Условия устойчивости периодических траекторий

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИИ [c.74]

Генетический метод в динамике систем с ударами, развитый в гл. 1, оказывается достаточно эффективным средством исследования устойчивости периодических режимов колебаний. В частности, с его помощью можно получить условия устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа, обсуждавшиеся в гл. 2. [c.83]

Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания. [c.114]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

О, либо есть одна точка пересечения. Условие перехода от одного случая к другому даст условие появления из отрезка покоя периодического движения Наличие устойчивой точки соответствует существованию устойчивого периодического движения, составленного из кусков фазовых траекторий, принадлежащих пластинкам, и кусков траекторий между плоскостями ф = d= ij5 . Значения параметров Л и S, при которых возникают автоколебания, определяются из уравнений [c.185]

Рассмотренные модели неоднородности соответствуют тому, что изменение неоднородности по у обеспечивает необходимое условие устойчивости траектории трещины относительно траектории в однородной среде, волноводный характер распространения трещины вдоль оси ж, в частности это может быть выточка. Однако этого оказывается недостаточно для того, чтобы траектория трещины у (ж) была детерминированно прогнозируемой функцией. В рассмотренных моделях кусочно постоянных и периодических сред изменение неоднородности вдоль направления распространения ведет к стохастизации траектории, прогноз возможен только в вероятностном смысле. [c.381]

Прежде чем обсудить методы исследования устойчивости, коснемся кратко специфики понятия устойчивости в системах с ударами. Имеется два подхода к его определению. Первый из них связан к переходу к неподвижным точкам отображения Пуанкаре. Такой метод является наиболее распространенным, и принято считать, что устойчивость (ляпуновская или асимптотическая) неподвижной точки отображения эквивалентна устойчивости соответствуюгцей периодической траектории х ( ). Оказывается, что в системах с несколькими ударными парами это условие недостаточно, так как здесь может отсутствовать непрерывная зависимость решения от начальных условий. Соответствующий пример построен в [24. [c.243]

Найти условия устойчивости прямолинейной четырехзвенной периодической траектории, изображенной на рис. 38. [c.98]

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( = 1) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках к, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином [164, 165]. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вра- [c.247]

Периодические движения и их устойчивость. Прежде всего периодические движения в консервативных системах отличаются той особенностью, что они никогда не встречаются изолированно. Если для /г = Ло на фазовой плоскости мы имели замкнутую траекторию, т. е. периодическое движение, то, как мы видели, эта замкнутая траектория непременно окружена соседними замкнутыми траекториями, получающимися при близких к. Периодические траектории встречаются континуумами и заполняют целые области фазовой плоскости, причем одна замкнутая траектория охватывает другую. Физически это значит, что если возможно одно периодическое движение, то возможно бесконечное множество их, причем максимальные размахи и максимальные значения скоростей могут в зависимости от начальных условий непрерывно изменяться в известных конечных или бесконечных пределах. [c.149]

Так как период колебаний нелинейной консервативной системы, изображаемых на фазовой плоскости замкнутыми траекториями, не один и тот же, а зависит от начальных условий, то две изображающие точки, начавшие свои движения, например от оси Оу, одновременно по двум близким траекториям, с течением времени отойдут одна от другой на конечное расстояние. Вследствие этого периодические движения консервативных систем нельзя, строго говоря, считать устойчивыми по Ляпунову. Но они обладают орбитальной устойчивостью, выражающейся л том, что при весьма малом изменении начальных условий возмущенное периодическое движение изображающей точки переходит на другую траекторию, сколь угодно близкую к первоначальной (невозмущенной). [c.482]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Учет влияния членов высших степеней в разложении момента в уравне НИН (98) привел бы к заключению, что размахи колебаний маятника в действительности не растут неограниченно. Движение стремится к некоторому периодическому режиму, параметры которого не зависят от начальных условий. Соответствующая этому режиму фазовая траектория представляет замкнутую кривую (рис. 438, а), называемую устойчивым предельным циклом. [c.518]

В рассматриваемой динамической системе без зоны нечувствительности единственным устойчивым элементом является точка (О, 0), Областью устойчивости в большом состояния равновесия будет при Л Гз О, S > О, Л + S — 1 > О все фазовое пространство. Если Л + S — 1 О, Л Г- О, S > О и выполняется условие (29), то в фазовом пространстве существует неустойчивое периодическое движение, состоящее из двух симметричных кусков траекторий, расположенных соответственно в полупространствах "ф > О и -ф < О (неустойчивый предельный цикл). [c.183]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

