Нормальная форма Биркгофа

Будем искать каноническую замену, приводящую гамильтониан к нормальной форме Биркгофа, поставив целью уничтожить как можно больше членов в разложении возмущенной части гамильтониана [c.308]

В этом примере нормальная форма Биркгофа может зависеть только от таких аргументов [c.309]

Определение. Гамильтониан имеет нормальную форму Биркгофа, когда он зависит только от полиномиальных первых интегралов (от инвариантов) невозмущенной части. [c.309]

Более короткое определение таково гамильтониан И = Ho + W имеет нормальную форму Биркгофа, если Hq, Нт) = 0. Через H.Q, Н обозначена скобка Пуассона, равенство нулю которой и есть условие первого интеграла. [c.310]

Эта формула является основной для формируемого ниже алгоритма приведения гамильтониана к нормальной форме Биркгофа. [c.311]

В общем случае, когда не все собственные числа Л1,..., Л чисто мнимые, также можно привести уравнения Гамильтона к нормальной форме Биркгофа. Детальное обсуждение этих вопросов содержится, например, в книге [230]. В общем случае уравнения Гамильтона имеют инвариантные асимптотические поверхности Е, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к положениям равновесия при I —> оо. Оказывается, преобразование Биркгофа может задаваться расходящимися степенными рядами, однако эти ряды сходятся в точках из Е. [c.130]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

С. В. Болотин [29] получил достаточные условия неинтегрируемости гамильтоновых систем в случае вещественности характеристических показателей, которые формулируются в терминах нормальной формы Биркгофа. [c.299]

Нормальная форма Биркгофа 128 [c.428]

Определение. Нормальной формой Биркгофа степени 8 для гамильтониана назовем многочлен степени от канонических координат (Р1, Qi), являющийся в действительности многочленом (степени [ /21) от переменных = (Р + )/2. [c.353]

Определение. Нормальной формой Биркгофа степени s для преобразования назовем каноническое преобразование плоскости в себя, являющееся поворотом на переменный угол, который является полиномом степени не выше т = [s/2J—1 от переменной действия т канонической полярной системы координат [c.354]

Теорема. Если система не резонансная порядка s и меньше, то существует 2п-периодически зависящее от времени каноническое преобразование, приводящее систему в окрестности положения равновесия к такой же нормальной форме Биркгофа степени s, как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены R степени s i и выше будут периодически зависеть от времени. [c.355]

Если мы захотим теперь воспользоваться нормальной формой Биркгофа для исследования однопараметрического семейства замкнутых траекторий, то мы встретимся со следующим затруднением. Прп изменении параметра семейства собственные числа линеаризованной задачи будут, вообще говоря, меняться. Следовательно, при некоторых значениях параметра мы неизбежно встретимся с резонансами, препятствующими приведению к нормальной форме. [c.356]

Особенно опасны резонансы низких порядков, так как они влияют на первые члены ряда Тейлора. Если нас интересует замкнутая траектория, для которой собственные числа близки к резонансному соотношению низкого порядка, то нормальную форму Биркгофа следует несколько видоизменить. А именно, при резонансе порядка N обращаются в нуль некоторые из выражений [c.356]

Тогда функцию Гамильтона можно привести к нормальной форме Биркгофа (см. добавление 7) [c.377]

Тогда функцию Гамильтона можно привести к нормальной форме Биркгофа такого же вида, как в автономном случае, но с 2я-периодическим по времени остаточным членом. [c.378]

Тогда отображение, если пренебречь членами выше третьей степени в ряду Тейлора в неподвижной точке, записывается в нормальной форме Биркгофа [c.379]

Таким образом, неподвижная точка сохраняющего площадь отображения плоскости на себя устойчива по Ляпунову, если линейная часть отображения является поворотом на угол, не кратный 90° и 120°, и если отличен от нуля коэффициент соц в нормальной форме Биркгофа (гарантирующий нетривиальную зависимость угла поворота от радиуса). [c.379]

Устойчивость частных решений. Относительно исследования устойчивости различных частных решений в динамике твердого тела (как в интегрируемых, так и общем случаях) можно рекомендовать книги [82, 152]. Устойчивость плоских колебаний и вращений в случаях Ковалевской с помощью нормальных форм Биркгофа исследовалась недавно [c.150]

Преобразование к нормальной форме можно производить не только в окрестности положений равновесия, но и, например, в окрестности периодических траекторий. Все сказанное выше с необходимыми изменениями справедливо и в этом случае. В следующей главе будут рассмотрены различные варианты теории возмущений, в которых функции Гамильтона также преобразуются к некоторому нормальному виду. Как и в случае нормальных форм Биркгофа, ряды теории возмущений в общем случае расходятся. [c.128]

Определение. Нормальной формой Биркгофа степени L для гамильтониана называется многочлен степени Ь от симплектических фазовых переменных Р, Q, являющийся в действительности многочленом степени Щ2] от переменных р( = [c.272]

Пример 2. Для системы с двумя степенями свободы нормальной формой Биркгофа степени 4 будет [c.272]

Теорема 6 (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (О не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка I и меньше. Тогда существует такая симплектическая замена переменных р, ( в окрестности положения равновесия, что в новых переменных функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени I с точностью до членов степени Ь+ [c.272]

Теорема 10. (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (о< 2л-периодической системы (15) не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка /. и меньше. Тогда симплектической 2я-периодической по времени заменой переменных функция Гамильтона приводится к такой же нормальной форме Биркгофа степени как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены степени -Ы и выше будут 2л-периодически зависеть от времени. [c.283]

