. Соответственно эта процедура называется прямым методом граничных элементов. [c.14]

Различия в вариантах МГЭ проявляются прежде всего в приемах вывода соответствующих граничных интегральных уравнений и отчасти в способах обработки результатов их решения. Техника же разбиения границ, аппроксимаций, подсчета коэффициентов, решения уравнений, коль скоро они получены, расчетов для внутренних точек остается одной и той же. Поэтому структура и многие элементы программ, реализующих любой вариант, одинаковы и развитие вычислительной стороны осуществляется для метода граничных элементов в целом. Это отчетливо показано в данной книге, и авторы настойчиво добиваются, чтобы читатель ощутил единый модульный характер вычислительных программ и значительную общность модулей. Сравнивая достоинства вариантов, можно все же отметить, что прямой метод, включая и вариант разрывных смещений в прямой его трактовке, очень привлекателен для механиков и инженеров своей главной чертой — тем, что в нем неизвестные функции являются физически осязаемыми величинами. Это немаловажное достоинство становится особенно ценным в случаях, когда достаточно знать лишь значения усилий и смещений на границе, когда необходимо учесть дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, а также в контактных задачах, подобных рассмотренным в 8.2, 8.4, при произвольных условиях, связывающих усилия с взаимными смещениями в соприкасающихся точках границ. С другой стороны, в непрямых вариантах несколько сокращаются вычисления на заключительном этапе — при нахождении напряжений, деформаций и смещений во внутренних точках области по найденному решению ГИУ. [c.274]

Если комплексные функции напряжений известны, то действительная и мнимая части соотношений (6.3) дают реальные физические величины, т. е. напряжения и перемещения. Для определения комплексных функций напряжений привлекаются общие теоремы теории аналитических функций, причем важным вспомогательным средством при расчетах являются так называемые интегралы типа Коши. Решения получаются частично элементарным способом, частично сводятся к сложным интегральным уравнениям. Для многих задач способ комплексных функций напряжений может рассматриваться как прямой метод решения. [c.121]

В этом параграфе обсуждены результаты только экспериментальных исследований по временным флуктуациям интенсивности лазерных пучков при атмосферных осадках. В настоящее время опубликованы и результаты многих теоретических исследований, которые в ряде случаев уже вышли за рамки поисков эффективных методов расчета и содержат как конкретные примеры расчетов флуктуационных характеристик, так и анализ некоторых физических закономерностей (см., например, [1]). Задачи строгой интерпретации экспериментальных данных и перспективы решения обратных задач в атмосферных осадках стимулируют прямое сопоставление результатов экспериментальных и теоретических исследований, которые к настоящему времени достигли заслуживающего внимания уровня. Поэтому есть основания надеяться на значительный прогресс в этом направлении в ближайшее время. [c.239]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Изучение закономерностей взаимодействия электромагнитных волн оптического диапазона с атмосферой как поглош.ающей, рассеивающей и случайно-неоднородной средой достигло сегодня такого уровня, при котором стало возможным получение надежных количественных данных о поглощении и рассеянии солнечного и любого другого оптического излучения для данной реальной физической модели атмосферы с высоким пространственно-временным разрешением и с учетом атмосферной турбулентности, Другими словами, в настоящее время достигнут существенный прогресс в решении прямых задач проблемы распространения электромагнитных волн оптического диапазона в атмосфере. Одновременно значительно продвинуто и решение соответствующих обратных задач, являющихся основой современных достаточно развитых дистанционных методов оптического зондирования атмосферы (как пассивных, так и активных). [c.5]

Преодоление указанных трудностей оказалось возможным в рамках такого подхода к решению задачи получения количественных данных в оптико-физических измерениях, при котором ряд необходимых математических операций осуществлялся над волновым фронтом непосредственно в процессе исследования. Ряд разделов книги посвящен анализу томографических систем с преобразованием волнового фронта, позволяющих производить прямые измерения распределений показателей преломления либо ослабления в сечении объекта, что представляется нам важным и актуальным, так как позволит сократить время обработки и расширить область применения томографических методов. Но этим не ограничивается круг задач, связанных с оптической томографией. [c.4]

Проблема оценки реального состояния изоляции и локализации мест их повреждения имеет решающее значение при определении остаточного ресурса трубопроводов и решении задачи обеспечения их надежной эксплуатации. Существует несколько широко распространенных методов исследования состояния изоляции, которые базируются на изучении распределения потенциалов в системе труба-грунт, исследовании затухания электрических колебаний вдоль трассы трубопроводов и др. В любом случае для решения вопроса дальнейшей эксплуатации и ремонта участка трубопровода кроме локализации мест повреждения изоляции необходимо определить ее переходное сопротивление. Этот вопрос можно решить разными методами прямым измерением на действующем трубопроводе потенциалов выносным электродом или измерением электрических затуханий наложенного переменного напряжения. Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки, поэтому в условиях осложненного доступа к трассе трубопровода рациональным является использование этих методов в соединении с разработкой физических и математических моделей трубопроводов, которые подвержены коррозионному влиянию. [c.271]

