Приложение Г. Формулы разложений в ряд

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ФОРМУЛЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД Разложение в ряд Тейлора [c.643]

Когда желают определить центр тяжести произвольного тела заданной формы, например какой-нибудь металлической массы, то нужно применить полученные формулы к телу, образованному очень большим числом материальных точек, расположенных на очень малых взаимных расстояниях. Этой трудности можно избежать, рассматривая тело как непрерывное, что не соответствует действительности, но дает вполне достаточное для приложений приближение. Мы отсылаем читателя, желающего получить более подробное представление о законности такой замены заданного тела сплошным, к главе VI Механики Пуассона, относящейся к теории притяжения тел. Уподобляя таким образом твердое тело некоторому сплошному объему, мы предполагаем его разложенным на бесконечно большое число бесконечно малых частей и помещаем центр тяжести каждой из таких частей в какой-нибудь точке ее массы. Тогда формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, разбитого на [c.133]

Определение наименьшего параметра для стоек с шарнирно неподвижными концами, с защемленными концами, с одним защемленным и с другим неподвижным шарнирным концом целесообразно производить по приближенным формулам (см. приложение 8). Эти формулы получены разложением в степенные ряды трансцендентных функций pi(v) p2(v) 4(7) rji(v) и -/. (v). [c.276]

При вычислении квантово-статистического среднего от этого выражения воспользуемся кумулянтным разложением, доказанным в Приложении 8. Приходим к следующей формуле [c.243]

Традиционный метод вычисления этого интеграла [42] состоит в разложении функции Эри в подынтегральном выражении в ряд Фурье по формуле (I.I7). Результат интегрирования удобно выразить через Л-функции, приведенные в формуле (1.20) и описанные в приложении. АК реального ИФП с клином принимает в том случае согласно работам [4, 42] вид [c.21]

Разложение силы на две параллельные составляющие так же, как и разложение силы на составляющие, направленные под углом, является задачей неопределенной. В каждом отдельном случае необходимо иметь дополнительные данные, вытекающие нз условий задачи. Так, если, например, заданы точки приложения (или линии действия) обеих составляющих, или точка приложения (или линия действия) и величина одной из составляющих, или точка приложения одной из составляющих и отношение их величин, тогда задача становится определенной и решается по формулам, приведенным в предыдущих двух параграфах. [c.41]

Формула для произвольных концентраций дислокаций приведена в приложении работы [47], но при учете только двух первых слагаемых кластерного разложения, когда имеются несколько типов дефектов с концентрациями g. [c.242]

Предположим, что нам даны две антипа-раллельные силы Р тл Р с точками приложения и А2 (черт. 45). Мы будем рассматривать только тот случай, когда модули Р и Р антипараллельных сил Р и Р между собою не равны предположим, что, например, будет Р > р2 Разложим силу Р на две параллельные, направленные в одну сторону силы Р и Р так, чтобы было р — / 2, и чтобы сила Р была приложена в точке тогда силы Р и Р взаимно уравновесятся. Такое разложение возможно только единственным образом. В самом деле, из равенства р -и р = р мы находим для модуля силы Р единственное значение Р= Р — — точка С её приложения определяется также как единственная, так как из формулы (5.1) мы имеем [c.80]

Для этого напомним выписанное в приложении Д соответствую-ш,ее асимптотическое разложение функции Эйри. Из формулы (5.21) следует, что положительные значения аргумента функции Эйри соответствуют классически недоступной области потенциала, в то время как отрицательные значения описывают классически разрешённую область. [c.188]

Если же на форму тела и распределение масс внутри него не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые были Сделаны в начале этого параграфа, интеграл, (1.1.1) можно вычислить только при помощи ряда. Наиболее распространенным в настоящее время разложением для потенциала является разложение по сферическим функциям. Применение сферических функций, как мы увидим в 1.5, позволяет получить довольно простую и удобную для практических приложений аналитическую формулу для потенциала. [c.13]

При рассмотрении более высоких порядков величины пг—1 строгое различие между предельными случаями, описанными в гл. 7 (рассеяние Релея — Ганса) ив гл. 11 (аномальная дифракция), исчезает. Однако оказывается, что в большинстве оптических приложений более применима последняя теория. Рассеяние Релея — Ганса ограничено областью, где Р< 1. Оно имеет место при малых значениях х, так что для строгого решения достаточно нескольких членов в формулах Ми. Одпако область аномальной дифракции включает всю область значений х, в которой ослабление обнаруживает большие флуктуации. Поскольку первый максимум находится вблизи х=2,0/(/п—1), то х принимает довольно большие значения, и было бы желательно получить приближенное аналитическое решение. Такое решение можио было бы найти из разложения, в котором первый член давал бы аномальную дифракцию. Однако такого разложения до сих пор не получено. [c.228]

