Усреднение нелинейных систем

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

УСРЕДНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [c.46]

Метод усреднения принадлежит к асимптотическим методам исследований в теории нелинейных колебаний. Как уже было упомянуто, теперь эта теория достигла значительного совершенства. Изложенные выше приемы решения задач следует рассматривать как историческое введение к существующим методам, включающим стандартные формы уравнений колебательного движения слабо нелинейных систем, т. е. систем с малыми значениями е, рассмотренными выше, В настоящее время существует обширная литература, относящаяся к этой области механики. Отсылаем читателей к этим работам ). [c.294]

Далее в работах [4] показывается, что уравнения первого приближения получаются из точных путем усреднения за период правых частей этих уравнений. Используя эту идею в последующих исследованиях, ученые производили таким образом приближенное исследование не только нелинейных систем, содержащих малый параметр е, но и различных существенно нелинейных автоматических систем. [c.44]

Для получения укороченных нелинейных дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, следуя методу усреднения, сначала рассмотрим линеаризованную упрощенную систему, заменим переменные и перейдем от рассмотрения исследуемого процесса колебаний к исследованию колебаний около положения равновесия. После этого произведем усреднение нелинейности системы, заменяя реальный колебательный цикл окружностью. [c.214]

Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются-, задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и энергии относительно неинерциальных систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей. [c.2]

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Метод колебательных характеристик. Для рассмотрения поведения автоколебательных систем при более сложных, нелинейных вольт-амперных характеристиках ламп применяется так называемый квазилинейный метод колебательных характеристик, В этом методе вводится усредненная крутизна, которая является переменной [c.204]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

Решение уравнений (5) и (6) характеризуют некоторые усредненные показатели точности партии динамических систем, выполненных по одному проекту. Поэтому дифференциальные уравнения (5) и (6) описывают поведение динамических систем с расчетными значениями параметров их линейных и нелинейных частей. [c.36]

В табл. 11 приведены модели Z для общей и типовой компоновок силовых установок с ДВС (двигатель расположен в середине и в начале системы). Эти модели представляют собой систему нелинейных дис еренциальных уравнений движения силовой установки в пусковых резонансных зонах, записанную в стандартной форме метода усреднения. Именно в этих режимах существенно проявляется динамическое взаимодействие двигателя, как ограниченного по мощности источника энергии с колебательной системой установки. [c.374]

Эффективный метод исследования систем с переменной структурой связан с разделением движений этих систем на медленные и быстрые . Этот метод позволяет существенно понизить порядок рассматриваемых систем, поскольку сначала рассматривается задача нелинейного синтеза регулятора лишь в пределах поведения медленных движений и лишь затем картина уточняется с учетом быстрых движений. Достоинство такого подхода состоит в том, что он позволяет учитывать ведущие нелинейные эффекты, которые иногда теряются при других методах баланса и усреднения также фильтрующих высшие гармоники, но сопровождаемых упрощенной задачи. Приемы, связанные с понижением размерности рассматриваемых фазовых пространств за счет классификации скользящих режимов по их порядкам и размерностям, позволили получить существенные эффективные решения. Были описаны приложения общих теоретических выводов, полученных для систем с переменной структурой, к типичным схемам управления реальными объектами. [c.212]

Заключение. С ростом числа степеней свободы наблюдаются две конкурирующие тенденции. С одной стороны, сетка резонансов в фазовом пространстве становится все более плотной. С другой стороны, ширина резонансов обычно уменьшается. В зависимости от поведения усредненного параметра перекрытия движение системы при N- 00 может быть как полностью стохастическим, так и полностью регулярным. Примером систем первого типа является газ Леннарда-Джонса, а второго — непрерывные системы, такие, как нелинейная струна ). Хотя строгого критерия разделения систем на эти два типа не существует, оценка перекрытия резонансов позволяет, по-видимому, сделать правдоподобные заключения о поведении системы при больших N. [c.409]