На границе Е С) имеют место условия, следующие из условия непротекания. Одно из них ф = О ф — функция тока), другое, выражающее равенство кривизн контура профиля и прилегающей линии тока (всюду, кроме критических точек), после использования уравнений движения (что предполагает непрерывность соответствующих частных производных в замкнутой области определения, кроме критических точек) дает связь между фи фу и кривизной контура крыла (см. гл. 1, 16). В прямой задаче оба эти условия заданы на заранее неизвестной, свободной границе. В задаче профилирования, когда задана граница Е С), условие ЩдР с) используется при решении краевой задачи, а второе — для построения контура крыла по найденному решению. Задача профилирования сводится при этом к задаче Дирихле в многолистной ограниченной области (однолистной после указанного выше отображения), если присоединить асимптотические условия (4), (14) в точке уо = уо о. Однако искомое решение задачи профилирования должно еще удовлетворять двум (при а ф 0) дополнительным условиям, имеющим характер условий разрешимости, вытекающих из требований физической реализуемости решения, построенного методом годографа О. (Напомним, что задание сингулярных членов асимптотики (4), (14) обеспечивает замкнутость прообраза (в физической плоскости) любого замкнутого контура в плоскости годографа, охватывающего точку и] = г оо, в том числе и контура профиля, если он при этом получается ограниченным.) [c.159]

Уравнения (3.22) используются для вывода граничных интегральных уравнений задачи. Следует обратить внимание на тр, что при решении контактных задач наиболее пришлемой является прямая формулировка метода граничных интегральных уравнений. Это связано с тем, что при таком подходе используются физические величины— перемещения и усилия на границе. Если же исйользовать непрямую формулировку, то соответствующие плотности потенциалов не имеют такого прямого физического смысла [29, 42, 205, 439 и др.]. [c.71]

Кроме методов этих двух групп разработаны и применяются-множество других методов измерения тепловых потоков, базирующихся на разнообоазных физических явлениях и эффектах. Это, например, методы, основанные на фотоэлектрических и радиометрических эффектах, оптический способ, где конвективный тепловой поток определяется по углу отклонения луча, пропорциональному градиенту температуры в ламинарном подслое, а также методы, основанные на решении обратной задачи теплопроводности. Последние используются в современной теплоэнергетике пока что меньше, чем энтальпийные методы и методы, основанные на решении прямой задачи теплопроводности. Исключение составляют методы, основанные на решении обратной задачи теплопроводности, совершенствование которых при наличии быстродействующих вычислительных машин с большой памятью создало им хорошую основу для практического использования. [c.272]

Отметим, что в этом случае получается комплексная и недиагональная матрица, хотя часто оказывается, что влияние недиагональных членов мало по сравнению с диагональными. Дальнейшая процедура также требует укорочения рядов, но теперь наиболее эффективным методом решения будет использование вычислительных машин для решения системы комплексных матричных уравнений. Здесь это не будет делаться, поскольку наша цель — лишь проиллюстрировать, что можно и чего нельзя сделать прежде, чем приступать к подробному решению этой конкретной задачи. Следует отметить важное обстоятельство несмотря на появление указанного сингулярного выражения в точке х = 1, порядок уравнений задачи не увеличился, в то время как в прямом методе это было не так. Легкость, с которой это решение было получено, указывает на тот факт, что не математический подход создает трудности при учете недиагональных членов в разрешающей матрице (хотя иногда это, конечно, может случиться), а, скорее, отсутствие достаточно полных сведений о механизме демпфирования и о точках его приложения. Что же касается обратного перехода от замера форм колебаний к оценке физической модели механизма демпфирования (что полностью противоположно процессу, описанному ранее), то он исключительно труден в лучшем случае и невозможен — в худшем. Однако для многих эластомеров, полимеров и стекловидных материалов, рассматриваемых в данной книге, разумное количественное математическое описание не только возможно, но и стало весьма совершенным, так что его можно использовать для оценки влияния технологических обработок (для демпфирования) или демпфирующих механизмов (при использовании указанных материалов) на поведение конструкции, шумоизоляцию или акустическое излучение. То же самое можно сказать и о некоторых нелинейных демпфирующих системах типа металлов с высокими демпфирующими свойствами или типа демпферов с сухим трением, хотя при этом существенно возрастают математические трудности, обусловленные учетом нелинейности. [c.29]

В принципе эти методы могут быть применены к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений [44—49]. В задачах, сводящихся к эллиптическим дифференциальным уравнениям, решения получаются сразу, в то время как для параболических и гиперболических систем уравнений должны быть введены процессы продвижения во времени. Таким образом, охватывается очень широкий класс физических задач при помощи прямых или непрямых формулировок МГЭ могут быть решены, например, задачи об установившемся и неустановившемся потенциальных течениях, задачи статической и динамической теории упругости, упругопластичности, акустики и т. д. [8—49]. МГЭ может также быть использован в сочетании с другими численными методами [44], такими, как методы конечных элементов или конечных разностей, т. е. в смешанных формулировках. Соответствующие комбинированные решения почти неограниченно расширяют область применения методов, ибо МГЭ обладает четко выраженными преимуществами для областей больших размеров, в то время как методы конечных элементов являются удобным средством включения в такие системы объектов конечного размера или уточнения поведения решения в зонах быстрого изменения свойств. Более подробное сравнение особенностей этих методов будет дано в следующем параграфе. [c.16]

