Дифференциальное уравнение Навье—Стокса

В вязкой жидкости имеет место прилипание частиц жидкости к стенкам, ограничивающим течение, поэтому при интегрировании дифференциальных уравнений Навье — Стокса нужно использовать в качестве граничного условия равенство нулю скорости течения у стенки (W = 0). [c.69]

В классической гидродинамике уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости записывается в форме дифференциального уравнения Навье — Стокса, которое получается на основе второго закона Ньютона. [c.262]

Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье —Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г. он представил доклад на эту тему Международному конгрессу математиков, собравшемуся в Гейдельберге. [c.103]

Расчетные формулы, полученные аналитически для ламинарного пограничного слоя при свободной конвекции, не всегда точно совпадают с экспериментальными данными. Например, при малых значениях чисел Грасгофа (Gr < 10 ) результаты, полученные по формулам, не совпадают с экспериментальными данными, так как в этом случае толщина пограничного слоя слишком велика по отношению к размерам тела, и уравнения пограничного слоя оказываются непригодными для описания реальной физической обстановки. В этом случае необходимо решать полную систему дифференциальных уравнений Навье—Стокса, неразрывности и энергии без каких-либо упрощений. Эта задача весьма трудоемка. [c.180]

Уравнения динамики вязкой жидкости (35.2) известны под названием дифференциальных уравнений Навье — Стокса. [c.117]

Интегрирование дифференциальных уравнений Навье — Стокса в силу их нелинейности связано с большими математическими трудностями. В настоящее время известно лишь небольшое количество случаев, для которых найдено точное решение этих уравнений одно из таких решений рассматривается далее (в 40). В большинстве же случаев уравнения Навье — Стокса упрощают применительно к условиям задачи, опуская в этих уравнениях те или иные слагаемые, влиянием которых по сравнению с другими можно пренебречь. [c.118]

Уравнение движения. В классической гидродинамике уравне-нме движения вязкой несжимаемой жидкости записывается в форме дифференциального уравнения Навье—Стокса, которое выводится на основе второго закона Ньютона. В проекции на ось Ох 8 0 уравнение имеет вид [c.155]

Как известно, в теоретической гидромеханике течение вязкой жидкости описывается системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса, которая для несжимаемой жидкости имеет вид [c.121]

В общем случае движение жидкости в проточной части РЦН описывается дифференциальными уравнениями Навье - Стокса [39], которые в случае гармонических колебаний несжимаемой вязкой среды приобретают вид (для ламинарного режима) [57] [c.11]

Динамика вязкой жидкости описывается известными дифференциальными уравнениями Навье — Стокса. Запишем уравнения для вязкой несжимаемой жидкости [c.23]

С математической точки зрения теорию пограничного слоя следует рассматривать как теорию асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений Навье — Стокса при очень больших числах Рейнольдса. Основная особенность этого предельного перехода заключается в том, что решение уравнений пограничного слоя в общем может быть сведено к так называемой задаче продолжений , т. е. поток с [c.10]

Однако на сегодня один вопрос остается открытым не доказана строго правомерность предельного перехода от дифференциальных уравнений Навье — Стокса к уравнениям пограничного слоя. Это же, конечно, относится и к образованию пограничного слоя при больших числах Рейнольдса на поверхности тела, обтекаемого свободным потоком. Однако в некоторых даже более сложных случаях образования пограничного слоя может и не наступить. [c.10]

Учтем в дифференциальных уравнениях Навье — Стокса дополнительные члены, обусловленные турбулентным пульсационным движением [c.183]

Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье—Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г. [c.118]

Следовательно, дифференциальные уравнения Навье — Стокса можно записать, разделив переменные, в виде [c.184]

Присоединяя правые части уравнений (7) к правым частям уравнений Эйлера (13), выведенным в 4 гл. II, мы получим так называемые дифференциальные уравнения Навье - Стокса для вязкой жидкости. Для несжимаемых потоков эти уравнения принимают вид [c.147]

