Статистические операторы квантовых систем

Статистические операторы квантовых систем [c.22]

Уравнение для оператора плотности (11.36) называется уравнением Неймана и является основным уравнением статистической физики квантовых систем. Это уравнение аналогично классическому уравнению Лиувилля (11.8) для фазовой плотности распределения p(q, р, О- [c.194]

В квантовой статистической механике равновесный статистический оператор, описывающий систему с заданным числом частиц, является некоторой функцией гамильтониана [c.53]

Метод Боголюбова в квантовой статистике аналогичен подобному методу исследования классических статистических систем и состоит в введении частичных матриц плотности или статистических операторов комплексов частиц и в установлении цепочки уравнений для этих операторов. [c.101]

Определение микроканонического и канонического распределений квантовых систем в целом аналогично рассмотренному классическому случаю. Роль функции распределения играет теперь статистический оператор р или набор коэффициентов определяющих вероятностное распределение по чистым состояниям. [c.216]

Как следует из уравнения Неймана (11.36), равновесный статистический оператор коммутирует с гамильтонианом Й и для покоящейся системы является его функцией р=р[Я]. Поэтому необходимо задать зависимость коэффициентов Wu от энергии Если число квантовых состояний изолированной системы, имеющей энергию Е с определенным отклонением А <- , равно ЛГ( ), то в соответствии с постулатом равной априорной вероятности состояний таких систем имеем квантовое микроканоническое распределение [c.216]

Классическая статистическая механика есть предельный случай квантовой статистики при достаточно высоких температурах или малой плотности частиц, когда квантовыми эффектами можно пренебречь. В обоих случаях можно использовать понятие статистического ансамбля, чтобы описать макроскопическое состояние интересующей нас системы. Более того, мы увидим, что многие соотношения неравновесной статистической механики удается представить в форме, одинаково пригодной для классических и квантовых систем. Наиболее важными понятиями, общими для классической и квантовой статистики, являются скобки Пуассона и оператор Лиувилля. В предыдущем параграфе мы ввели их для классических систем. Теперь мы определим их для квантового случая. В дальнейшем формальная аналогия между классической и квантовой статистической механикой будет часто использоваться, поскольку, с одной стороны, она позволяет глубже понять многие проблемы, не зависящие от законов движения [c.22]

Итак, мы имеем два эквивалентных выражения для решения квантового уравнения они даются формулами (1.2.68) и (1.2.70). Первое из них обычно более удобно для явных вычислений матричных элементов статистического оператора и средних значений динамических переменных, а второе позволяет рассматривать многие общие вопросы неравновесной статистической механики одновременно для квантовых и классических систем. В дальнейшем мы будем использовать оба выражения для статистического оператора g t). [c.38]

Строго говоря, в квантовой статистической механике соотношение неопределенностей АЕ Т h для времени наблюдения г и энергии не позволяет перейти к пределу АЕ 0. Стремление АЕ к нулю соответствовало бы бесконечному времени наблюдения. Таким образом, толщина слоя АЕ должна быть малой, но конечной величиной. Ее можно выбрать, например, равной средней флуктуации энергии в системе. Впрочем, это не мешает формально рассматривать квантовые ансамбли систем с одинаковой энергией Е. В пределе АЕ О статистический оператор (1.3.41) становится равным [c.56]

По аналогии с классическим случаем, построим теперь статистический оператор, описывающий большой канонический ансамбль квантовых систем. Для этого найдем экстремум информационной энтропии (1.3.53) при следующих дополнительных условиях на пробные статистические операторы д [c.60]

В теореме Вика утверждается, что среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения, вычисленное с квазиравновесным статистическим оператором (2.2.40), равно сумме всех полных систем спариваний. Поскольку матричные элементы m Qq n) статистического оператора (2.2.40) отличны от нуля только для квантовых состояний Iш) и п) с одинаковым числом частиц, следует учитывать только спаривания или [c.99]

