Упрощения полученных уравнений и систем

Упрощения полученных уравнений и систем [c.147]

Создание упрощенных методов расчета очень важно, но к этой задаче следует подходить более строго. Упрощенный метод должен быть проверен на основании численного решения и экспериментального исследования. На практике это не всегда имеет место. В работе американского ученого [79] указана точность метода 5%, а при проверке оказалось, что могут быть случаи, когда ошибка достигает 300%. В работе [53] эмпирические зависимости, полученные на основании одного эксперимента с двумя цилиндрами, вводятся в расчетные уравнения и метод предлагается без каких-либо ограничений. Нам представляется наиболее правильным путь введения критериев подобия в безразмерной форме, проведения численных решений на ЭВМ, выявления влияния различных параметров и создание затем упрощенных методов расчета. Таким путем созданы упрощенные методы расчета посредством графиков для типовых пневматических систем [21, 22, 34]. На основании этих методов расчета в ряде организаций (ЗИЛ, ЭНИКМАШ и др.) были разработаны руководящие материалы для расчета пневмопривода [43, 63]. Однако эту задачу необходимо решить также и для более сложных устройств и различных режимов и условий работы, а также для типовых устройств, но с учетом уточняющих факторов, которые ранее не принимались во внимание силы трения, утечки воздуха и т. д. В настоящее время начата разработка таких проблем. [c.170]

Полученные структуры систем являются типовыми, что можно показать, проведя обобщенное исследование уравнения (14-30). Для этой цели строится номограмма упрощенного выражения = 0 и = которая представляет собой (фиг. 14-21) треугольник из пересекающихся изолиний я х [c.184]

Разностные методы. В предыдущих разделах этого параграфа рассмотрены методы решения уравнений ламинарного пограничного слоя, использующие допущения (подобие, наперед заданный вид профиля скорости и энтальпии, разложение скорости вне пограничного слоя в ряд по I с коэффициентами, не зависящими от и т. д.), которые облегчали задачу, сводя нелинейную систему в частных производных к одному или нескольким нелинейным обыкновенным уравнениям. Но даже при таких упрощениях приходится прибегать к числовому решению полученных уравнений. Поэтому интересно рассмотреть методы решения непосредственно уравнений в частных производных без использования предположений о подобии и т. д. [c.100]

Интересные результаты общего характера в теории гиперзвуковых течений газа, нашедшие применение при исследовании течений в соплах и струях, были получены М. Д. Ладыженским (1960, 1962), который вывел упрощенную систему уравнений установившегося изоэнергетического-гиперзвукового течения, пренебрегая местным значением величины 1/М по сравнению с единицей. Из этих уравнений, как частный случай при малом изменении направления скорости в поле течения, следуют уравнения теории гиперзвукового обтекания тонких тел, В общем случае Ладыженский рассмотрел задачу Коши для полученной им системы уравнений и показал, что при соблюдении некоторых условий область определения решения по начальным данным, заданным на конечном отрезке, становится бесконечной. При этом асимптотически течение стремится к течению от плоского или осесимметричного источника, но с переменной (в общем случае) интенсивностью от луча к лучу. [c.204]

Для нахождения скоростей перемещения ш, V воспользуемся вторым и третьим уравнениями системы (25) с учетом полученных уравнений (27) — (29) для напряжений ае, Ог, тег. После ряда преобразований можно получить систему из двух дифференциальных уравнений Лапласа, решение которых с некоторыми упрощениями можно выполнить подбором сопряжен-ных гармонических функций. Данные функции должны удовлетворять уравнениям равновесия и граничным условиям в перемещениях. Так, на трубной части штампуемого изделия при г > 2/ производную осевого перемещения дw дz и скорость радиальной деформации р можно принять постоянными, а производные окружного перемещения дv /дQ и дь 1дг и производную м/50 — равными нулю. Тогда можно [c.82]

Чтобы получить аналитическое выражение для коэффициента теплоотдачи, необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений, описывающих движение жидкости и перенос теплоты в ней. Даже при существенных упрощениях это возможно лишь в отдельных случаях при ламинарном течении жидкости, поэтому обычно для получения расчетных зависимостей прибегают к экспериментальному изучению явления. [c.81]

Расчетные формулы, полученные аналитически для ламинарного пограничного слоя при свободной конвекции, не всегда точно совпадают с экспериментальными данными. Например, при малых значениях чисел Грасгофа (Gr < 10 ) результаты, полученные по формулам, не совпадают с экспериментальными данными, так как в этом случае толщина пограничного слоя слишком велика по отношению к размерам тела, и уравнения пограничного слоя оказываются непригодными для описания реальной физической обстановки. В этом случае необходимо решать полную систему дифференциальных уравнений Навье—Стокса, неразрывности и энергии без каких-либо упрощений. Эта задача весьма трудоемка. [c.180]