Теорема 18.3. Пусть в области О выполняются условия теоремы 18.1. Пусть, кроме того, область О обладает тем свойством, что при всяком р О решение Ф(р, Ь) лежит в О пра / > 0. Тогда в области О существует единственное периодическое решение, оно устойчиво в смысле Ляпунова, и любое решение стремится к его траектории при ->- -оо. [c.292]

Если же система попадает в одну из точек области, где выполнены неравенства (3.52) и (3.53), а (3.54) не выполнено, то система не может здесь оставаться, так как эта точка неустойчива, не может совершать и периодических движений вокруг этого неустойчивого состояния равновесия, так как предельные циклы не существуют. Следовательно, здесь мы снова встречаемся с возможностью разрыва в экспериментально снимаемых характеристиках компрессора, когда система самопроизвольно по той или иной незамкнутой траектории, в зависимости от начальных условий, смещается к новому состоянию равновесия, которое или само устойчиво, или вокруг него существует устойчивый предельный цикл. [c.114]

Теперь обсудим специфические для стационарных режимов определения устойчивости. Сразу заметим, что стационарный режим из-за наличия близких к нему иных стационарных режимов, в отличие от равновесий, никогда не бывает асимптотически устойчивым. Он может быть устойчивым по Ляпунову в случае систем с диссипацией (общего положения), когда его траектория асимптотически устойчива. В случае консервативных систем, когда траектории стационарных режимов не изолированны (заполняют целые подмногообразия в фазовом пространстве), устойчивость по Ляпунову возможна, но лишь как редкое исключение. Действительно, если начальное возмущение приводит к смежному стационарному режиму (с другой траекторией), то требуется, чтобы выполнялось некоторое условие изохронности этих стационарных движений. Например, когда они периодические, нужно, чтобы при таком возмущении период не изменялся. В ином случае возмущенные движения за конечное время разойдутся на расстояние порядка диаметра траектории. В ситуации общего положения это и происходит. Поэтому в общей теории естественны иные определения устойчивости. [c.251]

К которой, как нетрудно убедиться хотя бы путем построения лестниц Ламерея , сходятся все последовательности точек пересечения траекторий системы с полупрямыми Г1 и Г соответственно в фазовом пространстве существует единственный и устойчивый разрывный предельный цикл, к которому приближаются (при —-[-сх)) все остальные траектории. Таким образом, при — 1 (при в мультивибраторе устанавливаются одни и те же периодические разрывные колебания (разрывные автоколебания) при любых начальных условиях, т. е. имеет место мягкий -режим установления разрывных автоколебаний. [c.884]

А. определяются только параметрами системы, что отличает их как от собств. колебаний, частота к-рых определяется параметрами системы, а амплитуда и фаза — нач. условиями, так и от вынужденных колебаний, амплитуда, фаза и частота к-рых определяются внеш. силой. Периодическому А. в фазовом пространстве соответствует замкнутая траектория, к к-рой стремятся все соседние траектории,— т. н. устойчивый предельный цикл. [c.9]

Если изначальное движение свободное согласно уравнениям (17), а выход на связь абсолютно упругий согласно условию (20), то фазовый портрет строится тем же способом точечных отображений в моменты удара. Пример такого фазового портрета — на рис. 33. В хаотическом море взвешены архипелаги островов регулярных (условнопериодических) движений. Центры этих архипелагов отвечают устойчивым периодическим траекториям. Две из них — однозвенная и пятизвенная — показаны на рис. 34 и 35. [c.237]

Никакого вывода о поведении незамкнутых фазовых кривых на бесконечном интервале времени (например, об устойчивости исходной периодической траектории по Ляпунову) из наших рассуждений не вытекает, так как отброшенные при приведении к нормальной форме члены высокой степени могут за бесконечное время совершенно изменить характер движения. В действительности в рассматриваемых условиях исходная периодическая траектория устойчива по Ляпунову, но док Сзательство требует существенно новых соображений по сравнению с нормальной формой Биркгофа (см. добавление 8). [c.365]

