Корреляционная функция равновесная

Если равновесное состояние системы описывается каноническим или большим каноническим ансамблем, то можно воспользоваться равенством (5.1.62) и выразить тензор электропроводности через корреляционные функции равновесных флуктуаций тока [c.358]

ТО окончательно для двухчастичной корреляционной функции равновесной плазмы получаем [c.273]

Микроскопический способ построения уравнений гидродинамики см. в цитированной на стр. 118 работе Н. Н. Боголюбова. Последовательно применяя этот метод, можно выразить давление и вязкость через корреляционные функции равновесной системы. — Ярил. ред. [c.132]

Метод молекулярной динамики можно использовать для интерпретации и для предсказывания спектра рассеяния нейтронов. Для этого введем вначале равновесную корреляционную функцию плотности [c.197]

Функция V (q) играет важную роль в равновесной статистической механике. Она называется парной корреляционной функцией или радиальной корреляционной функцией. [c.103]

Фиг. 7.3.1. Равновесная парная корреляционная функция для идеального квантового газа прн не слишком высоких температурах.

Используемое здесь обозначение подчеркивает тот факт, что равновесная парная корреляционная функция зависит параметрически от температуры. (Она также зависит от плотности, но зта зависимость явно не выписывается.) Записанная через фурье-образ Vk (Г), определяемый выражением (7.5.22), эта формула принимает вид [c.349]

Если ограничиться в определении (21.1.11) частным случаем усреднения с равновесной функцией распределения, то оказывается, что в силу стационарности и однородности равновесного состояния корреляционная функция будет зависеть только от т и г, а не от f и X [см. (21.1.9)] [c.312]

Следовательно, в общем определении можно положить г = О, х = = 0. Равновесные корреляционные функции типа (21.1.14) будут играть ведущую роль в этой главе. [c.312]

Рассмотрим теперь равновесную временную корреляционную функцию динамических величин А я В типа (21.1.15). Путем совершенно аналогичных преобразований запишем ее в форме [c.323]

Как мы видели, флуктуации энергии могут быть выражены через термодинамические величины. Этот пример показывает, что, вычислив статистическую сумму, можно затем вычислить флуктуации динамических переменных, явно входящих в равновесное распределение. Расчет флуктуаций других динамических переменных представляет более сложную задачу, так как в общем случае корреляционные функции не выражаются непосредственно через термодинамические величины. [c.70]

Пока нет оснований утверждать, что в методе неравновесных статистических ансамблей имеются трудности принципиального характера, однако многие проблемы все еще остаются нерешенными. В частности, мало известно о поведении неравновесных средних и обобщенных уравнений переноса в термодинамическом пределе. В равновесном случае результаты, касающиеся существования этого предела для термодинамических потенциалов и корреляционных функций, в настоящее время удается сформулировать и доказать в виде строгих математических теорем [146]. Решение аналогичных проблем в неравновесной статистической механике представляет собой гораздо более сложную задачу и пока на этом пути сделаны только первые шаги. [c.134]

Для реализации намеченной программы удобнее начать с разложения функций по корреляционным функциям которые по аналогии с равновесным групповым разложением вводятся из соотношений [c.177]

Эта формула совпадает с хорошо известным выражением для равновесной корреляционной функции слабо неидеального газа. Нетрудно убедиться в том, что интеграл столкновений (3.3.1), вычисленный с корреляционной функцией (3.3.40), равен нулю. Следовательно, интеграл столкновений (3.3.30) в равновесном состоянии также равен нулю. Отметим, что для интеграла столкновений (3.3.36) отдельного доказательства не требуется, так как он получается из выражения (3.3.30) путем вычитания членов, описывающих двух- и трехчастичные процессы. [c.207]

Для вычисления равновесной парной корреляционной функции g xi x2) мы воспользуемся соотношениями [см. (3.3.38) и (3.3.39)] [c.242]

Вернемся теперь к выражению (ЗГ.1) для равновесной парной корреляционной функции. В результате разложения обратного оператора по степеням М 2 но принимает вид [c.243]

Они выражаются через равновесные корреляционные функции [c.341]

Итак, мы выяснили, что поправки к средним значениям динамических переменных выражаются через параметры отклика /" (0 ), которые удовлетворяют системе линейных уравнений (5.1.22). Эти уравнения мы будем обычно называть уравнениями отклика. Коэффициенты в них составлены из равновесных корреляционных функций вида (5.1.19), которые, таким образом, играют исключительно важную роль в теории линейной реакции. [c.344]

Для простоты доказательства некоторых соотношений мы приписали каждой из динамических переменных в (5.1.27) временной аргумент, но фактически равновесные корреляционные функции зависят лишь от разности t — t (см. ниже). [c.345]