В рассмотренных выше простейших примерах легко составить и точно решить полные нелинейные уравнения при произвольных значениях перемещений системы. Проведенный анализ дает исчерпывающую информацию о всех возможных устойчивых и неустойчивых положениях равновесия. Но подавляющее большинство практически важных задач значительно сложнее приведенных и получение таких полных точных решений для них не представляется возможным. Это заставляет искать приближенные, упрощенные пути исследования поведения сложных упругих систем под действием приложенных к ним нагрузок. [c.21]

Новая техника выдвинула трудную задачу построения теории теплообмена в сверхзвуковых потоках с учетом химических и фазовых превращений вещества. В ряде работ из этой области приводятся расчетные соотношения, полученные на основе упрощений и грубых приближений. Большинство исследователей при решении нестационарных задач по теплообмену использует замкнутую систему уравнений аэродинамики и уравнений кинетики химических превращений вещества. Однако не всегда эта замкнутая система уравнений является корректной. Например, часто приравнивают конвективный перенос вещества к скорости химической реакции, менаду тем как первое понятие относится к классу потоков и, следовательно, связано, с поверхностями одинакового потенциала -переноса, а второе характеризует изменение в объеме и по существу всегда скалярная величина. [c.16]

В силу сложности паротурбинного блока как динамической системы выполнить аналитическое решение уравнений нестационарного режима с разрывно-нелинейными коэффициентами без сильных упрощений практически невозможно. Однако функциональные зависимости технологических параметров (энтальпии, расхода и др.) от параметров, конструкции и режима, полученные даже для весьма. идеализированных физических моделей оборудования, имеют большую ценность и во многом качественно раскрывают основные закономерности нестационарных процессов. Принятие принципиальных решений в области конструирования надежных, хорошо управляемых и маневренных парогенераторов, как правило, -возможно на основании упрощенных моделей. При наличии ясности в принятии принципиальных решений следующим этапом является разработка конкретных систем управления паротурбинными блоками, для чего требуется более точная и подробная информация. Получение ее в настоящее время облегчается наличием электронной вычислительной техники. [c.313]

Полученная система динамических—(22) и (30) — и энергетического (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду, крайне сложна, кроме того, число входящих в систему уравнений на Много меньше числа неизвестных, так что система является незамкнутой, неопределенной. Для доопределения системы и возможного ее упрощения приходится делить ряд дополнительных допущений, приводящих к более или менее отвлеченным схемам движения жидкости [c.103]

Для получения укороченных нелинейных дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, следуя методу усреднения, сначала рассмотрим линеаризованную упрощенную систему, заменим переменные и перейдем от рассмотрения исследуемого процесса колебаний к исследованию колебаний около положения равновесия. После этого произведем усреднение нелинейности системы, заменяя реальный колебательный цикл окружностью. [c.214]

Второе издание настоящей книги существенно переработано и дополнено результатами новых исследований и критическим обзором существующих представлений по изучаемой проблеме. Оно включает исследования помпажа как в упрощенной постановке — в предположении, что компрессор представляет собой систему с сосредоточенными постоянными (описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями), так и в общем виде, когда компрессор с сетью является распределенной системой (описываемой дифференциальными уравнениями в частных производных). Показано, что как характер помпажа, так и вообще возможность его появления связаны в основном с формой характеристики компрессора. Б связи с этим задача изучения и устранения помпажа содержит две проблемы. Первая — как предсказывать по характеристикам компрессора и сети, а также геометрическим данным всей системы возможность или невозможность помпажа, выяснить влияние формы характеристики на особенности помпажных колебаний. Вторая проблема заключается в получении ответа на вопрос о том, почему характерис- [c.3]

Процедура упрощения исходных сложных систем уравнений сама по себе, разумеется, далеко не нова. Она уже давно с успехом применяется в физике и особенно в химии. Ее часто называют редукцией. В теории дифференциальных уравнений основой Этого метода служат работы Л. С. Понтрягина [10] и А. Н. Тихонова [И], посвященные исследованию систем уравнений, содержащих малые параметры при производных. Широко используется в практических расчетах известная теорема Тихонова (см., например, [12]), Метод редукции используется и в статистической физике при получении кинетических уравнений [5, 7—9]. Эти работы фактически содержат обоснование принципа подчинения — одного из важнейших инструментов теории самоорганизации. [c.9]

