Вектор скорости в обобщенных координатах

Вектор скорости в обобщенных координатах [c.205]

Для того, чтобы выразить кинетическую энергию в обобщенных координатах, подставим в это равенство значения векторов скорости [c.364]

Для определения скорости и ускорении точек и звеньев сложных механизмов при использовании метода преобразования координат имеют в виду, что радиус-вектор () " , например точки Е. есть векторная функция обобщенных координат [c.134]

Выразим кинетическою энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости в общем случае. Для этого сначала нужно радиусы-векторы fi точек матери [c.74]

Для представления векторов в 2.1 отмечалась возможность использования систем координат (осей координат), не совпадающих в общем случае с осями системы. Угловую скорость осей координат обозначим ГТ. Начало осей координат для простоты совместим с началом осей системы. Тогда потребуются еще три обобщенные координаты <7 + q + 2 Чп + з- отличие от обобщенных координат 71,. ... q , определяющих положение механической системы в осях системы, этим обобщенным координатам соответствуют обобщенные скорости <7 + ]> Яп + 2 п + з определяемые из кинематических соотношений. [c.49]

Сведение проблемы к эквивалентной задаче для одного тела. Рассмотрим консервативную систему, состоящую из двух точек с массами гп и т . Единственными силами, действующими на эти точки, мы будем считать силы, обусловленные потенциалом взаимодействия V, относительно которого мы будем предполагать, что он является функцией вектора Г — Г2, относительной скорости Г1 — Г2 и производных более высокого порядка от fi — Г2. Рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы и, следовательно, характеризуется шестью независимыми обобщенными координатами. В качестве таких координат мы выберем три составляющих радиуса-вектора R, идущего в центр масс системы, и три составляющих вектора г = Г2 — Тогда лагранжиан этой системы будет иметь вид [c.72]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

TO увидим, что система сил должна считаться известной, когда каждый из векторов Fi задан в функции от обобщенных координат от обобщенных скоростей [которые называются скоростями системы по лагранжевым координатам (гл. VI, п. 10)] и, возможно, от времени. [c.266]

Обобщенные скорости и ускорения. При движении системы ее обобщенные координаты изменяются со временем. Величины qj и qj (j = 1, 2,..., т) называются соответственно обобщенными скоростями и обобщенными ускорениями. Скорости и ускорения точек системы в декартовой системе координат найдем, продифференцировав сложные вектор-функции времени (21) [c.44]

В настоящей главе наряду с общим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата ставится также задача отыскания частного (при фиксированных начальных данных) и периодического решений. Поэтому в исходной системе уравнений (16.7) необходимо перейти к таким переменным, для которых отыскание периодического решения имело бы смысл. В качестве системы обобщенных координат, удовлетворяющей указанному выше требованию, можно принять угловые скорости масс или относительные углы закручивания смежных масс. Останавливаясь на последней, отметим, что к этой системе координат можно перейти путем линейного преобразования вектор-функции ф (О при помощи матрицы Q по формуле [c.107]

Пусть система точек с идеальными голономными связями имеет /г-степеней свободы. Обозначим через qi обобщенные координаты, определяющие положение системы, и пусть — радиус-вектор точки в неподвижной системе координат. Допустим, что масса точки может меняться в функции координаты, скорости и времени, т. е. [c.13]

Такой подход предоставляет возможность применить для моделирования РЦН и анализа режимов его работы мощный аппарат комплексной переменной [45], который базируется на изображении гармонической функции скорости и других режимных параметров насоса (расходов, мощностей и т.д.) в виде обобщенного комплексного вектора в полярной или декартовой системе координат. В частности, в координатах комплексной плоскости (рис.5.3) запись для определения средней скорости в сечении отвода, содержащем точку 2, будет иметь вид [c.69]

В данном случае / = 1, 2, 2/, а координаты Xi совпадают с обобщенными координатами и обобщенными импульсами Pi системы. Производные и являются компонентами вектора скорости фазовых точек. Уравнение непрерывности для газа фазовых точек принимает вид [c.39]

Найдем скорость V как производную радиуса-вектора г,, по времени, учтя при этом, что время I входит в выражение (18.22) не только явным образом, но и через обобщенные координаты <71, > [c.434]

Прикладные способы решения задач динамической оптимизации обтекания. Пусть в текущее выражение для мощности сил сопротивления управляющие воздействия в явном виде не входят. Тогда текущее значение мощности сил сопротивления должно однозначно определяться реализовавшейся частью фазовой траектории системы. В этой ситуации задачи динамической оптимизации первого типа редуцируются к классическим вспомогательным задачам стандартно [10]. В таких задачах динамические ограничения состоят из уравнения для работы сил сопротивления и кинематических связей механической системы. Роль управлений берут па себя импульсы — производные обобщенных координат. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления и для ее исследования может быть применен аппарат, изложенный в подразделе 4.2. Так оно и есть в тех случаях, когда система состоит из тел с гладкой поверхностью. Если в ее состав входят тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи появляются многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а следовательно, и гамильтониан теряет свойство дифференцируемости. Оптимальные управляющие силы и моменты находятся из уравнений динамики рассматриваемых систем. [c.41]