Ф(—Q), причем при значениях Q > Qe > О выполняется условие sign Ф(Р) = —sign Q = —1 (см. например, рис. 1.13,а). Если амплитуда колебания достаточно велика, то очевидно, что накопление энергии в интервале О < Q < Qe будет меньше, чем рассеяние ее на полупрямых Q < —Qa и Q > Qe- Поэтому колебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать, причем в системе установится одно устойчивое периодическое движение. На фазовой плоскости этому движению будет соответствовать состояние равновесия типа неустойчивого фокуса или узла и один устойчивый предельный цикл, на который изнутри и извне наматываются все соседние траектории (рис. 1.13, б). [c.49]

В статьях [35-40] исследована задача о сугцествовании движений, асимптотических к неустойчивому равновесию или периодическому движению гамильтоновой системы в случае резонанса. Показано, что неустойчивость нри резонансе тесно связана с сугцествоаанием траекторий, асимптотических к траектории невозмугценного движения. В частности, условия устойчивости гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы эквивалентны условиям отсутствия асим-тотических траекторий. [c.122]

Устойчивый предельный цикл или аттрактор (от англ. attra t — притягивать) — кривая, на которую при i оо с обеих сторон навиваются траектории. Траектории, соответствующие различным начальным условиям, приближаются к одной и той же периодической траектории. В трехмерных системах возникает более сложный аттрактор — кривая, обвивающая поверхность, напоминающую бублик, — тор. [c.171]

Уравнение Хилла часто встречается в задачах об устойчивости периодических движений с ударами. В качестве еще одного примера рассмотрим вопрос об устойчивости двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа точка движется по отрезку длины t, периодически упруго отражаясь от кривой. Эта задача решена в 6 гл. 2. Обозначим радиусы кривизны граничной кривой биллиарда в концевых точках отрезка через Ri и R , пусть Ri R2- Снова вводя поле упругих сил, получим уравнения в вариациях, аналогичных условию (1.8) [c.86]

Изложенные выше результаты позволяют получить условия устойчивости (в линейном приближении) колебаний плоского гармонического осциллятора, расположенного посредине между двумя выпуклыми кривыми одинаковой кривизны. Согласно результатам 1, гл. 3 в линейном приближении устойчивость зависит лишь от кривизны этих кривых в концевых точках прямолинейной траектории, но не от их формы. Пусть U—длина периодической траектории осциллятора, R — радиус кривизны в концевых точках этой траектории. Рассматриваем движения с ударами. Если с>0, то движение устойчиво лищь при выполнении неравенства 1<2R (см. (4.1)). Сравнивая этот результат с предложением 4 гл. 2, получаем, что наличие притягивающей упругой силы не влияет на устойчивость колебаний с ударами. Пусть теперь с<0. Если 1<2R, то движение устойчиво, когда 4h> l(R—l/2). Если же 1>2R, то условие устойчивости выражается неравенством 4h< l(R—l/2), При выполнении равенства t=2R периодическое колебание вырождено его мультипликаторы равны единице. [c.112]

Следствие 2. Известно, что эллиптические периодические траектории общего положения в гладкой гамильтоновой системе с двумя степенями свободы являются орбитально устойчивыми на уровне энергии [3]. Этот же результат остается верным и в случае кусочно-глад ких гамильтонианов, если дополнительно потребовать, чтобы периодическая траектория трансверсально пересекала поверхности потери гладкости (что, кстати сказать, тоже является условием общего положения). В случае трех и более степеней свободы приходится говорить об орбитальной y Toii4HBo TH для большинства начальных условий. [c.154]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства, [c.176]

В предыдущием параграфе было показано, что малые возмущения интегрируемой системы приводят к возникновению последовательности чередующихся эллиптических (устойчивых) и гиперболических (неустойчивых) точек. Об этом говорят, в частности, численные данные, приведенные в п. 3.2г. Однако в случае больших возмущений топологические соображения М уже неприменимы и в принципе все периодические точки могут быть неустойчивыми. В случае неинтегрируемых гамильтоновых систем линейная устойчивость является, по-видимому, необходимым и достаточным условием для нелинейной устойчивости ) в том смысле, что первая гарантирует существование инвариантных торов достаточно близко к периодической траектории ). [c.207]

