Сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМАМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.248]

Сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения краевых задач в пространственной постановке используется двумерное преобразование Фурье [c.56]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

Стандартным приемом решения системы уравнений (6.4) и (6.5) в частных производных при толщине h, не зависящей от координаты ф, является сведение ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений путем разложения искомых функций и нагрузок в тригонометрические ряды по угловой координате ф [c.292]

Столь же перспективными для решения нелинейных задач динамики оказываются и вариационные методы сведения уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.351]

Общая схема сведения. Поскольку непосредственный анализ устойчивости по уравнениям в частных производных затруднителен, то в прикладных расчетах их обычно сводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого функции U (х, t) разлагают по некоторому базису с коэффициентами — функциями времени. [c.248]

Очень широкое распространение в механике и физике получили так называемые автомодельные решения, характеризующиеся существованием некоторых комбинаций независимых переменных (автомодельных переменных), которые соответствуют опре деленным свойствам подобия или инвариантности рассматриваемых классов физи ческих решений. Методы анализа размерностей физических величин, определяющих задачу, позволили [8] осуществить понижение размерности для весьма широкого круга физических и механических задач. Особенно эффективным в конструктивном плане оказалось в ряде ситуаций сведение сложной исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой в качестве независимой переменной высту пает автомодельная переменная. Это позволило получать классы точных решений в замкнутой форме, например, знаменитое решение газодинамической задачи о точечном взрыве [8], и осуществить качественный и детальный количественный анализ важных задач в неинтегрируемых случаях. [c.17]

Сведение системы уравнений пограничного слоя к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Автомодельные решения [c.571]

Изучение автомодельных движений представляет большой интерес. Возможность сведения системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для новых функций — представителей, чрезвычайно упрош ает задачу с математической точки зрения и в ряде случаев позволяет находить точные аналитические решения. [c.616]

При преобразованиях, отличных от аффинного, уравнения статики уже неотделимы от задания материала его определяющим уравнением. Единый доступный прием —построение решений, близких к решениям линейной теории и обращающихся в них при удержании лишь слагаемых первой степени относительно компонент градиента вектора перемещения. Это не исключает возможности для некоторых материалов и частных предположений о характере деформации продвижения вперед, когда уравнения равновесия в перемещениях или применение вариационных принципов допускают сведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.206]

Сведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В приближении длинных волн рассматриваются нелинейные осесимметричные колебания идеальной однородной тяжелой жидкости в ограниченном бассейне переменной глубины D, вращающемся с угловой скоростью //2 относительно вертикальной оси z. В цилиндрической системе координат (R, г, ф) не зависящее от азимутального угла ф движение жидкости описывается в безразмерных переменных системой уравнений [ 1 ] [c.159]

Другие примеры задач, относя[]],ихся к обобщенному особому случаю, приведены в табл 2 Приближенное сведение к конечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае для приближенного расчета приходится проводить редукцию бесконечных систем уравнений к конечным системам. Количество членов, удер-и<иваемых в разложениях (30), устанавливается из физических соображений. Если для данной упругой системы и для рассматриваемого диапазона частот собственные формы колебаний достаточно близки к формам потери устойчивости, то в первом приближении можно пренебречь связью обобщенных координат, заменив бесконечную систему (31) последовательностью независимых уравнений [ИЗ] [c.254]

Задача Коши для уравнения (1.1) решалась с помощью сведения уравнения (1.1) к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной t и численного интегрирования для этой системы серии задач Коши с начальными данными, определенными в соответствии с (1.13). Скорость звука в покоящемся газе (7 = 1.4) полагалась равной единице, функция С 2 (р) выражается через W((f) [1] следующим образом [c.325]

Сведение к линейной системе. Следуя изложенной ранее схеме, к краевой задаче (4.2.1), (4.3.1), (4.3.2) применим двумерное преобразование Фурье по координатам Х1,Ж2. В результате краевая задача сводится к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (4.2.4) с граничными условиями [c.66]

Выше было уже упомянуто о сведении числа независимых переменных к одному, т. е. трех- или двухмерной задачи к математически одномерной. Задача приводится, таким образом, к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одним независимым аргументом. Сюда же относится прием приравнивания одного из компонентов напряженного состояния, заведомо зависящего от двух аргументов, произведению двух переменных величин, из которых каждая зависит только от одного аргумента. Это приводит решение поставленной задачи к интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя различными аргументами, причем каждая из этих систем содержит только один независимый аргумент, а константы интегрирования этих двух систем могут оказаться связанными друг с другом определенными зависимостями, специфичными для данного конкретного случая. [c.211]

Монография состоит из четырех глав. В первой главе приводятся сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории оптимальных процессов, которые непосредственно используются в дальнейшем, уточняется, что будет пониматься под асимптотическими приближениями к решениям рассматриваемых возмущенных задач, и описывается методика исследования. Во второй главе излагаются алгоритмы асимптотического решения регулярно возмущенных задач оптимального управления, а третья глава посвящена исследованию задач оптимизации сингулярно возмущенных систем. Наконец, в четвертой главе рассмотрены задачи оптимального управления, динамические системы в которых сами по себе не являются возмущенными. В этих задачах малый параметр присутствует при описании класса управляющих воздействий. [c.5]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

В математической физике методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанные на сведении задач к решению системы алгебраических уравнений, принято называть прямыми методами. Прямые методы широко применяют непосредственно для построения приближенных решений задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, а также вариационных задач, к которым сводятся соответствующие задачи математической физики. [c.115]