Метод построения квантовых и классических неравновесных ансамблей на основе запаздывающих решений уравнений Лиувилля (2.3.11) и (2.3.69), известен как метод неравновесного статистического оператора. В отношении классических систем было бы более естественно говорить о методе неравновесной функции распределения , но и в этом случае мы предпочитаем употреблять название, которое уже давно используется в литературе. В зависимости от выбора базисных переменных, метод неравновесного [c.118]

Аналогичная ситуация возникает в теории сверхпроводимости и в некоторых задачах квантовой теории магнетизма. Одночастичной матрицы плотности недостаточно и для описания кинетических процессов в газах, где идут химические реакции [104,105] или могут возникать связанные состояния частиц. Кинетика таких систем очень интересна, но в рамках одной главы мы, к сожалению, не сможем дать даже ее беглого обзора. Поскольку наша цель состоит с том, чтобы показать, как применяется метод неравновесного статистического оператора в квантовой кинетической теории, мы ограничимся лишь теми случаями, когда неравновесное состояние описывается одночастичной матрицей плотности. [c.248]

Объектом изучения в этом параграфе будут квантовые системы с гамильтонианом Ht = Щ + Я, где основной член яг описывает невзаимодействующие частицы или квазичастицы (возможно, во внешнем переменном поле), а член Н — слабое взаимодействие. Мы хотим вывести для таких систем кинетическое уравнение, раскладывая неравновесный статистический оператор д 1) по степеням Я. [c.248]

В этой главе мы построим микроскопическую теорию линейной реакции, исходя из основных принципов статистической механики и применяя метод неравновесного статистического оператора, изложенный в главе 2. В отличие от кинетической теории, этот метод пригоден, в принципе, для произвольных классических и квантовых систем. Кроме того, он позволяет изучать реакцию системы на механические и термические возмущения с единой точки зрения. [c.338]

Мы закончим наше краткое обсуждение линейных кинетических уравнений одним замечанием. Обратим внимание на то, что после линеаризации квазиравновесного статистического оператора (5.4.7) все равновесные корреляционные функции, определяющие статические восприимчивости и кинетические коэффициенты, вычисляются с полным гамильтонианом системы Н. Таким образом, в кинетическом уравнении (5.4.18) точно учитываются равновесные многочастичные корреляции. С этой точки зрения формализм функций памяти напоминает подход к кинетической теории плотных систем, который обсуждался в разделе 4.3.4 в связи с выводом квантового аналога уравнения Энскога ). [c.390]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Ясно, что кинетическая теория, основанная на релятивистском (классическом или квантовом) уравнении Больцмана, непригодна для описания неравновесных процессов в произвольных квантово-полевых системах, поэтому естественно обратиться к более общим методам статистических ансамблей и попытаться вывести уравнения переноса для таких систем, исходя из релятивистского уравнения Лиувилля. На этом пути уже достигнут определенный прогресс. Метод неравновесного статистического оператора, изложенный в настоящей книге, применялся в некоторых задачах [13-15, 34, 88]). От- [c.282]

Если же нас интересует динамика самого атома, либо только поля, мы можем написать уравнения движения. Но не для вектора состояния подсистемы, а для матрицы плотности (статистического оператора) атома либо поля. Разделение двух взаимодействующих квантовых систем на подсистемы с неизбежностью приводит к их описанию в терминах матрицы плотности. [c.562]

Не продолжая процедуры построения следующих уравнений, мы на примере полученных выще двух обнаруживаем чрезвычайно характерную для всей статистической механики неидеальных систем ситуацию уравнения для корреляционных функций (или их модификаций, а в квантовой статистике для корреляционных статистических операторов) образуют цепочку. Эти уравнения не замкнуты каждое уравнение для Ра содержит в интегральном члене функцию так что решению этих уравнений должна предшествовать процедура расцепления цепочки, так чтобы оставшаяся фуппа уравнений оказалась бы замкнутой. Универсального рецепта проведения такой операции нет, она производится по-разному в зависимости от типа рассматриваемой системы и физических условий, в которых она находится. В следующих разделах данного параграфа мы рассмотрим два характерных примера такого исследования (см. также 2 в разделе дополнительных вопросов). [c.306]

