Форма решений н граничные условия

Математическая модель гидродинамических процессов в инерционных насосах разных типов описывается одной н той же системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с учетом влияния нерастворенного воздуха на скорость, но с различными граничными условиями. При разработке алгоритма расчета гидродинамических процессов граничные условия учитываются совместным решением уравнений соответствующей характеристики с определенными граничными условиями, записанными в разностной форме. Поэтому при составлении таких программ для ЭЦВМ изменению подвергают только ее часть, которая вычисляет граничные точки. [c.337]

Разыскивая решение уравнения движения в форме u = С/(д ) os ui н учитывая граничные условия Е5= —Ро, и (L)= 0, получим [c.233]

Если уравнение Лапласа выражено в символах некоторой ортогональной системы координат а, р и у, общие решения представляют собой произведение трех функций, каждая из которых зависит только от одного переменного, т. е. ф а, р, у) =Р а)0 ( )Н (у). Ценность решений такого типа заключается в простоте их формы, а также в том, что они могут использоваться в ряду для удовлетворения общих граничных условий. Как видно, эта возможность является свойством ортогональности разделимых функций, которое будет более подробно описано в следующих пунктах. Вследствие ортогональности эти функции могут быть использованы в ряду для представления более или менее произвольных функций наглядным примером данной операции является обычный тригонометрический ряд Фурье. [c.97]

Гидромеханические процессы в элементах струйной автоматики, как пра-ви.ю, развиваются под влиянием большого числа факторов. Эти процессы подчиняются общим физическим закономерностям, конкретным выражение.м которых для потока вязкой жидкости являются дифференциальные уравнения (уравнения Навье-Стокса) и уравнение неразрывности. Но эти уравнения справедливы для целого класса явлений н имеют бесконечное число решений. Следовательно, для выделения рассматриваемого явления из целого класса явлений необходимы дополнительные условия, называемые условиями однозначности. Они включают граничные и начальные условия, определяющие единственное решение системы дифференциальных уравнений. К условиям однозначности должны быть также отнесены физические константы (плотность, вязкость и др.), характеризующие существенные для исследуемого процесса физические свойства среды. Под граничными условиями понимают геометрические характеристики потока (его размеры и форму), а также значения кинематических и динамических параметров на границах исследуемого участка потока. Начальные условия потока характеризуют геометрические, кинематические, динамические параметры потока в начальный момент времени. [c.57]

Заполним область течения сверху н снизу от контура профиля (рис. 96) соответственно характеристиками первого (С и второго (Сг) семейств. Только что изложенные свойства характеристик формула (33) для первого семейства и формула (34) для второго семейства позволяют сразу заключить, что решение уравнения (31) при граничном условии (37) может быть представлено в форме [c.287]

Зависимость критического параметра (й) для вариантов Гю и Г граничных условий (симметричная н кососимметричная форма потери устойчивости относительно плоскости а=п/2) на торце оболочки а=я/2 представлена на рис. 10.30. Сплошными линиями показаны результаты решения полных уравнений пунктирными — результаты. решения упрощенных уравнений, не учитывающих докритического искривления образующей оболочки. [c.288]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования н единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сопла задается распределение скорости, например, па оси сопла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

При очень низких концентрациях НаО, характерных для рассматриваемого примера, возможен и другой, несколько более точный метод решения. В этом случае не нуж1н0 использовать допущения о равенстве числа Льюиса единице, упрощающего уравнение энергии, хотя такое допущение для системы воздух— вода — пар вполне приемлемо. Если мы еще раз рассмотрим общую форму (14-26) граничного условия к уравнению энергии, то заметим, что второй член числителя представляет собой плотность конвективного теплового потока д"о. При низкой концентрации НаО во всей системе присутствие паров воды по существу не влияет на д"а, и д"о можно вычислять так 1же, как для случая чйстого теплообмена без. массопереноса. Первый член числителя можно определить из решения уравнения диффузии. Если допустить, что в 0-состоянии г н,о,о = О, т. е. что (1,=гисп,о, и выразить h через il и д"ь1т", то можно лепко получить следующее уравнение для д"ь [c.392]

