Периодические траектории биллиарда Биркгофа

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ БИЛЛИАРДА БИРКГОФА [c.57]

Любой п-звенной периодической траектории биллиарда Биркгофа соответствует (неоднозначно) критическая точка функции L в области D - и любой критической точке функции L в области D соответствует п-звенная периодическая траектория биллиарда. [c.59]

В силу принципа Мопертюи каждой п-звенной периодической траектории биллиарда Биркгофа соответствует критическая точка функции длины L на торе Т". С другой стороны, периодические решения динамических систем являются неподвижными точками отображения Пуанкаре. [c.66]

Замечание. Из формулы (6.2) и (6.3) вытекает, что мультипликаторы периодической траектории биллиарда Биркгофа, инвариантной относительно поворотов на угол 2я/п, вещественны и по абсолютной величине равны единице тогда и только тогда, когда [c.77]

Генетический метод в динамике систем с ударами, развитый в гл. 1, оказывается достаточно эффективным средством исследования устойчивости периодических режимов колебаний. В частности, с его помощью можно получить условия устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа, обсуждавшиеся в гл. 2. [c.83]

В настоящей главе будет дано вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании периодических траекторий биллиарда в следующей уточненной формулировке. [c.58]

Особое место в книге занимают вопросы существования и устойчивости периодических траекторий упругих биллиардов. Дано вариационное доказательство известной теоремы Биркгофа об [c.4]

Здесь V — постоянная скорость движения точки внутри биллиарда Биркгофа значения функции p(t) указаны на ее периоде. Величина I характеризует смещение точки в направлении, ортогональном отрезку невозмущенной периодической траектории. [c.87]

Доказательств,о. Зафиксируем п я к. Для любого биллиарда из и А,а по теореме Биркгофа существует периодическая траектория типа (п, к). Построим новую кривую, принадлежащую ил,а, которая как угодно мало отличается от исходной (в смысле метрики пространства и а,а), причем соответствующий биллиард имеет невырожденное периодическое решение того же типа. [c.123]

С учетом отмеченного выше эвристического предельного перехода из этого утверждения получаем следующий результат для биллиарда Биркгофа индекс Морса невырожденной эллиптической четно-звенной периодической траектории с упругими отражениями всегда нечетный. В главе 2 этот результат получен как следствие теоремы 2. [c.157]

Доказать, что число N п) геометрически различных периодических траекторий биллиарда Биркгофа с числом звеньев, не преэосходящим п, удовлетворяет оценке [c.81]

Уравнение Хилла часто встречается в задачах об устойчивости периодических движений с ударами. В качестве еще одного примера рассмотрим вопрос об устойчивости двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа точка движется по отрезку длины t, периодически упруго отражаясь от кривой. Эта задача решена в 6 гл. 2. Обозначим радиусы кривизны граничной кривой биллиарда в концевых точках отрезка через Ri и R , пусть Ri R2- Снова вводя поле упругих сил, получим уравнения в вариациях, аналогичных условию (1.8) [c.86]

Отметим еще, что периодические движения (1.2) являются решениями гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Поэтому два их мультипликатора равны единице, а остальные нетривиальные мультипликаторы определяются как корни характеристического уравнения (1.14), отвечающего уравнению Хилла (1.8). Аналогичное замечание относится и к задаче о двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа. [c.89]

Уравнение Хилла (4.2) с таким коэффициентом совпадает с уравнением в вариациях для двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа в частном случае, когда 2=°° (см. 3). Критерий устойчивости может быть получен из неравенства Ляпунова, (2.13) [c.96]

При больгиих значениях h фазовый портрет фактически весь состоит из регулярных траекторий и его вид определяется двумя — устойчивым и неустойчивым — двухзвенными периодическими движениями (рис. 18, h = 25). При h оо вся картина стремится к множеству горизонтальных прямых линий, что (как и в случае биллиарда в однородном поле) отвечает классическому кинематическому круговому биллиарду Биркгофа. [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...