Вторичное квантование. В статистической механике приходится иметь дело с волновыми функциями, зависящими от огромного числа переменных, поэтому координатное представление неудобно для практического использования. Квантовые состояния многочастичных систем обычно описываются в представлении чисел заполнения которое также называется представлением вторичного квантования. Главным достоинством этого представления является то, что в нем симметрия Д/ -частичных волновых функций учитывается автоматически путем введения специальных операторов рождения и уничтожения. Действуя на квантовое состояние системы, эти операторы изменяют число частиц в одночастичных состояниях. Как мы увидим дальше, формализм, основанный на использовании операторов рождения и уничтожения, очень удобен для построения операторов динамических величин и приведенных ( -частичных) матриц плотности, которые играют исключительно важную роль в кинетической теории (см. главу 4). Мы обсудим основные идеи метода вторичного квантования, поскольку он будет часто использоваться в книге. Детальное изложение этого метода можно найти в любом современном учебнике по квантовой механике (см., например, [14, 79, 89, 125]). [c.32]

Обобщенные уравнения переноса. Покажем, как с помощью уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени можно вывести систему уравнений эволюции для наблюдаемых РтУ Мы воспользуемся формализмом, основанным на операторе Лиувилля, так что все дальнейшие рассуждения будут относиться в равной степени к квантовым и к классическим системам, если интерпретировать статистическое распределение q и операцию Тг соответствующим образом. [c.108]

Однако квантовая механика не дает способа определения чисел С ее помощью можно ввести систему функций (например, использовать для этого собственные функции оператора Гамильтона), можно определить эволюцию заданного смешанного состояния как следствие уравнения Шредингера (см. том 3), но она не дает самих Поэтому наша ближайшая задача состоит в том, чтобы определить из немеханических соображений (если таковые вообще найдутся) структуру смешанного состояния, т.е. вид распределения для одного частного, но принципиально важного случая — для термодинамически равновесной статистической системы. [c.25]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Квазиравновесный статистический оператор для плотных квантовых систем. До сих пор при обсуждении квантовых кинетических процессов мы предполагали, что одночастичная матрица плотности явля- [c.288]

Переходя к кинетической теории плотных квантовых систем с сильным взаимодействием между частицами, мы должны иметь в виду, что динамику многочастичных корреляций и эволюцию одночастичной матрицы плотности теперь приходится описывать, по существу, на одной и той же шкале времени ). Если в начальном состоянии отсутствуют корреляции между частицами, то для восстановления всех долгоживущих корреляций требуется значительное время. Иначе говоря, квантовая кинетическая теория, основанная на граничном условии, которое вводится с помощью квазиравно-весного статистического оператора (4.1.32), будет существенно немарковскощ т. е. в кинетическом уравнении для одночастичной матрицы плотности важную роль будут играть эффекты памяти. Решать немарковские кинетические уравнения очень сложно. В большинстве задач эффекты памяти удается учесть только в первом приближении, т. е., фактически, для слабо неидеальных систем ). Поэтому кажется разумным попытаться сохранить марковский вид уравнений эволюции, расширив набор базисных динамических переменных. В контексте классической кинетической теории эта идея уже обсуждалась в разделе 3.3.4. Теперь мы хотим распространить ее на квантовые системы. [c.288]

В динамической теории флуктуаций уравнение (9.1.35) принято называть обобщенным уравнением Фоккера-Планка так как по структуре оно напоминает уравнение Фоккера-Планка, которое широко используется в теории броуновского движения и во многих других физических задачах [146]. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка в форме (9.1.35) было выведено Цванцигом [175] с помощью разработанного им метода проектирования ). Аналогичное уравнение для квантовых систем получено методом неравновесного статистического оператора в работе [28]. [c.223]

Недавно был предложен новый общий подход к теории неравновесных процессов [17, 41, 156], основанный на так называемой термополевой динамике квантовых систем (см., например, [163, 164]). Как показано в работе [17], метод термополевой динамики близок к методу неравновесного статистического оператора и приводит, по существу, к тем же результатам. Тем не менее, эта новая формулировка неравновесной статистической механики может оказаться полезной для изучения процессов переноса в квантово-полевых системах и требует дальнейшей разработки. [c.283]