Граничные условия для сопряженной задачи получаем из равенства нулю билинейной формы (6.70). Для зажатой по кромкам полосы Ux = ui = 0 при у — Н. Чтобы форма (6.70) обраш алась в нуль, достаточно положить V2 = v 2 = О прп у — Н. Таким образом, для зажатой полосы решения прямой и сопряженной задач совпадают, если произвести замену переменных (6.72). Это верно такн е для свободной полосы и для полос с произвольными однородными граничными условиями. [c.203]

В частных случаях задачи, когда тело имеет простую в геометрическом смысле форму, было н йдено, что уравнение, выражающее граничные условия (1.30) или (1.31), имеет бесчисленное множество корней и дает ряд возрастающих значений для чисел т , представляющих дискретную совокупность чисел построенная же при помощи формулы (1.29) функция > является общим интегралом уравнения Фурье. Уравнение (1.28) называют л арал гйрмс 7м<гесл ил, а функции Uj, являющиеся частными решениями уравнения (1.23),— характеристическими или собственными функциями задачи. Они соответствуют совершенно определенным дискретным значениям параметра т. [c.24]

Существенным представляется то обстоятельство, что для выявления форм относительного движения фаз не обязательно находить точное решение системы (28), удовлетворяющее всем граничным и начальным условиям. В некоторых случаях весьма плодотворным оказался подход, предложенный в работах [4—8], согласно которому рассматривается задача теории нелинейных колебаний н устойчивости движения многофазной среды, а именно, для установления возможных форм относительного движения фаз находятся частные периодические или почти периодические решения системы (28) с соответствующими граничными условиями и исследуется их устойчи- [c.109]

В существующих решениях используются в основном прямые методы учета излучения, заключающиеся в следующем лучистая составляющая, взятая в форме выражения для результирующей плотности излучения, включается в уравнение энергии, которое рассматривается совместно с уравнениями движения и неразрывности при соответствующих граничных условиях для вычисления температурного поля. Наиболее полно такая постановка задачи сформулирована Е. С. Кузнецовым [2]. Прямые методы, применяемые обычно для ламинарного пограничного слоя, приводят к необходимости решать сложные нелинейные интегродифферен-циальные уравнения, что практически, в общем случае, не представляется возможным. К одной из первых попыток учета излучения движущихся газов следует отнести работу М. Т. Смирнова [3]. Наиболее полно идеи этого метода развиты В. Н. Адриановым и С. Н. Шориным [4]. В работе последних рассматривается движение серого излучающего нетеплопроводного газа в канале заданной конфигурации. Задача сводится к нелинейному дифференциальному уравнению простейшего типа, которое берется в квадратурах. Вычисляются температурное распределение в потоке и некоторые теплообменные характеристики, применяемые в теплотехнических приложениях. [c.133]

В качестве примера решения задачи н. д. с оболочечных систем с учетом физической нелинейности рассмотрим осесимметричное деформирование двух сопряженных через распорный шпангоут оболочек произвольной формы при конечных прогибах [48]. Граничные условия для оболочек заданы в перемещениях. Приманены соотношения деформационвой теории с учетом сжимаемости материала, принята гипотеза Кирхгофа—Ляна. [c.223]

Интересно отметить, что в электродинамике при решении задач с движущимися границами пользуются формулами преобразования электрического Е и магнитного Н полей согласно специальной теории относительности [1.5,1.15,1.19], вследствие чего граничные условия получаются всегда в форме (1.11). Действительно, вводя для плоских электрических волн односкалярное описание [1.5 [c.24]

В работе Д. Н. Парфененко, А. Ф. Улитко [26] предложен аналитический метод решения задачи о гладком контакте с упругим полупространством жесткого штампа с плоским основанием в форме кругового сегмента в плане. Построение гармонической функции, входящей в общее решение уравнений равновесия, проводится в пространственных биполярных координатах с использованием интегрального преобразования типа Мелера-Фока, установленного в [25]. Последующие преобразования, связанные с удовлетворением смешанных граничных условий, приводят к системе двух функциональных уравнений Винера-Хопфа. Рассмотрены [c.143]