Тогда понятно,что изолированному резонансу соответствует в 1, а перекрытие резонансов будет при в > 1. Что произойдет в этом случае Из (13.32) следует, что усредненное движение системы в изолированном нелинейном резонансе на фазовой плоскости ш 1), ф подобно поведению электрона в потенциальной яме . Нескольким резонансам соответствует несколько потенциальных ям (см. рис. 13.11). Перекрытие резонансов означает, что происходит такое сближение соседних ям , когда система может переходить из ямы в яму . При таких переходах проявляется новый вид неустойчивости динамических систем — стохастическая неустойчивость (см. гл. 22 и 23). [c.295]

Уравнения (8.5) описывают нелинейную неавтономную систему, правые части которой - периодические функции (с периодом 2п) по отношению к явно входящему времени /. Видно, что А 1 и 0 1, т.е. АГ и 0 -медленно изменяющиеся функции времени (они меняются несущественно за время порядка периода изменения правых частей, т.е. за 2%). Это обстоятельство позволяет усреднить правые части в (8.5) по явно входящему времени. Поясним процесс усреднения. [c.175]

Вопросы обоснования приближенных методов нахождения решений дифференциальных уравнений движения нелинейных систем, в частности метода усреднения, были рассмотрены в основоиолагающих работах Л. М. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1934 г.), а также Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (1934 г. и далее) ). [c.295]

При втором способе линеаризации нелинейная система заменяется линейной на некотором специально выделяемом движении Или группе движений, например, на периодических. Обоснованием замены в этом случае считаются всевозможные интегральные методы усреднения на выделенных движениях (гармоническая линеаризация и гармбаланс, методы Ритца и Галеркина и т. д.). Физическим основанием для замены здесь является энергетическая близость линейной и нелинейной систем. Если линеаризуемая этими методами система все же существенно нелинейная, то линейная система получается амплитудно-частотно-зависимой от возбуждения. [c.78]

Анализ движения нелинейных систем при случайных воздействиях представляет собой значительные трудности уже на самом первом этапе получения уравнений для вероятностных характеристик выхода, так как для нелинейных уравнений дифференциальные операторы неперестановимы с оператором усреднения ( L,> L (х)). [c.79]

Глава I посвящена различным аспектам асимптотической теории дифференциальных уравнений с Малым параметром, основанной на идее усреднения (сглаживания) правых частей. Приведено обобщенное уравнение и дана интерпретация метода усреднения, а также описаны наиболее распространенные в динамике операторы сглаживания, позволяющие строить различные варианты теории возмущений по степеням малого параметра ц. Дальню в этой главе рассмотрены различные классы нелинейных систем без частотных резонансов и изложена конструктивная методика построения их асимптотических решений с помощью преобразования Крылова — Боголюбова. [c.16]

Одно из мпогочислеппых приложений метода усреднения, которое получило в математической литературе название метод гармонической линеаризации или метод гармонического баланса , было предложено П. Н. Боголюбовым (см. [29, 58]). Суть его состоит в том, что нелинейные силы, участвуюнще в колебательных системах, заменяются специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного ана 1иза нелинейных систем. [c.62]

Метод усреднения Ритца успешно применялся к различным задачам, включая свободные и вынужденные колебания нелинейных систем. Высокая точность была достигнута при использовании одночленного приближения для систем с восстанавливающей силой, описываемой симметричными функциями -го порядка, а также кусочно-линейными функциями. Уравнение Дюффинга является только одним из примеров такого типа. Для систем с восстанавливающими силами несимметричного вида требуется использовать по крайней мере двучленные приближения и при этом быстро растут трудности алгебраического характера. [c.164]

Мы уже видели, что при усреднении линейных систем получаются замкнутые уравнения для рассматриваемых средних, рричем зацепление уравнений (например, зацепление уравнений для первых и вторых моментов) происходит лишь при включении в исходные стохастические уравнения неоднородных членов. В отличие от этого при усреднении нелинейных стохастических уравнений все моменты х становятся, вообще говоря, взаимосвязанными, и оперирование с уравнениями для таких моментов весьма затруднительно. При определении вероятностных характеристик х обычно удобно исходить не непосредственно из системы (3.37), а из соответствующего ей стохастического уравнения Лиувилля. В частности, для плотности распределения Р(х, I) в фазовом пространстве системы (3.37) это уравнение имеет вид [c.47]