Работа состоит из шести глав. Первая глава посвящена разбору возможностей, предоставляемых классической механикой для решения названной основной задачи, и критике относящихся сюда работ, основанных на классической механике. Вторая глава посвящена аналогичному рассмотрению в квантовой механике. В третьей главе разбирается вопрос об описании немаксимально полных опытов, в частности об условиях применимости понятия статистического оператора матрицы плотности). В четвертой главе выводятся некоторые ограничения, которые накладываются на возможности измерений, производимых над макроскопическими системами, условием сохранения их заданной макроскопической характеристики. Значительная часть вопросов, затронутых в третьей и четвертой главах, заключается в получении свойств релаксации, Я-теоремы и т. д.— утверждений макроскопических, т. е., казалось бы, не связанных с вопросами о возможностях измерения. Поэтому, чтобы при решении поставленной в работе задачи не казалось странным возникновение этих вопросов, отметим сразу же, что самая суть поставленной задачи заключается в выяснении связи макроскопических утверждений с микромеханикой, а уравнениям последней можно, как известно, придать физический смысл лишь в связи с возможностями измерений. Пятая глава посвящена общим понятиям о релаксации физических систем, об j/У-теореме и о средних во времени значениях физических величин. В шестой главе выясняется связь между существованием релаксации и определенными свойствами гамильтониана системы. [c.16]

В то время как максимально полный опыт, заключающийся в определении собственных значений всех коммутирующих друг с другом эрмитовских операторов, описывается в квантовой механике Т-функцией, опыт немаксимально полный, по общепринятым сейчас представлениям, всегда может быть описан статистическим оператором (так называемым оператором Неймана [29] или матрицей плотности, см. 4 гл. II). Все квантовомеханические попытки интерпретации статистики исходят поэтому из описания статистических систем либо при помощи Т-функций, либо при помощи статистических операторов. В настоящей главе мы будем рассматривать возможности различных точек зрения, исходя сначала из максимально полного описания, потом — из статистических операторов. Мы переносим в главу III исследование вопроса о возможности описания немаксимально полных опытов при помощи статистических операторов, и следуем в этой главе общепринятым представлениям. [c.136]

Отметим еш е, что понятие статистического оператора возникает в квантовой механике в двух, принципиально различных случаях. Во-первых, предполагают обычно, что состояние системы описывается статистическим оператором, когда произведен немаксимально полный опыт, т. е. когда опыт не дает возможности определить волновую функцию. В этом случае считают, что проведенный неполный опыт выделил в функциональном пространстве некоторое подпространство, и результату опыта сопоставляют статистическую совокупность, определенную в этом подпространстве и характеризуемую статистическим оператором. Очевидна полная аналогия таких представлений и классического описания неполного опыта при помощи ансамбля систем, распределенных в выделенной опытом области АГо фазового пространства (см. гл. I), а также значение этих представлений для задачи обоснования статистики, изучающей связь принципиально неполных (макроскопических) опытов. Во-вторых, понятие статистического оператора возникает тогда, когда рассматривается сложная система, описываемая в целом при помощи Ч -функции (после соответствующего максимально полного опыта), и ставится вопрос об описании какой-либо части системы. В этом случае можно показать, опираясь только на формализм квантовой механики, что части системы, вообще говоря, не имеют определенной Т-функции, а характеризуются статистическим оператором. Разница [c.158]

При квантовомеханич. описании макроскопич, систем всякая физич, величипа является оператором или соответствующей ему матрицей. Понятие статп-стич, усреднения заложено уже в самом аппарате квантовой мехапики. Роль ф-ции распределения играет здесь статистический оператор w (наз, также статистической матрицей, или матрицей плотности). Ф-ла для среднего значения к.-н. физич, величины/ принимает вид /= Sp/u , где Sp — сумма диагональных элементов матрицы. Принципиальное отличие квантовой системы, состоящей из большого числа частиц, по аналогии с классич, случаем, состоит в том, что для вычисления / нельзя пользоваться обычной квантовомеханич, ф-лой 7 = ( 1 з (q)f ( ) dg, поскольку определение волновой ф-ции системы г]) иред- [c.72]