Линеаризованная задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была впервые правильно поставлена и решена Л. И. Седовым (1937). Им дан метод решения плоской задачи о глиссировании для любых чисел Фруда. Для больших значений числа Фруда получены асимптотические формулы для формы свободной поверхности и для гидродинамических сил, причем показано, что для больших чисел Фруда влияние весомости жидкости несущественно. Особенностью решения задач с тяжелой жидкостью является то обстоятельство, что в соответствии с граничным условием (5.2) в верхнюю полуплоскость можно путем зеркального отображения продолжить функцию Келдыша / (г). Комплексный потенциал ю (г) продолжается в верхнюю полуплоскость более сложным путем, и поэтому задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости больше не сводится к задаче о крыле. Числовые расчеты по методу Л. И. Седова были выполнены Ю. С. Чаплыгиным (1940). Методом Л. И. Седова был решен также частный пример о глиссировании дужки круга (М. И. Гуревич, 1937). В дальнейшем задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была решена методом Фурье Л. Н. Сретенским (1940) ) и методом решения интегрального уравнения путем разложения решения по малому параметру Н. Б. Ко-чипым (1938). Задачу о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины рассмотрел М. Д. Хаскинд (1943). [c.13]

При численном решении задачи несимметричного обтекания плоского контура методом интегральных соотношений возникают затруднения. В симметричной задаче граничными условиями для ЗN дифференциальных уравнений служат 2N условий симметрии течения на оси и N условий регулярности решения при прохождении особых точек. При несимметричном обтекании решение должно удовлетворять N условиям регулярности с каждой стороны тела, что дает 2N условий. Однако 2N условий симметрии при этом отсутствуют, что требует в общем случае наложения дополнительно N условий для определения решения. До настоящего времени нет способа выбора этих условий для N > 1. При ТУ = 1 задача о несимметричном обтекании плоской пластины решена А. М. Базжи-ным (1963). А. Н. Минайлос (1964) применил метод интегральных соотношений для расчета " сверхзвуков ого обтекания затупленного тела вращения под углом атаки. При этом он использовал осесимметричную систему координат типа применяющейся в теории пограничного слоя. Записав уравнения в дивергентной форме, А. Н. Минайлос аппроксимирует входящие в эти уравнения величины, как это делается ]ц в стандартном методе О. М. Белоцерковского, полиномами по координате, нормальной телу азимутальные же распределения параметров аппроксимируются рядами Фурье по полярному углу. В рядах Фурье, кроме постоянного члена, сохраняется лишь еще один член. При этом (ср. работу В. В. Сычева, [c.174]

Задачу сопряжения с жестким профилем другими методами изучал Г. Н. Положий. Граничные условия задачи были предварительно подвергнуты некоторым преобразованиям, упрош,аюш,им форму этих условий на прямолинейных участках границы. Это и дало возможность автору указать решение задачи в явном виде вначале для выпуклых многоугольников (1949, 1950), а затем, после проведения довольно тонких исследований о поведении напряжений в угловых точках при условии непрерывности вектора смещений, для многоугольников самого общего вида, а также для бесконечной плоскости с произвольным многоугольным отверстием (1957). [c.59]

Во-первых, общие уравнения нелинейной теории упругости используются для обоснованного вывода уравнений устойчивости для тонких и тонкостенных тел. Работы этого направления (В. В. Новожилов, 1940, 1948 В. В. Болотин, 1956, 1965 А. И. Лурье, 1966, и др.) уже обсуждались в 3. Во-вторых, решения задач, полученные на основе теории упругости, могут быть использованы для оценки точности и установления границ применения известных приближенных решений. К этому направлению относятся работы Л. С. Лейбензона (1917) и А. Ю. Ишлинского (1954). Заметим, что в этих работах в качестве уравнений для описания форм равновесия, смежных с невозмущенной формой, предлагалось использовать классические уравнения теории упругости внешние силы входили при этом только в возмущенные граничные условия. Этот подход обсуждался недавно А. Н. Гузем (1967). В-третьих, необходимость в привлечении уравнений теории упругости возникает в задачах об устойчивости пластин и оболочек, находящихся в контакте с упругим материалом пониженной жесткости. Применительно к слоистым пластинам с мягким наполнителем этот подход развивался А. П. Вороновичем (1948), В. Н. Москаленко (1964) и другими. Устойчивость цилиндрических оболочек с мягким упругим ядром рассматривалась А. П. Варваком (1966). Типичным для этих задач является применение теории пластин и оболочек к несущим слоям и трехмерной теории упругости — к заполнителю. [c.346]

