Аналитические выражения для коэффициентов функции

В теории теплопроводности при рассмотрении задачи об охлаждении сплошного конечного цилиндра обычно ограничиваются выводом аналитического выражения для собственных функций, т. е. по существу уравнением (3.8) 12, 3] решения уравнений (3.7), аналогичных уравнениям (2.2), (2.9) и (2.14), не исследуются, подобно тому, как это делают в простейших случаях [2, 3, 4]. Причина этого состоит в том, что из уравнений обычной теории теплопроводности не вытекает прием, которым можно уменьшить число параметров, выражающих зависимость между коэффициентами ntj (в том числе и интересующим нас т) и величинами а, X, Суо, Z и D. Не указывает этого приема и теория подобия. [c.57]

Для определения аналитических выражений остальных передаточных функций системы (8-7) необходимо решить систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений (8-1), (8-5) с постоянными по длине коэффициентами, зависящими от комплексного параметра S. Предварительно исключим изменение расхода рабочей среды 8D2(X, s) из системы уравнений динамики теплообменника. Для этого представим уравнение сплошности в интегральной форме [c.114]

Аналитические выражения для функций Ф и можно установить из уравнений пограничного слоя. Уравнение (1-85) можно рассмотреть, например, совместно с уравнением энергии, уравнениями момента количества движения или уравнением (10-74). Если, кроме того, ввести однопараметрическое семейство профилей скорости, Ф можно легко выразить функцией Н, тогда как зависит от Я, локального коэффициента трения С/ и других величин, характеризующих поле турбулентного течения. [c.275]

Аналитическая модель. Распределение потенциала двухэлектродной симметричной иммерсионной линзы всегда может быть записано в виде (3.183). Так как в уравнении параксиальных лучей (7.1), так же как и в выражениях для коэффициентов аберрации (уравнения (7.4) и (7.5)), присутствуют только отношения первой и второй производных к распределению потенциала, очевидно, что оптические свойства линзы зависят от функции распределения ф(г) и отношения потенциалов изображение— объект (Уг—С/о)/(У1—и ). Структура указанных уравнений показывает, что отношение потенциалов входит в них в нелинейном виде, поэтому нужно всякий раз решать эти уравнения для каждого отношения потенциалов, за исключением очень малых значений этого отношения, когда могут быть использованы формулы тонкой линзы, и очень больших значений, когда некоторые уравнения могут быть упрощены. Можно аппроксимировать характеристические оптические величины степенными рядами отношения потенциалов [44], но результирующее выражение также будет чрезмерно громоздким, а его точность будет зависеть от диапазона отношения напряжений. Зависимость этих величин от отношения напряжений для реальных линз будет исследована в соответствующих разделах численными методами. [c.389]

Низкие значения коэффициентов демпфирования имеют незначительное влияние на указанные максимальные амплитуды, которые возникают еще до того, как рассеется значительная часть энергии. Однако в семействе кривых, описывающих спектральные характеристики при демпфировании, каждая кривая, которая соответствует значению коэффициента демпфирования, может быть всегда построена для возмущающей силы произвольного вида. Для простых случаев это можно сделать, используя при решении соответствующие аналитические выражения для функций, но в более сложных случаях следует прибегать к численным подходам. [c.114]

Поскольку функция бел (ер) определяется только численно и для нее нет явного аналитического выражения, были рассчитаны коэффициенты ее полиномиального представления [c.173]

Подынтегральная функция в первой части этого равенства в соответствии с теорией тонкого тела и методом определения угла скоса потока путем нахождения индуцированного правым и левым свободными вихрями поля скоростей имеет аналитическое выражение. После подстановки соответствующих величин в (11.24) и некоторых преобразований получается зависимость для коэффициента интерференции оп, расчеты по которой проводятся методом численного интегрирования. [c.618]

Когда коэффициенты уравнения До,. .., а,г постоянны, можно получить явное аналитическое выражение, определяющее правило действия оператора на входную функцию u(t) для этого достаточно решить уравнение (2.1.14) с граничными условиями (2.1.16). 44 [c.44]

Методика гармонического анализа применительно к геометрическим и кинематическим расчетам плоских механизмов приводится во многих работах, например [18, 75, 76, 86]. Для передаточных функций некоторых видов плоских рычажных механизмов получены аналитические выражения коэффициентов рядов Фурье, которые частично будут использованы ниже. Следует, однако, иметь в виду, что при динамическом расчете механизма аналитическое описание коэффициентов Фурье не является существенным, так как численные значения этих коэффициентов независимо от сложности механизма могут быть легко определены даже на малых ЭВМ. [c.250]

Какой аналитический смысл этих коэффициентов. Для выяснения этого запишем выражение передаточной функции П [см. формулу (3), гл. XI] в таком виде [c.287]