Общее решение нелинейных дифференциальных уравнений Навье — Стокса пока не найдено. Но в ряде случаев получены частные решения. Для получения решения должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальными условиями обычно задается распределение скоростей в области движения в некоторый момент времени. Граничными условиями задаются значения скорости или давления на границах потока. Граничные условия зависят от характера- границ. На твердой границе используется условие прилипания частиц жидкости к твердому телу. Поэтому [c.96]

Установленные в настоящем параграфе законы подобия, как и определяемые ими критерии подобия, могут быть получены иным образом — путем соответствующего анализа дифференциальных уравнений Навье — Стокса (3.35). [c.264]

Дополнительно к критериям Рг и Ке, полученным ранее из подобных преобразований уравнений Навье-Стокса, в зависимости (70), фигурируют еще два критерия Уе и Са. Они не были получены из указанных преобразований, потому что в дифференциальные уравнения Навье-Стокса не входят силы поверхностного натяжения и, кроме того, эти уравнения в виде формулы (29) справедливы только для несжимаемой жидкости. [c.63]

Для ламинарной струи, вытекающей из узкой щели, в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности (см. 52), проведенного при допущениях, которые обычно вводятся в теории пограничного слоя, и при условии постоянства количества движения ту в каждом поперечном сечении струи, получены следующие данные. Выяснено, что с удалением от сопла на расстояние/г ширина струи вследствие вовлечения в движение частиц окружающей среды возрастает пропорционально V а максимальная скорость на оси убывает по мере удаления от выходного [c.72]

Закончив на этом описание основных физических явлений, возникающих при течениях с очень малой вязкостью, и изложив тем самым в самых кратких чертах теорию пограничного слоя, мы перейдем в следующих главах к построению рациональной теории этих явлений на основе уравнений движения вязкой жидкости. В настоящей части книги (в главе III) мы составим общие уравнения движения Навье — Стокса, а во второй части сначала выведем из уравнений Навье — Стокса путем упрощений, вытекающих из предположения о малой величине вязкости, уравнения Прандтля для пограничного слоя, а затем перейдем к интегрированию этих уравнений для ламинарного пограничного слоя. Далее, в третьей части книги, мы рассмотрим проблему возникновения турбулентности (переход от ламинарного течения к турбулентному) с точки зрений теории устойчивости ламинарного течения. Наконец, в четвертой части книги мы изложим теорию пограничного слоя для вполне развившегося турбулентного течения. Теорию ламинарного пограничного слоя можно построить чисто дедуктивным путем, исходя из дифференциальных уравнений Навье — Стокса для движения вязкой жидкости. Для теории турбулентного пограничного слоя такое дедуктивное построение до сегодняшнего дня невозможно, так как механизм турбулентного течения вследствие его большой сложности недоступен чисто теоретическому исследованию. В связи с этим при изучении турбулентных течений приходится в широкой мере опираться на экспериментальные результаты, и поэтому теория турбулентного пограничного слоя является, вообще говоря, полуэмпирической. [c.53]

Сравнив этот пример со случаем дифференциальных уравнений Навье — Стокса, мы увидим, что полное дифференциальное уравнение (4.13) соответствует дифференциальным уравнениям Навье — Стокса вязкой жидкости, а упрощенное дифференциальное уравнение (4.14) — дифференциальным уравнениям Эйлера идеальной жидкости. Начальное условие (4.18) отвечает условию прилипания вязкой жидкости, котор.ому могут удовлетворить только решения уравнений Навье — Стокса, но не решения уравнений Эйлера. Медленно изменяющееся решение соответствует решению без учета трения [c.85]

Перейдем к рассмотрению второго предельного случая, случая очень малой вязкости или, в более общем виде, случая очень большого числа Рейнольдса. Знаменательный успех в исследовании движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 1904 г. Л. Прандтлем [ ], показавшим, каким образом проявляет себя вязкость при больших числах Рейнольдса и каким путем можно упростить дифференциальные уравнения Навье — Стокса для того, чтобы получить их приближенные решения в предельном случае очень малой вязкости. [c.124]

ВО всем пространстве. Сравнивая уравнение (7.18) для функции тока с аналогичным уравнением, полученным из системы (4.10) полных дифференциальных уравнений Навье — Стокса, мы видим, что в результате упрощений, сделанных при выводе уравнений пограничного слоя, порядок дифференциального уравнения для функции тока понизился с четвертого до третьего. [c.131]

