Эйри функция, асимптотическое разложение

Эйри функция, асимптотическое разложение 687 --, дифференциальное уравнение [c.756]

Для этого напомним выписанное в приложении Д соответствую-ш,ее асимптотическое разложение функции Эйри. Из формулы (5.21) следует, что положительные значения аргумента функции Эйри соответствуют классически недоступной области потенциала, в то время как отрицательные значения описывают классически разрешённую область. [c.188]

Поскольку мы хотим сшить волну ВКБ в разрешённой области (5.16) с выражением для функции Эйри вблизи точки поворота, используем асимптотическое разложение [c.188]

Мы вновь можем убедиться, что эта формула верна, подставив в неё асимптотическое разложение функции Эйри для больших положительных аргументов, и получив простейшую функцию ВКБ-приближения, верную в классически запреш,ённой области. Кроме того, в точке поворота этот результат сводится к тому, который получен из формулы, верной слева от точки поворота. [c.194]

В этом разделе мы получим асимптотическое разложение функции Эйри (5.19). Применим для этого метод стационарной фазы к интегралу [c.687]

Для волнового поля в окрестности каустики, не имеюш,ей особых точек, удается получить асимптотическое разложение, содержаш,ее функции Эйри. Вне некоторой полоски, окружающей каустику, это разложение переходит в разложение лучевого метода. Толщина полоски уменьшается при возрастании частоты. [c.11]

Используя асимптотические разложения функций Эйри (Дополнение 1), нетрудно для функций Aj T) при 7 > 1 и я/3- -+ 8 < arg Т < 5п/3 — 8 получить следующие формулы [c.357]

Покажем теперь, каким образом можно вывести приведенные асимптотические разложения для функций v, Wi и ы>2. Исходным пунктом для достижения этой цели могут быть интегральные представления для функций Эйри (Д1.5), (Д1.6), (Д1.8). Эти [c.418]

Воспользовавшись асимптотическими разложениями (3.107) функций Эйри и их производных, получаем, что при Го коэффициент отражения стремится к значению [c.76]

Асимптотические разложения функций Эйри имеют вид цри больших [c.96]

Это—единственное разложение, равномерно пригодное для всех X, включая и окрестность точки возврата х = . Используя асимптотические разложения (7.3.16)—(7.3.19), справедливые для больших значений, аргумента функций Эйри А1 и В1, можно [c.364]

Луч arg = 71 является лучом Стокса, при переходе через который асимптотические значения функции Эйри терпят разрывы. Чтобы построить разложение, которое оставалось бы непрерывным в точках отрицательной вещественной полуоси, воспользуемся тождеством [258] (рис. 1.2) [c.29]

Якоби [1849] получил разложения в виде нормальных решений для функций Бесселя первого порядка при больших значениях аргумента. Аналогичные результаты для уравнения Эйри получил Стокс [1857]. Хорн [1903] дал обоснование асимптотическим решениям в виде произведения экспонент и рядов по убывающим степеням х. [c.333]

Равномерное асимптотическое разложение. Можно преодолеть трудности с сингулярностью простейшей волновой функции ВКБ-приближения в точке поворота, воспользовавшись решением в виде функции Эйри (5.27). Кроме того, как показывается в задаче 5.1, можно использовать выведенное в приложении Д асимптотическое зазложение функции Эйри для положительных аргументов для нахождения простого выражения для волновой функции в запрещённой области. [c.193]

Мы различаем три ситуации. Если р > Хл/пНк, то перекрытие отсутствует. Следовательно, результирующая вероятность р) обращается в ноль. Мы понимаем, однако, что -функционное представление состояния движения достоточно грубое. Более полный анализ описывает это состояние с помощью функции Эйри, которая обсуждалась в связи с проблемой равномерного асимптотического разложения. Так что вероятность в данном случае оказывается экспоненциально малой. Если р = Хл/пНк, линия импульсного состояния тангенциально касается максимумов косинусоидальной волны. Это приводит к большому перекрытию и, следовательно, к большой вероятности. Здесь есть, к тому же, и новая дополнительная особенность из-за периодичности электромагнитной волны число таких тангенциальных перекрытий велико. Вклады всех этих областей перекрытия интерферируют, так что важную роль начинают играть разности фаз. Это приводит к дискретности значений импульса, как было математически показано в предыдущей главе. Результаты интерференции из-за периодичности рассматриваемой структуры отчётливо видны в случае, когда р < Хл/пНк, и появляется ещё одна особенность на одном периоде О < < кх < 2тг косинуса есть пересечения в двух разных точках, а именно, [c.635]

Отметим, что вторая производная с входит в знаменатель подкоренного выражения. Поэтому приближённое выражение для исходного интеграла I теряет смысл, когда вторая производная функции д обращается в ноль. В этом случае следует учитывать кубичные члены в разложении функции д, что приводит к интегралу, выражающемуся через функцию Эйри. Такое разложение обычно называют равномерным асимптотическим разложением. [c.699]

Найдем асимптотические формулы для Гр(го, фо г, ф к) при - оо и р = 0(1). Их вид зависит от взаимного расположения точек (го, фо), [г, ф) и окружности г = р. Прежде всего выпишем асимптотическое разложение для корней Яу (Ар). Асимптотика корней функции Яу ( р) при Ар— оо может быть найдена точно тем же способом, каким в 2 главы 6 была получена асимптотика корней функции Бесселя /у (Ар). Для функции Яасимптотическая формула (2.4) главы 6, в которой функцию Эйри V следует заменить комплекснознач- [c.306]

Форма решения (3.4), имеющая вид произведения экспоненты на функцию Эйри, аргументами которых являются бесконечные ряды по степеням (о 7з, и основные вычисления первых четырех параграфов главы взяты из статьи В. С. Булдырева [4]. В асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений прообраз рядов (3.4) был предложен Черри [1]. Наряду с асимптотикой в форме Черри известна асимптотика в форме О л-в е р а [1] (сумма двух асимптотических рядов, из которых один умножен на функцию Эури, а другой — на ее производную). Форма Олвера позволила Р. Льюису и др. [1] получить интересные асимптотические разложения, из которых можно как частный случай вывести некоторые формулы 5 гл. 6. Построения этой работы во многом аналогичны построениям главы 2. Другие применения методики Олвера можно найти в работах И. В. Мухиной и И. А. Молоткова [1] и Н. Я. Кирпичниковой [1], посвященных теории упругих поверхностных волн [c.442]

Преимущество каустических разложений обусловлено тем, что они имеют более сложную форму и содержат не только экспоненту, но и специальную функцию — функцию Эйри. Вдали от каустик, когда аргумент этой функции велик, ее можно заменить асимптотическим разложением. Если это сделать, то каустические разложения переходят в ранее рассмотренные лучевые разложения. Это соответствие между разложениями обоих типов позволяет выразить аргументы новых равномерных асимптотических разложений и входящие в них медленно меняющиеся функции через геометрооптические величины эйконалы и амплитуды лучевых полей. Тем самым равномерные асимптотические разложения, применимые около каустик, определяются по известным неравномерным разложениям (лучевым разложениям) тех же полей, ко-горые сами по себе в окрестности каустик неприменимы. [c.63]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...