Реализация математических моделей теплообменников на ЭВМ сводится к вычислению массива комплексных значений передаточных функций непосредственно по приведенным выше аналитическим выражениям при заданных значениях комплексного параметра преобразования Лапласа (частоты) и коэффициентов уравнений динамики для каждого теплообменника. [c.129]

Составление разрешающих нелинейных уравнений даже для таких простых систем достаточно сложно. Получить такие уравнения в явном виде относительно неизвестных перемещений удается крайне редко, так как интегрирование выражения (3.13) в общем виде может быть затруднено как сложностью функции Ог(е,), так и наличием радикала, обусловленного формулой для вычисления ei. Таким образом, как правило, информация о структуре нелинейных уравнений будет не в виде аналитических выражений, а в виде набора алгоритмов, по которым можно получить. тот или иной коэффициент системы, нелинейных уравнений. [c.72]

Для нахождения аналитического выражения амплитудной характеристики ее аппроксимируют степенным многочленом (или иной функцией [11]), после чего с помощью ЦВМ находят коэффициенты функции, при которых сумма квадратов остаточных разностей между экспериментальными и аппроксимирующими значениями коэффициента преобразования имеет минимум. [c.307]

И различных значениях коэффициента усиления среды. На этих же рисунках приведены результаты расчета тех же параметров для пустого резонатора. Чтобы получить эти результаты, записанные в аналитических выражениях, оказалось необходимым решить задачу расчета функции Бесселя от комплексного аргумента, причем с очень большим значением его вещественной части (2.83). В справочниках по специальным функциям (например, [25]) известны значения Jq для максимальных значений ее аргумента, равных десяткам. Нам же для анализа резонатора СОг-лазера требуются Jo с комплексными аргументами, у которого вещественная часть порядка 10 . Таким образом аналитически решенная [c.96]

Аналитическое выражение коэффициента Е—сложная комбинация из функций Бесселя. Для технических расчетов удобнее определять его значение для круглых или квадратных ребер по фиг. 32 и 33 в зави-- [c.97]

Аналитические выражения для коэффициентов функции последования. Характеристический показатель замкнутой траектории. Аналитические выражения для коэффициентов а,- могут быть найдены методом, полностью аналогичным тому, которым находятся ляпуновские величины (см. гл. 3). [c.103]

Приведенной системе уравнений соответствует структурная схема процесса, представленная на рис. 1. На осно1ванпн ее могут быть получены передаточные функции процесса точения для рассматриваемых управляющих воздействий v, Ру, Рд, Рц, , М или возмущения в виде изменения припуска на обработку й . Так, для анализа динамических свойств объекта по каналу управления общая структурная схема может быть преобразована к виду, показанному на рис. 2.. Аналитические выражения для коэффициентов передачи, входящих в соотношение (2), могут быть найдены из уравнений прогиба для [c.37]

Н. А. Махутовым /34/ было показано, что для материалов с невысокой степенью деформационного упрочнения и для острых концентраторов формула Нейбера дает завышенные значения местных напряжений и деформаций в упругопластической области. В связи с этим было предложено вводить в правую часть формулы Нейбера (5.2) поправочную функцию = Ф (otfj. Стср- сомножитель коэффициента. Значение данной поправочной функции в каждом конкретном случае находят численно или экспериментально. В рамках принятой однопараметрической модели получено аналитическое выражение для определения параметра ,, [c.129]

Найти функцию f аналитическим путем и общем виде не представляется возможным. Для получения необходимых зависимостей, выражающих теплоотдачу, можю использовать теорию подобия или теорию размерностей. Эти теории позволяют вместо размерного уравнения (5-5) представить выражение для коэффициента теплоотдачи в форме зависимостей, состоящих из безразмерных комплексов (критериев подобия). [c.208]

Коэффициент отражения для химического соединения или смеси различных веществ является сложной функцией концентрации компонентов смеси. Отсутствие в настоящее время строгой теории отражения электронов затрудняет вывод аналитического выражения для зависимости коэффициента отран енмя от концентрации. Экспериментальные ист следования этой зависимости показывают, что она близка к линейной [2, 31. Поэтому при определении чувствительности описываемого метода измерения концентрации можно принять, что ток, созданный в камере -частицами, отраженными от бинарной смеси, равен [c.224]