Что касается отрыва течения от тела , то он остается и при предельном переходе Ре - оо, т. е. при переходе к жидкости, лишенной трения. Следовательно, для тел такой формы, которая приводит к отрыву течения, теория пограничного слоя даже в предельном случае Ре оо дает совершенно иную картину течения, чем теория потенциального течения жидкости без трения. Сказанное еще раз подтверждает то, на что мы обратили особое внимание в 5 главы IV, а именно предельный переход к жидкости, лишенной трения, следует производить не в дифференциальных уравнениях Навье — Стокса, а в решениях этих уравнений, так как иначе могут получаться результаты, лишенные физического смысла. [c.144]

Отбрасывание в уравнении Орра — Зоммерфельда членов, зависящих от вязкости, представляет собой операцию, чреватую очень серьезными последствиями. В самом деле, понижая порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго, мы, возможно, теряем важные свойства общего дифференциального уравнения возмущающего движения. К этому случаю применимы все соображения, высказанные в главе IV по поводу перехода от дифференциальных уравнений Навье — Стокса для вязкой жидкости к уравнениям Эйлера для жидкости без трения. [c.428]

В] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НАВЬЕ — СТОКСА 25 [c.25]

Выполним аналогичный расчет для турбулентного трения в потоке. Усредняя по времени дифференциальные уравнения Навье — Стокса, получаем дополнительные члены, которые характеризуют дополнительные напряжения, вызванные турбулентным переносом количества движения поперек потока. В частности, турбулентное напряжение трения имеет следующий вид [c.279]

Критерии подобия разделяются на а) критерии гидродинамического подобия, получаемые на основании анализа дифференциального уравнения Навье—Стокса б) критерии теплового подобия получаемые на основании анализа уравнения энергии. [c.104]

На основании первой теоремы подобия получим индикаторы подобия, и определяющие критерии гидродинамического подобия. Для этого запишем дифференциальные уравнения Навье — Стокса (4.35) одномерного течения для натурного (индексы 1) и подобного ему модельного (индексы 2) течений. Полагая, что массовые силы это силы тяжести, т. е. что Xl = X2=g, получим [c.104]

При решении внешней задачи основной акцент делается на определение силового взаимодействия потока и тела. Определение силы, действующей со стороны набегающего потока, или силы сопротивления движению тела в жидкости - цель таких задач. Поэтому при анализе и решении внешних задач, как правило, используются уравнения, выражающие закон изменения количества движения дифференциальные уравнения Навье - Стокса или Рейнольдса, а также интегральные формы этого закона. [c.62]

Наиболее важной характеристикой течения при его расчете является поле скоростей. Но, как показано выше, в любой точке потока при турбулентном течении скорость выступает как случайная величина, что исключает возможность записи начальных условий для системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса, т.е. оказывается невозможной математическая постановка задачи. Именно это и приводит к необходимости перехода к какому-то осредненному описанию, использующему не истинные, а осредненные величины скоростей и давлений. Осреднение скоростей и давлений производится путем интегрирования функций 7 (х,у,2, ), Уу(х,у,2, ), У (х,у,2, ), [c.91]

Так, например, система дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики является математической моделью, описывающей движение идеальной жидкости. Усложнение модели за счет учета сил вязкого трения приводит к системе дифференциальных уравнений Навье-Стокса. [c.102]

Сложность исходной системы дифференциальных зфавнений Навье-Стокса, описывающих указанный процесс, не позволяет получить аналитическое решение поставленной задачи. В этой связи основным методом исследования процесса истечения жидкости из подпорных емкостей при наличии воронок является экспериментальный. Вместе с тем, значительный практический интерес представляют приближенные решения системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса для отдельных частных случаев истечения жидкости через отверстия в стенке сосуда, позволяющие обоснованно подойти к постановке экспериментальных исследований, обработке результатов измерений и установлению математической связи между параметрами, определяющими исследуемый процесс. [c.355]

