Колебания около положения равновесия

Как и в 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при (7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в двух случаях. [c.392]

Этими почти независимыми подсистемами могут быть, например, отдельные частицы. Тогда мы имеем дело с обычным газом. В твердых телах независимыми являются не сами атомы, которые сильно связаны друг с другом, а их колебания около положений равновесия. В более сложных ситуациях приходится прибегать к более изощренным представлениям, чтобы выделить независимо движущиеся части макроскопических систем. Но если гипотеза о молекулярном хаосе работает, такие почти независимые подсистемы непременно должны существовать. [c.15]

Именно такая ситуация и осуществляется в твердых телах. Мы получим поэтому простейшую модель твердого тела, если расположим в фиксированных точках пространства Ы атомов, которые почти независимо друг от друга совершают небольшие колебания около положений равновесия. Колеблющийся атом называют осциллятором. А твердое тело в этой модели можно назвать газом осцилляторов. Газом—в том смысле, что эти осцилляторы колеблются почти независимо друг от друга. [c.61]

Совсем иной характер имеет движение частиц в жидкости или в твердом теле. Мы уже говорили в 9.1, что здесь у них вообще не бывает свободного пробега. В твердом теле атомы в основном совершают колебания около положений равновесия. А дальние прыжки происходят лишь изредка. При этом атом может либо сесть в междоузлие, потеснив соседние атомы (рис.9.8д), либо, оторвавшись от своих соседей, прыгнуть на один из пустых узлов, которые всегда существуют в реальной решетке (рис.9.8б). В обоих случаях достаточно буквально одного колебания на новом месте, чтобы забыть о [c.204]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

При устойчивом положении равновесия система, выведенная из положения равновесия достаточно малыми возмущениями в виде начальных отклонений и скоростей, которые сообщаются всем точкам системы или их части, совершает колебания около положения равновесия или приближается к нему без колебаний. [c.408]

Электромагнитное излучение всех длин волн обусловливается колебаниями электрических зарядов, входящих в состав вещества, т. е. электронов и ионов. При этом колебания ионов, составляющих вещество, соответствуют излучению низкой частоты (инфракрасному) вследствие значительной массы колеблющихся зарядов. Излучение, возникающее в результате движения электронов, может иметь высокую частоту (видимое и ультрафиолетовое излучение), если электроны эти входят в состав атомов или молекул к, следовательно, удерживаются около своего положения равновесия значительными силами. В металлах, где много свободных электронов, излучение последних соответствует иному типу движения в таком случае нельзя говорить о колебаниях около положения равновесия свободные электроны, приведенные в движение, испытывают нерегулярное торможение, и их излучение приобретает характер импульсов, т. е. характеризуется спектром различных длин волн, среди которых могут быть хорошо представлены и волны низкой частоты. [c.682]

Во многих вопросах заранее нельзя предсказать закона изменения во времени возмущающей силы, которая может оказаться приложенной к системе, способной совершать колебания около положения равновесия, а можно лишь оценить максимальную величину силы. Важное значение в этих случаях приобретает знание величины, которой не превзойдет при нарушении равновесия координата системы. Эту величину можно определить, оценивая по модулю интеграл (29), в котором следует принять [c.536]

Использовав выражение (2) кинетической энергии системы, совершающей малые колебания около положения равновесия, придем к выражениям [c.575]

Температурный фактор. Вывод выражения для атомного фактора f был произведен нами для покоящегося атома со сферически симметричным распределением электронной плотности. В реальном кристалле атомы (а значит, и электроны вместе с атомами) совершают хаотические тепловые колебания около положений равновесия и между атомами имеет место определенный тип химической связи. Естественно, что тепловое движение оказывает влияние на значение рассеивающей способности атома, а следовательно, и на интенсивность рефлексов. [c.46]

Итак, если скорость ленты такова, что значение скорости лежит на падающем участке характеристики трения скольжения, то силы, возникающие при случайных движениях груза в ту или другую сторону от положения равновесия, уводят груз далеко от положения равновесия, т. е. состояние равновесия оказывается неустойчивым. Груз не остается в этом состоянии, а совершает колебания около положения равновесия. Такие колебания, происходящие около положения неустойчивого равновесия, будут рассмотрены позднее ( 139). [c.205]

Малые колебания около положения равновесия. Пусть в положении равновесия д. = О для всех s, С/(0,. .., 0) = О и пусть с точностью до величин наименьшего порядка малости [c.238]

С первого взгляда может показаться, что наличие тепловых флуктуаций дает принципиальную возможность построения вечного двигателя второго рода. Но это не так. Рассмотрим, например, флуктуацию плотности в газе. Может показаться возможным поймать возникающие разности давлений с помощью специальных клапанов и аппаратов, имеющих дело с отдельными молекулами [такие устройства (существа) В. Томсон называл демонами Максвелла ], и использовать их для совершения работы или разделения смеси газов. Однако это не только практически, но и теоретически невозможно. Все наши аппараты, клапаны и т. д. сами состоят из молекул и сами обладают некоторыми колебаниями около положения равновесия, притом совершенно независимыми от колебаний плотности газа. Желаемый результат можно было бы получить в некоторый определенный момент времени, но в следующий же момент он компенсировался бы снова колебаниями аппарата и газа. [c.82]