Для расчета непрерывных составляющих оптимальных управляющих воздействий можно воспользоваться следующей схемой, исключающей процедуру численного дифференцирования обобщенных скоростей. Отметим, что векторы скорости центров инерции элементов МТМ вычислены в терминах обобщенных координат и скоростей. Это позволяет в тех же терминах вычислить лобовые сопротивления, а вместе с ними и мощность (4.6). Подстановка полученного значения для мощности в уравнение Эйлера-Лагранжа (4.14) дает систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Решение этой системы с начальными условиями [c.181]

Третье слагаемое не зависит от обобщенных скоростей. В случае стационарных связей обобщенные координаты выбираются так, чтобы г не входило в выражения декартовых координат (или вектор-радиусов г ) через обобщенные координаты. Тогда, как следует из (2), [c.138]

В него, кроме векторов Vq и (о, входят обобщенные координаты q , 2, 3 и соответствующие им обобщенные скорости и обобщенные ускорения. [c.452]

Вводятся обозначения д = д ,..., д ), д = д ,..., д ), д = д ,.... .., д ), Q = Ql , Qk) — векторы обобщенных координат, скоростей, ускорений и сил после преобразований уравнения (1) записываются в виде [c.40]

В работах [37а—с] развивается метод Био введения обобщенных координат. Путем варьирования по этим координатам вариационное уравнение приводится к системе уравнений Эйлера—Лагранжа. Задача сформулирована для температуры, объемного расширения и роторной части вектора перемещений. Начальные условия заданы для температуры, перемещений и скоростей перемещений. Граничные условия могут быть заданы произвольным образом путем введения дополнительных параметров они удовлетворяются приближенно. [c.241]

На схеме рис. 3.1, г дан пример манипулятора тоже с двумя звеньями i и 2, но соединенными поступательной парой (например, гидроцилиндр-порщень). Если за обобщенные координаты принять угол и модуль вектора то движение точки В со скоростью vb представляют как сложное — переносное со скоростью точки В на звене 1 и относительное со скоростью [c.71]

Наконец рассмотрим оиределенпе вектора скорости в обобщенных координатах. На основании формулы (II. 9а) найдем [c.123]

Для того чтобы выразить кинетическую энергию в обобщенных координатах, подставим в это равенство значения векторов скорости (125.2), обознамив j индекс обобщенной координаты в первом множителе, а — во втором Перемножал и учитывая независимость суммирования по индексам г, j и к. находим гр 1 9г, dfi dfi 5гД 1 dfi dfi Введем обозначен ил [c.554]

Планы скоростей и ускорений начального звена. Е сли начальное звено механизма сонер1иает вращагелыюе движение, то его угловая координата ( л является обобщенной координатой (рис. 3.10, а). Скорость точки, например, В этого звена ап перпендикулярна прямой АВ, проведенной через ось А вращения звена, и может быть изображена вектором ВВ = ЦгЦ/ на плане механизма (рис. 3.10, б) или вектором рй = на плане скоростей (рис. 3, 0, а). Аналогичные рассуждения поводят относительно скорости vr точки С рс = или точки D pd =ji v/> (рис. 3.10,6 и в). [c.70]

Из содержания 21 и 46 первого тома видно, что обобщенные скорости являются коитраварнантпыми комионента.ми векторов скоростей у, в многообразии координат Сд [c.123]

Из основ тензорного исчисления следует, что обобщенные скорости у и обобщенные и.мпульсы Р] являются соответственно компонентами контрава-риантного и ковариантного вектора (тензора первого ранга) в системе обобщенных координат. Это, в частности, видно из содержания 61—64. [c.389]

При использовании цифровых ЭВМ кинематические характеристики рычажных механизмов рассчитывают на основе уравнений проекций на оси координат в системе xQy звеньев плоского рыча.жного механизма, представленного в виде замкнутого многоугольника. Направление сторонам замкнутого многоугольника задают так, чтобы начало вектора ведущего звена совпало с неподвижной точкой. Аналоги скорости и ускорения получают дифференцированием уравнений проекций по обобщенной координате. [c.75]

Аналогично полу 1аются вырай<ёний длй скорости й ускорения какой-либо точки М, принадлежащей звену к, представленные в функциях обобщенной координаты т. Такие выражения получаются в результате дифференцирования радиуса-вектора точки М по времени. [c.46]