Он получил дальнейшее развитие в известных работах И. Б. Бубнова [67], С. П. Тимошенко [235], Б. Г. Галеркина [82], П. Ф. Папковича [186], А. Н. Крылова [133, 134] и других. Методы рядов и интегралов Фурье широко используются при решении плоских и пространственных задач теории упругости в работах Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [122], А. И. Лурье [146], Я. С. Уфлянда [245], Снеддона [229], П. М. Оги-балова [176] и других. Так, в работах Б. Г. Галеркина [82], выполненных в течение 1915—1933 гг., был рассмотрен изгиб пластинок различных очертаний прямоугольной, в виде кругового и кольцевого секторов, в форме прямоугольного равнобедренного треугольника — при различных граничных условиях на контуре. При рассмотрении прямоугольных пластинок решение неоднородного бигармонического уравнення выбиралось в виде суммы частного решения и рядов Фурье по одной и второй переменной с неизвестными коэффициентами. Б. Г. Галеркин указал на выбор наиболее удачной формы частного решения. [c.143]

В работе Т. Н. Бузуна и И. Д. Панкратовой [87] рассматривалось кручение тела вращения в форме двухполостного гиперболоида вращения. Здесь задача при смешанных граничных условиях решается в вытянутых эллипсоидальных координатах. Решение уравнения (8.11) представляется в виде интеграла Мелера — Фока. После удовлетворения граничных условий авторы решенйе задачн сводят к парным интегральным уравнениям, содержащим функции Лежандра с комплексным индексом и действительным аргументом. Далее эти уравнения приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Рассматривается чйсленный пример. [c.260]

Интересно, что зависимость от угловой скорости гравитационной силы, действующей на пробную частицу внутри слоя, точно такая же, как и во вращающейся системе, но движущейся в противоположно.м направлении относительно системы инерциальной. Векторные потенциалы приводящие к силам типа кориолисовых, даже зависят от координат обычным образом. С другой стороны, скалярный потенциал имеет такую форму, что приводит, помимо обычных центробежных сил, к неисчезающей компоненте силы вдоль оси вращения. Чисто радиальный характер центробежной силы означает, что приближенные уравнения (11.30), для единственности решения которых требуется точная формулировка граничных условий на бесконечности, не в состоянии адекватно описать динамику мира в целом. Это и не удивительно, поскольку некоторые из наиболее характерных особенностей точных уравнений (11-12) теряются в их приближенном варианте например, существенно нелинейный характер уравнений исчезает в случае слабого поля. Кроме того, уравнения (11.12) содержат Л-член, важный в космологических задачах. Указанные обстоятельства существенно меняют проблему постановки граничных условий (см. 12.6). В любом случае, однако, силы, действующие на пробную частицу внутри слоя, слишком малы, чтобы быть измеренными. Это н объясняет отрицательный результат эксперимента, выполненного Фридлендером в 1896. [c.310]

Очевидно, необходимость удовлетворения двух граничных условий на границе тела приводит к некорректной задаче для аналитической функции комплексного переменного. Тем не менее, используя структуру граничных условий, удается построить одно из возможных ее решений. После этого, аналогично разд. 4, решение задачи сопряжения сводится к восстановлению единого теплового потенциала - аналитической функции комплексного переменного г по известным ее особенностям в физической плоскости. Далее восстанавливается форма контура ледопородного тела уже с точностью порядка Ре, с той же точностью решается задача его обтекания потенциальным потоком несжимаемой жидкости и определяется приращение потенциала между точками разветвления и схождения потока на границе тела, т.е. величина а (х). В сравнении с главным членом асимптотического приближения контуры ледопородного тела (фиг. 3) деформируются, причем с точностью порядка Ре деформации обладают свойством нечетной симметрии относительно оси у. Это необходимо приводит к тому, что а (х) = О, и, следовательно, д = 0о(Ре, х) -н 0(Р ). [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...