Для объяснения концентрационной зависимости коэффициентов активности в металлических и солевых фазах, было применено уравнение Ван-дер-Ваальса (см. гл. II, п. 4). Необходимые уравнения были выведены и обсуждены Ван-Лааром и Лорен-цом [380]. Были также рассмотрены системы с добавками других веществ [382, 378]. Концентрационные функции коэффициентов активности как металлической, так и солевой фазы содержат неизвестную постоянную Да. Необходимо определить эти константы, так же как и постоянную для закона действующих масс. Для их определения должны быть известны три пары молярных долей сосуществующих фаз Хд и Если эти константы известны, иногда может быть получено удовлетворительное аналитическое выражение для серии измерений в широкой области концентраций. Однако исследования Лоренца и его сотрудников часто подвергались критике. Кербер и Эльсен [164, 168, 176] оспаривали его экспериментальную методику. Вагнер и Энгельгардт [394] показали, что некоторые величины, приводимые Лоренцом и сотрудниками, находятся в полном противоречии с теплотами смешения, определенными Каваками [157, 158]. [c.150]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Помимо аналитических выражений, для функций г (т) и S (со) в табл. 1.1 приведены значения эффективной ширины спектра АсОэ, нормированного спектрального момента 2 = —г"(0), который для первых восьми функций равен = 2 а также коэффициента формы спектральной плотности [c.23]

Функц[ Оиальные связи у, с 1 ,-, а следователыю, и выражения для коэффициентов влияния ду 1д в аналитическом виде могут быть известны лишь в частных случаях. В общем случае у) вычисляется путем решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, [c.124]

В [2] получено аналитическое выражение для определения коэффициента трения как функции параметров 1иикропрофиля, физических свойств поверхностей трения и удельного давления. Однако, принимая во внимание допущения, вводимые в [2], о пренебрежимой малости адгезионной составляющей коэффициента трения при наличии между поверхностями скольжения смазки и его деформационной составляющей при контактировании деталей с большим модулем упругости (металлы), получаем /=Р, где р — пьезокоэффициент, определяемый экспериментально для каждой пары трения, вида смазки и не изменяющийся в процессе трения. [c.335]

Наличие диссипации не меняет обсуждавшихся в 1 граничных условий на поверхностях контакта упругих сред. Конечно, остается без изменений и уравнение движения (1.50). Позтому на слоистые вязкоупругие среды полностью переносятся все полученные в 1, 4 и 6 результаты, лишь значения X и повсюду следует считать комплексными. В частности, для компонент матрицы рассеяния на границе двух вязко-упругих полупространств можно пользоваться выражениями (4.28) —(4.32). Применимость результатов, аналогичных полученным в 4, для вязко-упругих сред неоднократно подтверждалась экспериментально (см., например [298] ). Хотя аналитические выражения для плосковолновых коэффициентов отражения, трансформации и прозрачности сохраняются, но благодаря комплексности Хиц они существенно меняют свое поведение, например, как функции угла падения. Подробный анализ зависимости этих коэффициентов от угла падения и параметров вязко-упругих сред можно найти в работе [248, гл. 1], в которой собран значительный расчетный материал. [c.145]

Аэродинамическая подъемная сила и момент. Для аэродинамических поверхностей малой относительной толщины, помещенных в поток несжимаемой жидкости, Теодорсен [6.66] показал, исходя из основных положений теории потенциального обтекания, что выражения для и Ма линейны относительно Л и а и их первых и вторых производных. Коэффициенты в этих выражениях, называемые аэродинамическими коэффициентами, определяются посредством двух полученных теоретически функций Р к) и О к) [6.66], где к = 6со/ / — приведенная частота Ь — половина хорды профиля аэродинамической поверхности и — скорость течения и со — угловая частота колебаний. Комплексная функция С (к), для которой Р(к) и О (к) являются соответственно действительной и мнимой частями, известна как функция Теодорсена (рис. 6.21). В результате обширных научных исследований, проведенных при режимах полета летательных аппаратов во всех диапазонах скоростей, дальнейшее развитие получили аналитические выражения для всех необходимых в расчетах аэродинамических коэффициентов. По данному вопросу имеется обширная литература, и работы [6.67—6.70] являются полезными введениями в эту область. [c.180]

Аппроксимация функции (0) такого вида существенно упрощается задается произвольный набор точек интерполяции 0,-, = = 1, п, и один раз решается система (5.56). Предлагаемая процедура, названная в [236] методом интерполяционного синтеза> (ИС), применима для расчета многих устройств СВЧ и низкочастотного диапазонов. При этом, в отличие от метода неопределенных коэффициентов и классического метода синтеза, можно не оперировать громоздкими аналитическими выражениями для /(у, 0) л Р(в), а вся подготовительная работа для реализации метода ИС сводится к разработке процедуры вычисления /(у, 0). В известной мере метод ИС является наиболее общим и алгоритмически наиболее эффективным методом оптимизации устройств, для которых известна физически реализуемая функция f (0). [c.156]