При исследовании устойчивости стохастических систем используется, в частности, метод функций Ляпунова. В этом случае важную роль играет введенный ранее оператор L, имеющий смысл полной производной по времени в силу динамических уравнений. Условия устойчивости по вероятности в смысле указанного выше определения сводятся к существованию положительно определенной функции V такой, что Z, F < 0. Ввиду известных трудностей применения этого метода, связанных с нахождением функции V, часто пользуются упрощениями в постановке задач. При этом можно рассматривать малые случайные возмущения, для которых малы вероятности больших флуктуаций. Условия устойчивости для задач такого рода являются более простыми и (при ограниченности первых двух моментов воздействий) сводятся к ограничению снизу спектра матрицы невозмущенной системы некоторой простой функцией этих моментов. Можно также рассматривать устойчивость по линейному приближению. Хотя полученные в та- [c.348]

Конечно, есть и в этом методе свои трудности, которые состоят прежде всего в том, что необходимо заранее задаваться аппроксимирующими функциями (ф, 11 , /). В качестве первого приближения эти функции можно выбирать в виде линейных соотношений. В поисках более точного решения задачи требуются другие формы задания функций ф, т) , 1, определяемые из условия равновесия на поверхности или внутри объема тела. Например, для получения уточненных решений могут быть использованы степенные или тригонометрические функции, как это было показано на примере расчета траверсы гидравлического пресса и др. Отметим также, что при выборе указанных функций нужно стремиться к тому, чтобы не получалась сложная система дифференциальных уравнений. Так, например, при расчете станины станка 7540 система уравнений (9Я) оказалась весьма простой благодаря элементарному определению функций ф, т] , I. При другом выборе этих функций можно получить более точные результаты, решив сложную систему дифференциальных уравнений. Из анализа табл. 1 основных типов корпусных деталей машин видно, что большинство из них представляет собой коробчатые пустотелые конструкции с различными перегородками, выступами, окнами, а также рамные или стержневые системы. Все они могут быть успешно рассчитаны при помощи уравнений (23) с некоторыми обобщениями, упрощениями и схематизацией. [c.126]

Полученную упрощенную систему уравнений будем называть моделью гиперболического вязкого ударного слоя. Упрощение связано с гиперболическим приближением продольного градиента давления, описываемого аналогом формулы (2.8), в уравнении продольного импульса. При а = 1 эта модель описывает сверхзвуковые области течения так же, как и модель полного вязкого ударного слоя, и максимально [c.37]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями теории оболочек привела В. В. Новожилова (1946) к установлению уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии разработки соответствующей теории были определены несущественные члены в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделало систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе-нова, В. В. Новожилов, 1951 В. С. Чернина, 1955), Это замечание относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны в других случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемещений,— в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных (1962, 1964), где излон ены все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие. [c.242]

При использовании ручных расчетных методов решение систем нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка, каковыми являются математические модели реальных схем, практически невозможно, если не прибегать к многочисленным упрощениям ММС. Наиболее известные приемы упрощений—раздельный анализ схем на постоянном и переменном токе, раздельный анализ процессов в схеме на разных стадиях переходного процесса или в разных частотных диапазонах, причем анализу переходных процессов или частотных характеристик должна предшествовать линеаризация ММС. Обычно этих приемов недостаточно, поэтому приходится пренебрегать частью реактивностей, сводя их количество, остающееся в эквивалентной схеме, до одной-двух. Тогда ММС становится системой не более двух линейных уравнений и может быть решена в общем виде. Это решение в итоге даст приближенные явные зависимости выходных параметров от внутренних и внешних параметров. Невысокая точность ручных расчетных методов очевидна. Кроме того, сколько-нибудь обоснованное упрощение эквивалентных схем обычно возможно только для простых схем, причем приемы упрощений будут специфичными для каждой конкретной схемы или, в лучшем случае, группы схем. Следовательно, ручные расчетные методы не являются универсальными. Однако на первоначальных стадиях проектирования еще не требуется высокой точности расчетов. Поэтому ручные расчетные методы с необходимостью используются в процессе проектирования для получения некоторых вариантов схем, исходных для дальнейшей отработки экспериментальными методами (см. рис. 2, блоки 1 б, 2 б, 1 в). Знание этих методов и приемов полезно и при решении неалгоритмизированной задачи синтеза. [c.31]

В дальнейшем пользуемся упрощенной моделью, в которой предполагается, что взаимодействие тела с преградой происходит в течение всего времени пребывания тела в области л >0. Ясно, что это время больше значения t из предыдущей задачи, и для моментов времени t>f получаем физически абсурдную картину стенка удерживает тело т, когда оно двил<ется от стенки в отрицательном направлении. Таким образом, вторая модель не претендует на физическое обоснование теории удара. Однако (какпоказано ниже) в результате некоторого предельного перехода она также приводит к модели удара с трением, изложенной во введении, а простота получающихся при этом формул позволяет развить эффективный метод решения ряда задач устойчивости движения в системах с неудерживающими связями (см. гл. 3). Идея метода состоит в следующем односторонние связи заменяются средой Кельвина — Фойгта, и в решениях полученных уравнений движения совершается предельный переход, при котором коэффициенты упругости и диссипации некоторым согласованным образом устремляются к бесконечности. В пределе получается движение системы с неупругим ударом, причем характеристики среды Кельвина —Фойгта определяются по заданному с самого начала коэффициенту восстановления. Такой подход позволяет при решении задач о движении систем с ударами использовать обычные дифференциальные уравнения динамики с дополнительными силами определенного вида. Основным результатом здесь являются теоремы [c.41]