Имея в виду ограничится в последующем рассмотрением оболочек, загруженных лишь нормально приложенной нагрузкой 2 (а, 3) (Х" =0, У =0) или такой нагрузкой, тангенциальные компоненты которой в коэффициентах разложений (7.8) или вовсе не фигурируют, или несущественны, мы опустили в формулах [c.105]

Соотношение (15.4) является частным случаем закона сохранения квазиимпульса , который подробно обсуждается в приложении Н (т. 2). Здесь мы лишь отметим, что формула (15.4) представляет собой весьма правдоподобную модификацию закона сохранения импульса, справедливого для пустого пространства. Действительно, хотя электронные уровни в периодическом потенциале и нельзя считать отдельными плоскими волнами, как в пустом пространстве, тем не менее их можно представить в виде суперпозиции плоских волн, волновые векторы которых отличаются лишь на векторы обратной решетки [см., например, разложение (8.42)]. [c.294]

В важном для приложений случае, когда в каждом слое можно пользоваться приближением ВКБ и нас интересует только главный член высокочастотных асимптотических разложений поля, общие формулы (10.46), (10.47) значительно упрощаются. Полагая в (10.50) еу = О и подставляя в (10.47),. находим коэффициенты 2,3,4 с точностью до множителя [1 + 0 (koL) ]. После несложных преобразований формула пересчета импеданса (10.46) принимает вид [c.215]

Второй возможный шаг состоит в разложении непериодической силы f t) на простые гармонические компоненты, чтобы получить, согласно формул (2.21), трансформацию Фурье F т). Результирующая реакция системы на силу f t) определится тогда методом контурных интегралов типа (6.5), где Z (ш) может быть Z или в зависимости от того, требуется ли найти движение в точке приложения силы или же в какой-либо другой точке системы. [c.68]

При приближенном решении рама тележки рассматривается в виде статически определимой системы, и нагрузки на колеса определяются разложением сил и моментов. При этом рама тележки принимается в виде конструкции, состоящей из шарнирно сочлененных балок или в виде жесткой рамы. В последнем случае рама рассматривается как абсолютно жесткое тело, опирающееся до нагружения во всех четырех точках. При этом формулы, определяющие силы давления четырех ходовых колес, линейны относительно эксцентриситета приложения нагрузки, что не противоречит принципу независимости действия сил. [c.53]

Приложение формулы (17.12.1) к обработке опытных д.шных было начато больше чем через пятьдесят лет после появления работы Вольтерра. Следует отметить, что во всех этих новейших работах исследовались материалы, поведение которых мало отличалось от линейного. Поэтому в разложении (17.12.1) было достаточно удержать два члена, соответствующих однократному и тройному интегралам. Двукратный интеграл обычно отбрасывается, так как поведение материала при растяжении и сжатии предполагается одинаковым. Даже при таких упрощениях определение вида ядра, зависящего от трех независимых аргументов, довольно затруднительно. Обращение соотношения (17.12.1) имеет тот же вид, но фактическое выполнение такого обращения встречает существенные трудности. Лишь относительно недавно (1957 г.) кратно-интегральное представление было распространено на случай трехмерного напряженного состояния. При сохранении интегралов до трехкратных включительно поведение изотропного материала описывается при помощи 12 независимых ядер. Многие авторы поэтому стремились упростить полученные соотношения, делая те или иные предположения. Мы не будем здесь касаться этих вопросов. [c.607]

Формула разложения двойного векторногэ произведения (23) находит очень часто применение в приложениях векторного исчисления. Из этой формулы вытекает, между прочим, что свойством сочетательности векторное произведение не обладает, т. е. двойные произведения [V и [[г) ] 2]> Бообш е, не равнь. [c.41]

Если сила F дана своими проекциями F на оси координат и даны координаты х, у, Z точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момеггт oi-носителыю начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем Рис. 21 по формуле [c.26]