В прямом варианте МГЭ используются точно те же фундаментальные решения исходных дифференциальных уравнений, что и в прямом методе. И используются они совершенно аналогично, только само решение выписывается непосредственно в физических переменных задачи (фиктивные распределения потенциалов, сил и т. п. здесь не вводятся). Приятным обстоятельством при этом является то, что неизвестные граничные значения прямым МГЭ получаются непосредственно в процессе решения, однако построение решения во внутренних точках становится бэлее трудоемким, чем при использовании непрямого метода. [c.40]

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если со не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений со, совпадающих с соответствующими резонансными волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов. [c.299]

Далее, пропорциональность полной энергии, термодинамического потенциала и т. д. полному объему системы делает возможным введение соответствующих удельных величин, асимптотически не зависящих от объема. Обычно именно последние и представляют наибольший интерес, и расчет их составляет одну из важных задач теории. Математически это сводится к вычислению отношения опять-таки двух неограниченно возрастающих величин. При попытке прямого решения задачи это может привести к известным осложнениям. Соответственно возникает еще одно требование, предъявляемое к любой методике решения статистической задачи многих тел метод должен обеспечивать четкое разделение экстенсивных и интенсивных величин. Подчеркнем, что это — далеко не тривиальная задача. Хорошо известно, например, что при попытке непосредственного вычисления энергии основного состояния с помощью стандартной квантовомеханической теории возмущений могут появиться члены, содержащие не физические высшие степени объема. Хотя заранее очевидно, что в сумме такие члены должны взаимно скомпенсироваться, доказать это оказалось далеко не просто. [c.12]

Приближенное решение некоторых проблем ирригации и дренирования. Некоторые проблемы гравитационного течения, рассматривающие вопросы ирригации и дренирования, требуют для своего решения непосредственного приложения приближенного метода анализа. Такие проблемы рассматривались Гарднером, Коллие и Фарром, и в настоящей работе мы будем в основном следовать их методу 1. Следует отметить, что их анализ базируется на Таких прямых физических упрощениях, что становится возможным избежать точного рещения уравнения Лапласа, которое потребовалось бы при строгом рассмотрении задач. В частности, ими не учитывается свободная поверхность, которая представлена во всея рассматриваемых системах, и связанные с нею нарушения геометрических ограничений первоначальных течений. Однако [c.292]

Эксперименты на песчаных моделях с трехразмерными гравитационными течениями. Теперь становится ясным, что в свете рассмотрения, проведенного в гл. VI, п. 17, уравнения (5) и (9) гл. VI, п. 17, базирующиеся на теории Дюпюи-Форхгеймера, дающие форму свободной поверхности и величину расхода при гравитационном радиальном течении, едва ли могут считаться в какой-либо степени справедливыми без прямого эмпирического или точного аналитического подтверждения. Однако эти уравнения были поставлены под сомнение только в 1927 г., когда Козени опубликовал свою первую попытку решить проблему течения прямыми методами потенциальной теории . Так, начав с уравнения Лапласа [(2), гл. VI, п. 1], он сделал попытку синтезировать решение, удовлетворяющее граничным условиям гравитационного течения с помощью элементарных решений того типа, который был применен нами для исследования проблемы несовершенных скважин [уравнение (7), гл. V, п. 3]. К сожалению, точные граничные условия не были приложены им к решению этой задачи. Так, расход через систему был принят соответствующим линии тока, входящей в колодец на уровне жидкости в последнем. Однако в колодце, как уже было отмечено, будет иметь место определенный разрыв непрерывности, так что свободная поверхность системы будет входить в колодец над уровнем жидкости в последнем, давая толчок к образованию поверхности фильтрации. Тогда решение будет состоять только из постоянных членов и ряда функций Ганкеля, и радиальные скорости на значительных расстояниях от колодца станут экспоненциально исчезающе малыми. Однако с физической стороны ясно, что в точках, удаленных от поверхности колодца, радиальные скорости должны асимптотически приближаться к соответствующим значениям в строго двухразмерном радиальном течении. Поэтому потенциальная функция в таких точках асимптотически приближается к логарифмическому изменению или содержит, очевидно, логарифмический член, как это имеет место, например, в уравнении (5), гл. VII, п. 20 (vide infra). Наконец, потенциальная функция Козени не обладает характеристикой, требуемой каждым точным решением проблемы гравитационного течения, а именно, чтобы наивысшая линия тока была линией тока свободной поверхности с потенциалом, пропорцио- [c.302]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...