Итак, в прогрессивной волне каждая частица испытывает малые колебания около положения равновесия и движется по окружности во- [c.140]

В машине для статического уравновешивания роторов подшипники наклонены под углом а к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относнтельно своей оси) и несет неуравновешенную массу т на расстоянии г от оси. Написать дифференциаль ноо уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия. [c.357]

Колебания около положения равновесия возникают в случае устойчивого равновесия. В случае неустойчивого равновесия система при малейшем отклонении удаляется от положения равновесия и колебания около этого положения не возникают. Поэтому при изучении малых колебаний механических систем важно знать критерий устойчивости равновесия этих систем. [c.5]

Полученное в главе I выражение для потенциальной энергии системы с 5 степенями свободы (2.4) можно использовать для вычисления потенциальной энергии системы, совершающей малые колебания около положения равновесия. [c.22]

В этом случае имеет место особое обстоятельство, которое не зависит от выбора переменной период малых колебаний около положения равновесия изменяется вместе с амплитудой. В самом деле, поместим систему в положение, соответствующее д , и предоставим ее.самой себе без начальной скорости. Интегрируя равенство (2), получим [c.295]

Чтобы получить малые колебания около положения равновесия, мы пренебрежем функциями и приняв [c.296]

Линейный гармонический осциллятор. Линейным гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую гармонические (синусоидальные) колебания около положения равновесия. Пусть колебания происходят вдоль оси X (рис. 3.5, а) около положения равновесия 0. При отклонении частицы на расстояние х возникает возвращающая сила, пропорциональная х и направленная к положению равновесия f = — Рдс, где р — постоянная упругой силы Осциллятор совершает колебания с частотой [c.106]

Атомы твердых тел совершают сложные тепловые колебания около положений равновесия, непосредственное количественное описание которых представляет значительные трудности. Поэтому прибегают к следующему методу рассмотрения тепловых колебаний кристаллической решетки. [c.125]

Причиной теплового расширения тел является несимметричный характер кривой зависимости энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними (рис. 4.5). В самом деле, если бы частица 2 совершала чисто гармонические колебания около положения равновесия, то сила F, возникающая при отклонении ее на расстояние X, была бы пропорциональна х [c.135]

Малые колебания около положения равновесия 175 [c.175]

КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [c.117]

Колебания около положения равновесия. Рассмотрим теперь задачи, относящиеся к малым колебаниям сисгемы из двух материальных точек около положения равновесия. Первая из них известна под названием задачи о колебаниях двойного маятника. [c.117]

Определить период Т малых колебаний около положения равновесия гиромаятника, описанного в лредыдуа ей задаче. Массой вилки пренебречь. [c.237]

В этом случае в качестве модели можно выбрать твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. имеет три независимые колебательные степени свободы. Как мы видели в предыдущей главе, такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебаниях осциллятора происходит последовательное преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая квТ/2 на одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия точно равна средней кинетической, то средняя полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, составляет ksTi. [c.164]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

Здесь Ра — первая критическая сила. Формула (6.11.2) показывает, что при Р<Ра со действительна таким образом, балка может лишь совершать колебания около положения равновесия. При Р>Ра ( > становится мнимой и движение стержня апериодично, прогиб неограниченно растет со временем. Таким образом, парадокс, связанный со статической постановкой задачи устойчивости, оказывается разрешенным, хотя существование и величина критической силы предсказываются правил]эН0 и статическим решением. [c.206]

Однако эти равновесные состояния качественно различны, так как после малых возмущений стержень, свисающий вниз, совершает малые колебания около положения равновесия и от него не удаляется (равновесие устойчиво), тогда как стержень, поднятый вверх, после любого малого отклонения от этого положения в равновесное положение не вернется, а будет от него удаляться (равновесие неустойчиво). Понятие устойчивости можно более конкретизировать, если ввести его следующим образомг Пусть qt — координаты системы, которые в положении равновесия принимают нулевые значения. Это всегда можно сделать путем изменения начала отсчета. Пусть — отклонения (возмущения) координат, появившиеся вследствие внешних воздействий, а б и е — малые числа. Если можно указать такие границы начальных возмущений 1 1 г =sS е, что при этом всегда < б, то положение системы устойчиво. Здесь е зависит от б, т. е. е (б), следовательно, границы до- [c.345]

Свободно плавающее тело может под действием внешнего импульса выйти из состояния равновесия. В известных условиях тело после некоторых колебаний около положения равновесия вновь вернется к исходному состоянию. Эт а способность возвращаться к положению равновесия называется в гип )омё.катке остойчивостью. [c.49]

Колебания около положения равновесия. Устойчивость. Коорди наты X, у возможных положений равновесия в консерва1ивном поле (которое здесь для простоты принято двухразмерным) определяются условиями [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...