В дальнейшем иам потребуются также выражения для абсолютных угловых скоростей звеньев механизма. Пусть (js — угловая обобщенная координата (угол поворота s-ro звена относительно (s —1)-го), qs — обобщенная угловая скорость. В соответствии с правилами выбора системы отсчета трехмерный вектор относительной угловой скорости Os направлен по оси О г,. Абсолютную угловую скорость Q некоторого Z-ro звена пайдем, складывая относительные угловые скорости всех звеньев от 1-го до 1-го, причем в случае поступательного движения s-ro звена относительно (s —1)-го следует полагать м = 0. [c.58]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

В обобщенном виде система балансовых уравнений может быть представлена в виде вектор-функции Ф (Z, Z ) = О, устанавливающей соотношение между термодинамическими и расходными параметрами связей, обеспечивающее получение заданной стационарной нагрузки установки с определенными конструктивнокомпоновочными характеристиками. В геометрической интерпретации [87 1 вектор-функция Ф (Z, =- О задает нелинейную поверхность стационарных состояний установки в многомерном пространстве, координатами которого являются значения нагрузки установки как по электрической энергии, так и по холоду, а также величины подмножеств Z и Для расчета приведенных затрат, учета ограничений, отражающих требования технологичности изготовления, длительной надежной эксплуатации установки и т. д., и в дополнение к системе балансовых уравнений в математическую модель вводятся соотношения для вычисления различных технологических и материальных характеристик отдельных агрегатов. Эти соотношения получаются в результате совместного решения задач теплового, гидравлического, аэродинамического и прочностного расчета агрегатов и представляют собой в большинстве случаев неявные функции параметров совокупностей Z и Z . Опыт математического моделирования показал, что для теплоэнергетических агрегатов число этих характеристик невелико. Это характеристики изменения давления, энтальпии и средней скорости каждого теплоносителя, наибольшей температуры стенки, ее абсолютной или относительной толщины, а также расходов материалов. В обобщенном виде система характеристик описывается вектор-функцией (Z, Z ) = 0. [c.40]

Положение системы будем определять лагранжевьши координатами тела qj(j = — 1, я s 6) и декартовыми координатами Х (/= 1, 2, 3) частиц жидкости. Векторы Vo и ш можно представить в виде линейных функций обобщенных скоростей ijf с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат qj. Подставив эти выражения в формулу (1), получим [c.283]

Электромагнитное поле считается известным, если в каждой точке пространства известны два вектора магнитной индукции В и напряженности электрического поля Е. Эти векторы (или величины, которые могут быть через них выра/ены) и являются характеристиками состояния в электродинамике. Однако при рассмотрении технических электромеханических устройств можно ограничиться случаем, когда бесконечное множество величин В и Е выражается через конечное число других величии, входящих ti уравнения электромеханических колебаний формально аналогично обобщенным координатам и скоростям в механике. Для этого должны выполняться условия, называемые условиями квазистационарноспш и состоящие в том, что можно не учитывать электромагнитные волны. Кроме того, поперечные размеры прово,"нпков должны быть малы по сравнению с их длиной (такие проводники и токи в них назы-нают линейными), исключение могут составлять проводники — обкладки конденсаторов. Сформулированным условиям удовлетворяют почти все технические электромеханические устройства. [c.332]

НреДставляет вектор в пространстве обобщенных координат скоростей. Тогда уравнение движения системы можно описать при помощи матричного уравнения [c.8]

Формула (12.1 ) встречается также в дифференциальной геометрии в теории параллельного переноса и ясно показывает различие между 8F/Si и йР1(И. Заметим, что в прямоугольной системе координат оба этих определения совпадают, ЬР Ы .йР1М другими словами, точно так же как обобщение обычной производной приводит к понятию ковариантной производной, обобщение понятия материальной производной с1Р (11 приводит к операции ЬР Ы. Заметим, наконец, что при использовании понятия материальной производной удобнее исходить из формулы (12,1 ). а не (12.1). Ниже мы будем пользоваться векторными обозначениями определения п. 2 переносятся при этом на случай произвольной криволинейной системы координат очевидным образом. Например, символ будет теперь обозначать упорядоченную тройку ковариантных или контравариантных (в зависимости от ситуации) компонент вектора скорости, а формула (12.1) запишется в виде [c.34]

Решение. В отличие от случая Лагранжа волчок на плоскости — система с пятью степенями свободы. Выберем обобщенные координаты X, у — проекции радиуса-вектора центра масс на плоскость и три эйлеровых угла. Радиус-вектор центра масс К = (ж, у, I С08в), скорость [c.289]

Можно пол)гчить выражения для скорости и ускорения какой-либо точки М, принадлежащей звену номер k, представленные в функциях обобщенной координаты <р. Такие выражения получаются в результате дифференцирования радиуса-вектора точки М по времени. Надо иметь в виду, что радиус-вектор в общем случае может изменять и свою величину и свое направление, так что скорость точки М может быть представлена в виде двух составляющих и из которых первая составляющая направленная вдоль [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...