Методы сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ввиду сложности исходных уравнений точного решения в замкнутом виде получить не удается. Возможны лишь различные приближенные подходы. Наиболее эффективный подход основан на применении метода Галеркина [9] и его модификаций. В результате задача сводится к исследованию системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Полученная бесконечная система усекается, и дальнейшее исследование проводят для усеченной систе.мы. [c.503]

Сведение уравнений пограничного слоя к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Приведенные в п. 2.3 уравнения пограничного слоя являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые трудно решить. Исключение составляют некоторые специальные случаи, когда достаточное число членов можно опустить, чтобы свести уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, например течение Куэтта, течение в трубе. Имеются, к счастью, и другие случаи, когда эти уравнения можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это происходит тогда, когда существует естественная система координат s, т], связанная с декартовой системой S, у соответствующими преобразованиями, в которой производные зависимых переменных разделяются, в результате чего получаются обыкновенные дифференциальные уравнения. [c.43]

Материал этой главы расположен по следующему плану. Разд. 2,1 посвящен свойствам решений однородных дифференциальных уравнений различного типа. По характеру зависимости коэффициентов этих уравнений от времени они подразделяются на уравнения с постоянными, периодическими, квазипериодическими коэффициентами, а также на уравнения более общего типа. В разд. 2.2 мы покажем, как применить понятие инвариантности относительно групповых операций к уравнениям двух первых типов. В разд. 2.3 мы познакомимся с неоднородными дифференциальными уравнениями. Некоторые общие теоремы из алгебры и теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (связанные системы) приведены в разд. 2.4. В разд. 2.5 вводятся пространства дуальных решений. Общий вид решений для случая постоянных и периодических матриц коэффициентов рассмотрен соответственно в разд. 2.6—2.8. В разд. 2.8 и в начале разд. 2.7 мы затрагиваем некоторые аспекты теории групп, а из разд. 2.8 читатель сможет почерпнуть начальные сведения по теории представлений. В разд. 2.9 мы излагаем теорию возмущений, позволяющую получить явные решения для случая матриц периодических коэффициентов. [c.91]

Таким образом, метод интегральных соотношений как разновидность проекционных методов решения уравнений в частных производных является обобщением метода прямых и инженерного метода сосредоточенных параметров. Решение разбивается на два этапа. Первый этап состоит в сведении точной системы уравнений в частных производных к аппроксимирующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений. На втором этапе проводится численное решение этой аппроксимирующей системы каким-либо из стандартных методов (обычно методом Рунге—Кутта). При этом приведение системы обыкно1венных дифференциальных уравнений типа (7-46) к канонической форме может быть легко осуществлено непосредственно программой. [c.96]

В основу метода ортогональной прогонки, как мы уже внцели, положена нцея сведения краевой задачи к последовав тельному решению задач Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.120]

Обище уравнения систем с неудерживаюищми связями. Приведенный выше прием сведения кинетической энергии к канонической форме дает принципиальное решение задачи составления регулярных уравнений движения систем с неудерживающими связями в самом общем случае. Однако он требует знания общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для разыскания замены переменных, что при решении конкретных задач может быть препятствием для построения искомых уравнений системы с неудерживающими связями в явном виде. [c.150]

Теорема Якоби сводит решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5) к отысканию полного инте1рала уравнения в частных производных (4). Может показаться удивительным, что такое сведение более простого к более сложному доставляет эффективный метод решения конкретных задач. Между тем оказывается, что это — самый сильный из сущ ествую111 11х методов точного интегрирования, и многие задачи, решенные Якоби, вообще не поддаются решению другими методами. [c.229]

Стохастическое поведение консервативных гамильтоновых систем известно из работы [136), где показано, что неинтегрируемость некоторой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы приводит к возникновению хаоса. Обзор проблемы хаоса в гамильтоновых системах дан в [200]. в которой проведено интенсивное сопоставление старых и новых взглядов на вопросы интегрируемости. Учитывая некоторую аналогию между задачами небесной механики и движением точечных вихрей, можно предположить, что и в последнем случае будет иметь место хаотическое поведение. Поэтому усилия многих современных исследователей направлены на выяснение вопросов как, где и почему хаотическое поведение входит в динамику точечных вихрей В исследованиях [ 55, 93 ) рассмотрены типичные задачи этого класса. Важной особенностью хаотического движения в задачах вихревой динамики на плоскости является то, что хаос здесь возникает из полных уравнений движения Эйлера, сведенных к гамильтоновой форме, а не в результате модовых (галеркинских) аппроксимаций. Использование таких аппроксимаций является ахиллесовой пятой многих работ по изучению перехода к турбулентности. В частности, если в задаче Лоренца использовать большее число базисных функций, т.е. учесть следующие гармоники полей скорости и температуры, то полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений уже не обладает <саттракторными свойствами. [c.158]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

Для расчета оболочек вращения, а также оболочек с прямоугольным параметрическим планом широко используется аппроксимация системы дифференциальных уравнений в частных производных системой в обыкновенных производных и метод Ньютона. Линеаризованная краевая задача решается сведением ее к ряду задач Коши с дискретной ортогонализа-цней по Годунову [90, 91, 134, 186, 187]. Такой подход позволяет построить эффективные алгоритмы числеииого изучения прочности, устойчивости, собственных и вынужденных колебаний оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей задачи. Развитая в последующих главах методика [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...