Наиболее существенные результаты в динамической механике разрушения получены в рамках линеаризованной теории, в которой предполагается, что зона проявления нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещины, а поле напряжений вокруг пластической области оппсывается асимптотическими формулами, полученными из решения упругой задачи. Это поле напряжений сингулярно, и главный член его разложения по степеням расстояния от конца трещины г, как п в статике, имеет вид К/У г. Угловое же распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины стационарной трещины одинаково при статическом и динамическом нагружении, а влияние инерционного эффекта заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений становится зависящим от времени. Кроме того, исследования показывают, что спустя некоторый период времени после приложения нагрузки характер зависимости коэффициентов интенсивности напряжений и импульсных нагрузок от времени идентичен. Однако в течение этого периода времени коэффициент интенсивности напряжений достигает своего пикового значения, иногда значительно превышающего статическое (аналогичный вывод можно сделать и в случае гармонического нагружения тела с трещиной). [c.407]

Даламбер в своих Исследованиях о предварении равноденствий ( Re her hes sur la pre ession des equinoxes ) первый открыл законы равновесия нескольких сил, приложенных к неизменяемой системе точек. Он пришел к ним очень сложным путем, пользуясь сложением и разложением сил. Позднее эти законы были доказаны другими авторами более простыми путями, однако наши формулы обладают тем преимуществом, что они непосредственно приводят к этим законам. [c.83]

Хотя формально все коэффициенты а в формуле (10.11) играют одинаковую роль, усилия, представляемые соответствующими членами разложения краевого усилия, по-разному влияют на деформации стержня. Приложенные к торцу стержня нормальная сила N и моменты М , Му вызывают появление соответствующих силовых факторов во всех сечениях стержня. Приложенные в краевом сечении самоуравновешенные силы, пропорциональные О) (бимомент), вызывают медленно затухающие по длине стержня деформации (они затухают на длине порядка b lh, где Ь — характерный размер сечения, h — толщина стенки). [c.413]

В V главе рассматриваются конечные перемещения твердого тела в пространстве, показано сложение и разложение конечных поворотов, а также решение ряда кинематических задач с применением принципа перенесения. Изложена разработанная автором теория определения положений пространственных механизмов, дано исследование механизмов с избыточными связями и показаны конкретные приложения. Заметим, что авторы работ по винтовому исчислению не использовали в явном виде принцип перенесения как метод общего подхода к пространственным задачам. Принцип перенесения, как правило, выявлялся индуктивным путем — винтовые формулы выводились в каждом, отдельном случае и затем, а posteriori, демонстрировалось их сходство с векторными, принцип же как таковой не использовался для вывода винтовых формул. А между тем, этот принцип приводит к эффективному методу решения пространственных задач, связанных с движением твердого тела, и позволяет заранее предвидеть качественный результат. Выясняется полная аналогия теорем и формул кинематики сферического движения с теоремами и формулами кинематики произвольного движения, если перейти от вещественных переменных к комплексным. Хорошо известна аналогия (хотя бы качественная) между кинематикой сферического движения и кинематикой плоского движения, ибо сферические движения в малом являются плоскими, а в большом могут быть отображены на плоскость с сохранением качественных и некоторых количественных соотношений. Отсюда следует, что любая теорема плоской кинематики имеет свой аналог в пространстве (с соответствующей заменой геометрических элементов). На основании этого соображения возникает, например, пространственное обобщение известной формулы и теоремы Эй-лера-Савари, пространственное обобщение задачи Бурместера о построении четырехзвенного механизма по пяти заданным положениям звена и др. [c.9]

Остановимся кратко на задачах включения для цилиндрической оболочки. Для пластин эти задачи детально обсуждены в первых трех главах книги. Что 1 касается круговых цилиндрических оболочек, то работ в этой области немного. Можно сослаться на статью Ф. Фишера [75], в которой исследован случай бес- конечно длинной круговой цилиндрической оболочки с бесконечно длинным реб-ром, нагруженным в начале координат продольной сосредоточенной силой (ана- лог задачи Е. Мелана для пластины). Решение задачи стронтси путем разреза-ния оболочки по линии присоединения ребра. Получается незамкнутая панель,, к уравнениям которой сначала применяется преобразование Фурье по продоль- Ной координате. После этого интегрируются обыкновенные дифференциальные уравнения. Константы определяются в явном виде из условий стыковки с реб- > ром для изображения. Трудность, как обычно, состоит в вычислении интегралов. обратного преобразования. Это делается комбинированием квадратурных формул. и асимптотических разложений. Показано, что решеняе по теории пологих оболочек и теории И. Снмондса [82] практически совпадает. Эта задача с учетом изгиба ребер в цитированной статье Ф. Фишера решена впервые. Характер особенностей решения в окрестности приложенной силы, однако, в работе не выведен. Но можно отметить, что как и в задаче Мелана, касательные усилия взаимодействия между ребром и оболочкой будут иметь логарифмическую особен- ность в точке приложения силы. К задаче включения можно приписать и задачу [c.322]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