Однако прежде чем рассматривать такой класс стохастических уравнений, остановимся на общих методах статистического описания динамических систем, заимствованных из квантовой теории поля. Суть их заключается в построении ряда теории возмущений для статистических характеристик интересующей нас величины и в исследовании его методами, развитыми в квантовой теории поля. При этом канадый член ряда удобно представлять графически (в виде такназываемых диаграмм Фехшмана), так что каждому элементу графика сопоставляется определенная функция или оператор, т. е. ка/кдый график соответствует определенному аналитическому выражению. Мы не будем рассматривать диаграммную технику как таковую (подробное ее описание для статистических задач см., например, в монографиях [29], [30] и в обзорных ра- [c.138]

Синтезу оптимальных приемных устройств оптического диапазона и оценке их эффективности посвящен ряд работ. Так, в 141] Получен алгоритм действия оптического приемника при приеме дискретномодулированных по интенсивности сигналов найдено, что оптимальными сигналами с точки зрения максимума отношения сигнал/шум являются сигналы с активной и пассивной паузой. В (44] с некоторыми модификациями решались те же вопросы, что и в [41]. В [21] рассматривался вопрос оптимального разрешения некогерентных сигналов оптического диапазона эта работа тесно связана с обнаружением точечных источников на фоне местности. Недостатком указанных работ является то, что статистические распределения сигнальных и шумовых фотонов задаются априорно, без строгого обоснования. Этого недостатка лишены работы [65, 90], где с квантовых позиций осуществляется подход к решению задач обнаружения и приема сигналов этот подход позволяет определить потенциальные возможности обнаружения и выделения лазерных сигналов, осуществить синтез систем, реализующих эти возможности, найти предельную чувствительность и точность приборов. Методам оценки эффективности и оптимизации локационных систем посвящены работы [23, 24]. Анализ дискретных информационных систем оптического диапазона проводится в [42, 43, 45, 46, 47, 62, 67, 99, 101, 102, 103, 105, 106, 107], где также приведены оценки эффективности этих систем. Однако основополагающими работами в области статистической теории обнаружения и приема оптических сигналов следует считать работы К. Хелстрома [19, 20], где строго с квантовых позиций рассмотрен широкий круг интересных вопросов, введен оператор обнаружения и найден ряд аналитических выражений, позволяющих найти алгоритм обработки сигналов и произвести оценку эффективности систем. Отметим, что указанные работы носят характер журнальных статей и перечень их довольно скромен. Совершенно очевидно, что исследования в области создания статистической теории должны быть значительно расширены. [c.14]

В отличие от классических систем, движение которых может быть как полностью детерминированным, так и стохастическим или хаотическим, в квантовых системах детерминизм, как известно, невозможен по самому определению квантовых случайных величин, описываемых некоммутирующими операторами. Если состояние квантовой системы таково, что какой-то набор коммутирующих переменных имеет детерминированный характер, то другие ее переменные, не коммутирующие с указанными, будут иметь существенную статистическую неопределенность. Наиболее простые границы для минимальной неопределенности в системе некоммутирующих переменных устанавливаются неравенством Гейзенберга. В квантовых системах классические [c.383]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Необходимость эквидистантности зеемановских уровней для установления спиновой температуры путем взаимных переворачиваний спинов, начиная от небольцмановского распределения населенностей, можно сопоставить с аналогичным требованием сохранения больцмановского распределения, когда параметр системы (магнитное поле) изменяется адиабатически. Оба требования являются следствием общего требования статистической механики для существования температуры в большой системе, а именно, ее эргодичности, т. е. отсутствия любых интегралов движения (хорошие квантовые числа в квантовой механике), кроме общей энергии. Ясно, что в системе 5, состоящей из большого числа N одинаковых элементарных систем взаимодействующих друг с другом, неэквидистант-ность их энергетических уровней ведет к существованию для общей системы дополнительного интеграла движения — населенностей Р , индивидуальных энергетических уровней. Действительно, эти населенности можно выразить через средние значения операторов, усредненных по всей системе 5 [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...