Описанный метод приведения к нормальной форме, основанный на использовании производящих функций, называется методом Биркгофа. Он удобен для выяснения структуры нормальной формы. Для проведения вычислений в конкретных задачах удобен другой метод, основанный на привлечении однопараметрических групп Ли. [c.310]

При отсутствии резонансов (7.5) в гамильтоновой системе нет резонансов (7.4) порядка 3 и 4 (когда /г = к = 3 или А = 4). Поэтому, согласно классическому результату Биркгофа, вблизи точки р функция Гамильтона приводится к нормальной форме [c.300]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг,... от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, < (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310]

По-видимому, точки KgV, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме сходится, образуют в V подмножество первой категории. [c.319]

Согласно теореме Биркгофа, гамильтониан Н можно привести к нормальной форме Н = 1<2+К +Кь + - ч где К2т — однородная форма степени m от произведений = х у . В частности, Кц — [c.326]

При пользовании теоремой Биркгофа полезно заметить, что система, гамильтониан которой является нормальной формой, интегрируется. Именно, рассмотрим канонические полярные координаты т,, ф,, через которые P и Q выражаются по формулам [c.354]

Ряды Биркгофа (которые получатся если не ограничиваться нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — один из примеров формально состоятельной, но на самом деле расходящейся схемы теории возмущений. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной степенью свободы с периодическими коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления сепаратрис (а на самом деле оно есть). [c.363]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Такая, неупрощаемая никакими полиномиальными заменами, форма гамильтониана называется нормальной формой Биркгофа. Ниже будет дано более конкретное определение для этой формы. [c.308]

Свойства нормальной формы Биркгофа. 1) Асимптотика каждого конкретного порядка нормальной формы содержит минимальное число нелинейных членов соответствующего порядка, уже неумень-щаемое никакими полиномиальными преобразованиями. Поэтому и любой анализ свойств системы по ее нормальной форме является наиболее простым. [c.313]

Аналог теоремы 4 для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, указан в [74]. В работе [142] рассмотрена задача о приводимости к нормальной форме Биркгофа гамильтоновых систем с параметром, допускающих интегралы с вырожденными квадратичными частями. Пусть г = 2 и коэффициенты ьаг в квадратичной форме гамильтониана (11.1) как функции е удовлетворяют условию ГП]а1 + гпгаг О для всех целых т, т2, не равных одновременно нулю. В [142] доказано, что если гамильтонова система допускает формальный интеграл Г = Гд + Гд+ +. .. д 2), аналитический по е, причем однородные формы Гд и Яг функционально независимы при всех е, то существует нормализующее преобразование Биркгофа, аналитически зависящее от е. [c.130]

Теорема. Предположим, что собственные частоты щ не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка 8 и меньше. Тогда существует такая каноническая система координат в окрестности положения равноеесия, что в ней функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени 8 с точностью до членов степени + 1 . [c.353]

Теорема 2. Ес.ги собственное число К эллиптического кано-нонического преобразования не является корнем из единицы степени s и меньше, то это преобразование приводится канонической заменой переменных к нормальной форме Биркгофа степени s с погрешностью в членах степени s - - и выше. [c.354]

Никакого вывода о поведении незамкнутых фазовых кривых на бесконечном интервале времени (например, об устойчивости исходной периодической траектории по Ляпунову) из наших рассуждений не вытекает, так как отброшенные при приведении к нормальной форме члены высокой степени могут за бесконечное время совершенно изменить характер движения. В действительности в рассматриваемых условиях исходная периодическая траектория устойчива по Ляпунову, но док Сзательство требует существенно новых соображений по сравнению с нормальной формой Биркгофа (см. добавление 8). [c.365]

Отметим моменты в которых эта книга отличается от немецкого первоисточника. В первую главу К. Л. Зигель добавил два параграфа, посвяш енных тройным столкновениям в задаче трех тел. Глава II в сугцности не изменилась, за исключением добавленного доказательства сходимости преобразования к нормальной форме Биркгофа отображения, сохраняюгцего плогцадь, вблизи гиперболической неподвижной точки. Основные изменения были внесены в третью главу. Двадцать шестой параграф содержит новое и более простое доказательство теоремы Зигеля о конформных отображениях вблизи неподвижной точки. 32-36 содержат вывод теорем устойчивости для систем с двумя [c.11]

Широкое распространение в теории канонических систем получил метод нормализации гамильтониана в окрестности равно-ise Horo решения (положения равновесия), который, в сущности, является специальным методом замены переменных. Впервые вопросы нормализации гамильтоновых систем были подробно исследованы Биркгофом [161, 162]. К первоначальной канонической системе применяется такая каноническая замена переменных, чтобы в новых обобщенных координатах и импульсах функция Гамильтона имела наиболее простой вид, который и принято иа- 1ывать нормальной формой гамильтониана возмущенного движения. [c.195]

Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осугцествлена либо при помогци классического преобразования Биркгофа [21], либо при помогци сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17 метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = Pj =0. Нелинейная нормализация последовательно упрогцает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка включительно. [c.116]

Идея приведения гамильтоновых систем к нормальным формам восходит к Линдштедту и Пуанкаре ) нормальные формы в окрестности положения равновесия подробно изучал Дж. Д. Биркгоф (Б и р к г о ф Дж. Д. Динамические системы.— М. Гостехиздат, 1941). [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...