Отдельные задачи теории упругости можно решить, задаваясь некоторым аналитическим выражениел для функции ф, содержащим неизвестные коэффициенты (или даже функции). Затем составляются выражения для напряжений и подбираются неизвестные коэффициенты (или функции) так, чтобы удовлетворялись условия на поверхности тела. [c.82]

Аналогично рассмотренной задаче синтеза шарнирного четырехзвен-ника решаются задачи синтеза всех других плоских четырехзвенных механизмов. Для каждого механизма можно получить аналитическое выражение взвешенной разности и далее искать неизвестные коэффициенты приближаюш,ей функции из условий приближеиия функций. Поскольку эти вычисления однотипны, рассматривать их не будем, а перейдем к решению задач синтеза пространственных механизмов. [c.378]

Амплитуда дифракционного луча пропорциональна амплитуде порождающего его первичного луча. Константа пропорциональности называется коэффициентом дифракции D. Физический смысл коэффициента дифракции состоит в том, что он определяет соотношение амплитуд Лдиф луча, распространяющегося в направлении луча с амплитудой Лцад, его порождающего, с учетом локальных особенностей формы тела, на котором лро-исходит дифракция, т. е. q (а) — это функция, определяющая форму тела, на котором происходит дифракция. Зная распределение коэффициента дифракции по разным направлениям дифрагированных волн, можно восстановить функцию q (а). Коэффициенты дифракции определяются из решения модельных задач дифракции продольных и поперечных волн на телах простой формы, для которых можно получить аналитические выражения. [c.36]

На рис. 3.9 показано влияние выбора параметров р, п, мин и на кривые зависимостей Е((и) и т](а)), определяемые выражениями (3.6) и (3.7). Интересно отметить, что обе функции (0)) и Ti((o) можно полностью описать четырьмя постоянными мин, макс, р И п, которые нзходятся ИЗ экспериментов для построения аналитических выражений, описывающих свойства материалов. Полезно ввести модуль потерь материала Е", который равен произведению модуля упругости и коэффициента потерь [c.116]

Определим зависимости давления воздуха в рабочей камере объемных пневмодвигателей от угла поворота вала и от времени. Давление в рабочих камерах является функцией времени в связи с тем, что цикл рабочих процессов в камере состоит из трех-пяти фаз и каждая фаза, отличаясь от предыдущей величиной пропускной способности воздухораспределительных каналов, начинается с переходного процесса, зависящего в аналитическом выражении от времени. Для объемных пневмодвигателей могут быть применены дифференциальные уравнения термодинамики, составленные для поршневых многоцилиндровых пневмодвигателей [6] на основе ряда допущений, позволивших рассматривать цилиндр пневмодвигателя как проточную камеру с переменным объемом (2) или (5), а подводящие и отводящие каналы — как дроссели с переменным сечением и переменным приведенным коэффициентом расхода. При этом считаем, что воздух является совершенным газом и его параметры изменяются квазистатически (одновременно по всему объему рабочей камеры), а теплообмен между воздухом и стенками 200 [c.200]

На характеристику преобразователя в смысле величины коэффициента трансформации момента влияет, как в этом легко убедиться из аналитических выражений моментов, направление выходных кромок рабочих колес (углы pi2, Р22 Р32), в то время как входные кромки этого влияния не оказывают. Основная функция гидротрансформатора Трилок — это разгон локомотива или какой-либо другой приводимой машины, поэтому для работы передачи Трилок в качестве преобразователя более важны величина и характеристика коэффициента трансформации момента, чем значение к. п. д. [c.260]

Подчеркнем, что К-—длина волны света, реально падающего и дифрагирующего на элементе, тогда как Яо — условная длина волны, используемая для аналитического выражения структуры ДОЭ (коэффициента пропускания i). Только в частном случае голографической записи ДОЭ Яо приобретает реальный физический смысл длины волны интерферирующего света при изготовлении элемента. В дальнейшем во всех случаях будем называть Ло длиной волны записи, функцию Фо — эйконалом записи, соответственно Ф и Фт — эйконалами падающей и дифрагированной волн. Отметим, что понятие эйконала записи ДОЭ является основным в теории ДОЭ и используется как при аберрационном анализе, так и при расчете структуры дифракционных линз с заданными характеристиками. Как следует из соотношения [c.13]

Обыкновенно не имеется аналитического выражения f(t), а на основании снятых индикаторных диаграмм возможно только графически представить изменение этой функции тогда разложение в ряд (4) можно выполнить графическим приемом Фишер-Хиннена i) или известным прибором гармонический анализатор , который за один обвод дает пять коэффициентов ряда синусов и пять коэффициентов ряда косинусов, что вполне достаточно для практических целей. Когда разложение тем или другим способом выполнено, мы можем уравнение (3) переписать так [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...