Как устанавливается в гл. 2, уравнжие (5.3) получается в результате определенным образом выполненного усреднения исходного дифференциального уравнения (5.1)/ при этом вибрационная сила отражает накапливающиеся эффекты от действия вибрации на нелинейную систему. [c.21]

Отметим, что практическая трудность метода состоит не стольк в получении усредненной (укороченной) системы (8.10), сколько в при ведении исходных уравнений динамики к стандартному виду (8.9). системы (8.2) это удалось сделать без труда с помощью замены (8.3) В более сложных моделях задача может оказаться существенно сложнее Для многих классов нелинейных систем процесс их приведения к стан дартной форме изложен в монографиях [7,16]. Применительно к систем с двумя степенями свободы этот процесс подробно описан в работе [8]. [c.178]

В сильно нелинейном случае усредненное описание, приводящее к ур-ииям типа (1) и (2), не адекватно задаче, и здесь используется качеств, теория лнна-инческвх систем. В этой теории явление синхронизации периодяч. колебаний двух автоколебат. систем можно описать следующим образом. Каждой из систем [c.527]

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрируюшдх применение метода усреднения для решения систем нелинейных уравнений. [c.320]

Первые два уравнения описывают изменение электромагнитного поля световой волны с учетом изменения диэлектрической проницаемости среды за счет наличия в ней возмущений плотности. Два последних определяют изменение плотности р и скорости частиц и в звуковой волне с учетом пондеромоторных сил (возникающих из-за электрострикци-онного эффекта). Первое из них — уравнение неразрывности, второе — уравнение движения. Как решить систему (17.12), учитывая, что правые части уравнений, характеризующие нелинейные связи, малы Поскольку даже при эффективном взаимодействии квазигармонических волн изменение их амплитуд и фаз вследствие малости нелинейности должно происходить медленно, для исследования естественно применить метод, так или иначе связанный с усреднением по временной и пространственной переменным (рекомендуем читателю при ознакомлении с материалом этого параграфа вспомнить 17.1). [c.361]

Усреднение в системах с постоянными частотами. Системы с постоянными, т. е. не зависящими от медленных переменных. частотами возникают, когда рассматривается малое нелинейное взаимодействие линейных колебательных систем , влияние на линейные колебательные системы квазипериоди-ческих возмущений или действие быстрых внешних квазипе-риодических сил на нелинейную неколебательную систему (скажем, влияние вибраций от двух несинхронных моторов на движение корабля или самолета). [c.167]

В последние два десятилетия возникли новые обобщения асимптотических методов нелинейной механики, имеющие тенденцию к выработке общих концепций развития данных методов. Это прежде всего направление, названное методом усреднения с использованием рядов и преобразований Ли (см., например, работу [93]). Впервые ряды Ли в теории возмущений были применены Г. Хори [1261 для канонических систем и распространены далее самим Г. Хори [127] и А. Кэмелом [128] на неканонические системы. Теория возмущений, основанная на рядах и преобразованиях Ли, имеет ряд преимуществ по сравнению с существующими методами. Одним из них является простота алгоритмов. С сутью этих методов и библиографией можно подробно ознакомиться в монографиях [27, 93, 1291. [c.6]

Далее, отказавшись от предположения о динамической нейтральности примеси, мы рассмотрим дисперсию неоднородных жидких систем в неоднородной пористой среде, используя для этого полную систему уравнений для скорости фильтраций суммарного потока, давления и насыщенности (концентрации). Поскольку свойства жидкости в общем случае зависят от реализуемого течения, а оно, в свою очередь, определяется характеристиками жидкости, полная система оказывается нелинейной. Для ее исследования и последующего усреднения применим метод возмущений в форме, несколько отличной от испо ьзовавшейся ранее. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...