Периодическому движению соответствует движение представляющей точки по определенной замкнутой фазовой траектории. Окружим эту точку некоторой малой областью е, которая движется вместе с представляющей точкой. Если при заданной сколь угодно малой области г мы можем указать такую область 8 (г), что всякая представляющая точка, лежащая в начальный момент в этой области 8 (г), никогда не выйдет за пределы области е, то рассматриваемое движение устойчиво по Ляпунову. Более наглядно мы можем сформулировать это условие устойчивости следующим образом. Пусть движение подверглось некоторому возмущению — система испытала некоторый мгновенный толчок в произвольном направлении. Тогда представляющая точка сместится и будет продолжать движение уже по некоторой другой траектории. Представим себе, что при этом толчке представляющая точка почернела (рис. 101). Тогда исходное невозмущенное движение, устойчивость которого мы исследуем, т. е. движение, которое происходило бы, если бы не было толчка, будет изображаться движением светлой представляющей точки, а движение после толчка — возмущенное, изображается движением черной представляющ ей точки. [c.149]

Рассматривая классическую ограниченную круговую задачу трех тел при определенном соответствии конечных масс, Г. Дарвин и ученые копенгагенской школы под руководством Э. Стремгрена установили классификацию всех существуюпщх простых периодических решений задачи, которая позволяет проследить процесс исчезновения определенных классов периодических орбит при изменении начальных условий. Много работ посвящено также изучению траекторий вблизи лагранжевых частных решений, исследованию ограниченной задачи трех тел, устойчивости движения динамических систем и др. [c.108]

Таким образом, существует точка ( фокус ), выше которой стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. Иными словами, дело имеем с точкой бифуркации, в которой расщепляется траектория, при этом одной ветвью является устойчивый предельный цикл. Пример траекторий в фазовом пространстве X, V при различных начальных условиях показан на рис. 3.20. Видно асипмтотическое приближение системы к замкнутой орбите (предельному циклу) в плоскости X, У. Можно показать, что система имеет единственный предельпьп1 цикл, устойчивый к малым возмущениям [37]. [c.82]

Заметим, что в системах с одной степенью свободы наличие у периодического движения участка скольжения гарантирует его асимптотическую устойчивость. Действительно, возмущенная траектория может отличаться от невозмущенной лигиь до первого участка скольжения, а затем они сливаются. В системах с несколькими степенями свободы из наличия участка скольжения следует, что характеристическое уравнение (13) имеет два нулевых корня. Поэтому проверка условий теоремы 2 связана с вычислением остальных 2п — 2 корней. [c.252]

Второе условие (4.2) имеет простой геометрический смысл ам-плитуиа периодических колебаний точки не превосходит расстояния от конца большей полуоси до ближайшего фокуса. При увеличении амплитуды это решение теряет устойчивость, становясь. гиперболическим. Отметим любопытное свойство траекторий, проходящих через фокус эллипса через равные промежутки времени бесконечно много раз точка попеременно оказывается в фокусах эллиптического биллиарда. Это свойство имеет место и для траекторий, не касающихся границы биллиарда. [c.112]

Как мы видели в 4.1, в стандартном отображении островки устойчивости существуют при сколь угодно больших К- С увеличением К эти островки уменьшаются, но поскольку они могут существовать вокруг периодических точек произвольно большого периода, то возникает вопрос, не занимают ли они значительную часть фазовой плоскости, что привело бы к неправильному значению КС-энтропии (5.3.8) даже для больших К- Чириков исследовал этот вопрос двумя методами. В первом квадрат 2л X 2я разделялся на 100 X 100 ячеек и вычислялась доля ячеек, в которые попадала траектория с начальными условиями на стохастической колшоненте. Ясно, что такое огрубление может давать правильные результаты только для относительно малых значений К, когда [c.311]

Таким образом, рассматривая точечное преобразование полуоси положительных лг самой в себя, осуществляемое фазовыми траекториями и выражаемое функцией последования (3.19), мы доказали, что на фазовой плоскости лампового генератора имеется единственная замкнутая фазовая траектория, соответствующая периодическим, незатухающим колебаниям в генераторе. Однако, для того чтобы утверждать, что эти незатухающие колебания действительно могут происходить и что наши высказывания о наличии периодического режима имели физическое значение, нам следует ответить еще на два вопроса. Во-первых, на вопрос о том, при каких начальных условиях устанавливается найденное нами периодическое решение, в частности установится ли оно, если начальные значения х и х будут достаточно малы. Во-вторых, на вопрос о том, устойчиво ли найденное периодическое движение по отношению к произвольным малым изменениям начальных условий, например по отношению к изменениям максимального значения силы тока. На оба эти вопроса мы легко сможем ответить, рассматривая график функции последования (3.19) — так называемую диаграмму Ламерея (рис. 124). Очевидно, графиком функции последования (3.19) является прямая линия с угловым коэффициентом [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...