Y к нулю. Из свойств, определенных нами в п. 1.2 и в приложении Л-функций, следует, что Лр,(2зха,п) 1 при а,- 0, и фор мула (2.54) переходит в формулу (1.17) — разложение в ряд Фурье функции Эри. [c.70]

Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а к а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой [c.92]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Для определения точки Те приложения равнодействующей Р силы инерции звена 6 применим способ, изложенный выше и основанный на разложении плоскопараллельного движения звена на поступательное и на вращательное. Определение положения точки Ге ясно из построений (рис. 73, а). В точке Тд и может быть приложена сила Р , величину и направление которой определяют по формуле (8.5), Точкой приложения силы Р , лгожет быть выбрана любая точка, лежащая на прямой //, проходящей через точку Те- Силу Р и момент пары сил заменяем равнодействующей Р , приложенной в точке Q, причем сила Р расположена от силы Р на расстоянии [c.150]

В статье [41] отыскивается распределение давления на контакте невесомого штампа, круглого в плане, с-упругим полупространством. Под воздействием силы P- -Qe , приложенной к штампу, в полупространстве возникают колебания с частотой т. Подошва штампа задана уравнением z=w r, ф). Полагается, что функция w допускает разложение в ряд Фурье по угловой координате. Автор приводит эту задачу к парным интегральным уравнениям и затем методом Кука — Лебедева — к одному интегральному уравнению второго рода. Исследуется только симметричный случай. Получено приближенное решение в виде отрезка ряда по степеням малого параметра задачн. В результате получена формула для определения давления на площадке контакта. [c.330]

Таким образом, для эффективного использования в приложениях метода гармонического анализа необходимо знать в явном виде основные ингредиенты формул (5.1) — (5.4), т. е. матричные элементы конечных преобразований основных серий унитарных представлений О, инвариантную меру Хаара на Ь и меру Планшереля. В ряде случаев для информации об отдельных свойствах физической системы оказывается достаточной формулировка метода, в которой зависимость от квантовых чисел Ж) просу.ммирована, в частности, — спектральный состав разложения единицы , т. е. (5.3) в виде [c.103]

На рис.2.1а показано изменение дебита нагнетания на возмущающей скважине, па рис.2.1б - соответствующее изменение давления на возмущающей скважине, а на рис.2.1в - изменение давления на реагирующей скважине. Колебания дебита в режиме нагнетание-простой задавались сначала с периодами 24 часа (показано 2 периода), а затем 8 часов (показано 3 периода). Из этих рисунков нетрудно увидеть существование фазового сдвига между колебаниями дебита и давления на возмущающей скважине уменьшение амплитуд сигналов, регистрируемых на принимающей скважине при увеличении частоты колебаний дебита. Анализ амплитуд и фаз гармоник Фурье - разложения полученных сигналов (кривых изменения дебита, давления на возмущающей скважине и давления на реагирующей скважине) позволяет рассчитать такие фильтрационные параметры пласта, как гидропроводность , пьезопроводность х и приведенный радиус скважины г . Формулы приведены в Приложении 2. [c.11]

Кроме того, при е = О решение, построенное в приложении 3, вырождается bu=v=0, а = (о, 6 = 0, В=Л, в чем нетрудно убедился, полагая в приведенных формулах 6 = 0. Следовательно, U, V, а (О, Ь, В- А допускают разложения в степенные ряды без свободных членов, сходяш,иеся в круге lel e,,. [c.379]

В методе, предложенном Мак-Кениой [66], электрическое поле при г = 0 (рис. 2.7.1) представляется в виде разложения по плоским волнам. Далее по формулам Френеля определяется коэффициент отражения для каждой из этих плоских волн, падающих под разными углами на торцевую грань лазера, а затем эти коэффициенты отражения суммируются с целью получения коэффициента отражения для моды. Поскольку часть поля приходится на активный слой с коэффициентом преломления П2, а остальная часть — на прилегающие диэлектрические слон с коэффициентами преломления 1, в формулах Френеля в качестве показателя преломления полупроводника используется эффективный показатель преломления f /ki [см. формулу (2.6.19)[. Этот способ расчета описан в приложении к работе [65]. Икегами разложил электрическое и магнитное поля на плоские волны и коэффициент отражения при г = О получил нз требования непрерывности на этой границе ТЕ- и ТМ-полей. В обоих подходах необходим большой объем вычислений на ЭВМ. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...