В основу создания комплексной модели ЦН положено его пространственное строение. Движение жидкости в проточной части рабочего колеса описано модифицированным уравнением Эйлера, а в отводе ЦН - дифференциальными уравнениями Навье-Стокса. Автор показал, что проекции вынуждающей силы, которая действует на выходе рабочего колеса, вращающегося с частотой п, на неподвижные осиХ-У, есть гармонические функции времени. [c.6]

Для больших чисел Рейнольдса существуют точные решения дифференциальных уравнений Навье —Стокса пограничного слоя. К ним относятся обтекание плоской пластины вблизи критической точки, обтекание вращающейся поверхности [6 и 7] и обратный случай — обтекание неподвижной поверхности внешним вращающимся потоком. Г. Хамелем [10] было показано, что в сильно суживающемся клиновидном канале пограничный слой образуется даже при больших числах [c.10]

Для получения уравнений турбулентного лвижения проведем усреднение дифференциальных уравнений Навье — Стокса, представив их в виде [c.170]

Дифференциальные уравнения Навье — Стокса выражают собой не что иное, как равновесие приложенных к каждому элементу жидкости массовых сил (вес), поверхностных сил и сил инерции. В число поверхностных сил входят, во-первых, силы давления (нормальные силы) и, во-вто-рых, силы трения (касательные силы). Массовые силы (вес) играют при движении жидкости существенную роль только либо при наличии у жидкости свободной поверхности, либо при неравномерном распределении плотности, т. е. в случае неоднородной жидкости. В однородных же жидкостях без свободной поверхности вес, действующий на каждый элемент объема, уравновешивается гидростатической подъемной силой, вызываемой распределением гидростатического, или весового, давления, т. е. того давления, которое имеет место в состоянии покоя. Следовательно, при движении однородной жидкости без свободной поверхности массовые силы совершенно выпадают, если вместо действительного давления рассматривать разность между действительным давлением и давлением в состоянии покоя. В дальнейшем мы ограничимся только такими случаями, так как они являются наиболее важными для приложений. Тогда в уравнения Навье — Стокса будут входит1> только силы давления, силы трения и силы инерции. [c.76]

Поправка Озеена. Решение Стокса было улучшено К. Озеейом [ ] путем частичного учета инерционных членов в дифференциальных уравнениях Навье — Стокса. Для этой цели Озеен принял, что составляющие г/, у, иг скорости течения в окрестности шара определяются следующими формулами [c.114]

В предыдущем параграфе мы дали наглядное пояснение дополнительным силам, возникающим вследствие турбулентного пульсационного движения. Покажем теперь существование этих сил путем более формальных рассуждений, основанных на рассмотрении дифференциальных уравнений Навье — Стокса. Одновременно мы выведем уравнения движения, которым удовлетворяют осредненные по времени скорости и, v, w и осредненное давление р. Перепишем уравнения Навье — Стокса для несжимаемого течения (3.32) в следуювз ем виде [c.505]

Введение. Дифференциальные уравнения Навье—Стокса представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. Точные аналитические решения этих уравнений в подавляюш ем большинстве случаев встречают не преодоленные пока еш,е трудности. Число известных в настояш ее время точных решений весьма невелико. Поэтому при интегрировании уравнений Навье— Стокса получили сравнительно широкое распространение и численные приближенные аналитические методы. К числу последних и относится теория гидродинамического пограничного слоя. Основная идея и первоначальная разработка этой теории принадлежат Прандтлю [251, который в 1904 г. пришел к выводу о том, что между потоком жидкости или газа и плавно омываемым ими телом при достаточно большом числе Рейнольдса существует тонкий пограничный слой, в котором сосредоточено почти все вязкое трение. Вне этого тонкого слоя силы вязкости пренебрежимо малы, и в этом случае жидкость (или газ) можно рассматривать в качестве невязкой. [c.256]

Воздух — вязкая сжимаемая среда. Полный учет этих особенностей среды даже при современном состоянии математическога анализа не может быть сделан ввиду непреодолимых-трудностей решения дифференциальных уравнений Навье — Стокса с надлежащими граничными условиями . При решении многих задач-можно отказаться от учета сжимаемости и рассматривать воздух как вязкую среду. Решение значительно упрощается, но все же остается достаточно сложным, [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...