Полученная таким образом упрощенная система уравнений движения также обладает дв я квадратичными интегралами движения. Следует, однако, подчеркнуть, что если существование интеграла энергии является общим свойством всех гидродинамических систем, то наличие других инвариантов связано с их индивидуальными особенностями, которые уже не носят столь универсального характера и могут иметь различный физический смысл. В только что рассмотренном примере существование второго квад-ратнчного7 интеграла движения (2) оказывается прямым следствием двумерностн течения жидкости, тогда как трехмерное течение идеальной жидкости, вообще говоря, сопровождается лишь сохранением энергии. [c.40]

Современный, основанный на методе конечных элементов подход является перспективным при исследовании динамических характеристик сложных конструкций, в которых могут возникать колебания различных форм. Многоцелевые пакеты программ NASTRAN, ANSYS и MAR [4.12] давно используются многими исследователями для решения задач о колебаниях конструкций. Обычно метод конечных элементов используется для определения резонансных частот и нормальных форм колебаний. Многие из этих пакетов программ позволяют учитывать в той или иной форме демпфирование. Однако если метод конечных элементов используется для получения количественных оценок влияния вязкоупругих материалов, имеющихся в рассматриваемой конструкции, то следует быть очень внимательным, чтобы не попасть в ловушку. Опасность здесь таят как необозримо большое время расчета на ЭВМ и высокие требования при работе с комплексными числами, характеризующими жесткости, так и чрезмерное упрощение задачи при попытке получить решаемую систему уравнений, поскольку эти уравнения будут неправильно моделировать реальную задачу. [c.187]

Для лопатки выбирают треугольные элементы, причем если предположить линейность изменения толщины этих элементов D = hjiih + /1л2 а + лз1з1 то соотношения для матрицы жесткости могут быть получены из уравнений для секторного элемента диска при подстановке вместо элементарной длины г dQ толщины лопаточного элемента и других упрощений. Нагрузки из-за вращения учитываются так же, как и при осесимметричном нагружении. Далее составляют общую матрицу жесткости системы и решают систему линейных уравнений одним из методов, описанных в гл. 5. На рис. 6.17, а показано рабочее колесо (крыльчатка) открытого типа с радиальными лопатками, расчет которого выполнен методом, изложенным выше [122]. На рис. 6.17, б, в даны радиальные напряжения на задней и передней (со стороны лопаток) поверхностях диска, а на рис. 6.18, а и б окружные напряжения. Напряжения в лопатке показаны на рис. 6.19, а и б для входной кромки и корневых сечений соответственно. Штрих-пунктирной линией обозначены напряжения, полученные в осесимметричной задаче, без учета дискретности лопаток. Сплошная линия на рис. 6.17 относится к напряжениям в диске напротив лопаток, штриховая — к напряжениям между лопатками. Проведенные сравнения с результатами исследований напряжений на фотоупругой модели крыльчатки свидетельствуют о достаточной близости результатов МКЗ и эксперимента, что объясняется малым количеством лопаток в этой крыльчатке и необходимостью учета в связи с этим дискретности нагрузки, действующей на диск. При большем числе лопаток результаты осесимметричного анализа и приведенного выше метода близки. [c.200]

Ж симметричной системе уравнений), равно как и неучет изменений проницаемости блоков в коэффициенте интенсивности перетока (между системами блоков и трещин), позволяет получить относительно простую систему уравнений нелинейно-упругого режима в трещижовато-пористых средах при экспоненциальных законах изменения проницаемости и пористости < давлением (Э. А. Авакян, А. Т. Горбунов и В. Н. Николаевский). Если пренебречь в системе уравнений фильтрационным Потоком по системе блоков и емкостью трещин (о границах применимости подобной упрощенной системы см. в п. 4.3), то получаемые уравнения дапускают весьма эффективную линеаризацию, при которой сохраняются неизменными члены, определяющие стационарные решения и интенсивность перетока жидкости, а постоянным принимается коэффициент перед производными по времени. Оказывается, что при этом учет нелинейно-упругих коэффициентов сводится к замене в решениях, полученных по линейной теории, давлений в блоках и трещинах на некоторые функции от этих величин. [c.635]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...