Поскольку равновесные корреляционные функции зависят от и только через разность t — t из разложений (5.2.3) и (5.2.6) следует, что спектральная плотность обладает свойством симметрии [c.360]

Среднее значение в правой части этой формулы вычисляется с эффективным гамильтонианом 711, = + где [t/, Ях] / 0. Таким образом, если равновесное состояние вырождено, то корреляционные функции и функции Грина должны рассматриваться как квазисредние [c.365]

В параграфе 5.1 мы рассмотрели формулировки теории линейной реакции, в которых средние значения динамических переменных выражались через временные корреляционные функции или запаздывающие функции Грина. Эти формулировки очень важны с точки зрения общей теории, так как они приводят к универсальным соотношениям между измеряемыми в эксперименте макроскопическими величинами и характеристиками микроскопической динамики равновесных флуктуаций. Однако для практических приложений требуются эффективные методы вычисления корреляционных функций. Хотя в настоящее время существует несколько методов такого рода, ни один из них не является универсальным. В этом параграфе мы обсудим подход, который позволяет изучить некоторые важные свойства корреляционных функций, включая их поведение во времени, не обращаясь явно к сложной динамике системы многих частиц. В этом смысле излагаемый ниже подход напоминает наше исследование восприимчивостей и кинетических коэффициентов в предыдущем параграфе, но он более тесно связан с линейными уравнениями переноса. [c.372]

Возвращаясь снова к уравнениям (5.3.18), мы видим, что основные величины, представляющие интерес в излагаемом формализме, — это частотная матрица и матрица функций памяти. Элементы частотной матрицы (5.3.19) выражаются через статические равновесные корреляционные функции и, в принципе, могут быть вычислены методами равновесной статистической механики. В частном случае, когда динамические переменные Рп коммутируют друг с другом ), частотная матрица равна нулю. С другой стороны, вычисление элементов матрицы функций памяти (5.3.20) или матрицы (5.3.23) в -представлении является, как правило, очень сложной проблемой. Главные трудности связаны с тем, что эволюция микроскопических потоков в кинетических коэффициентах (5.3.17) описывается приведенным оператором Лиувилля (5.3.15), который имеет гораздо более сложную структуру, чем обычный оператор L. [c.377]

Сразу видно, что уравнения (5.3.41) и (5.3.49) имеют совершенно одинаковую структуру. Эта аналогия между уравнениями для средних значений базисных переменных и уравнениями для корреляционных функций бывает весьма полезной в конкретных задачах. В самом деле, решая приближенно цепочку уравнений для корреляционных функций, можно явно вычислить элементы матриц П и И( ). Тем самым мы получим явные выражения для коэффициентов в уравнениях (5.3.18) или (5.3.21), которые описывают макроскопическую эволюцию системы. С другой стороны, иногда макроскопические уравнения переноса (например, уравнения гидродинамики) могут быть выведены методами феноменологической неравновесной термодинамики. Тогда отмеченная выше аналогия позволяет получить асимптотические выражения для корреляционных функций через равновесные термодинамические величины и коэффициенты переноса. [c.381]

Так как равновесные корреляционные функции операторов (5.4.4) зависят от разности пространственных аргументов, при выводе кинетического уравнения удобнее работать с фурье-компонентами [c.387]

Мы закончим наше краткое обсуждение линейных кинетических уравнений одним замечанием. Обратим внимание на то, что после линеаризации квазиравновесного статистического оператора (5.4.7) все равновесные корреляционные функции, определяющие статические восприимчивости и кинетические коэффициенты, вычисляются с полным гамильтонианом системы Н. Таким образом, в кинетическом уравнении (5.4.18) точно учитываются равновесные многочастичные корреляции. С этой точки зрения формализм функций памяти напоминает подход к кинетической теории плотных систем, который обсуждался в разделе 4.3.4 в связи с выводом квантового аналога уравнения Энскога ). [c.390]

Заметим, что в данном случае мы не имеем условий самосогласования для динамических переменных Jg и Лд. Тот факт, что их средние значения в квазиравновесном состоянии равны нулю, легко проверить, записав статистический оператор (5В.5) в линейном приближении по 6(3 г) и Sfj, r) (напомним, что F =0). Тогда средние значения Je)q и (J >g будут выражены через равновесные корреляционные функции динамических переменных различной тензорной размерности. Такие корреляционные функции равны нулю. [c.408]

Следуя Мори [127], будем рассматривать равновесные корреляционные функции как скалярные произведения А В) в гильбертовом пространстве динамических переменных. Основные свойства скалярного произведения следуют непосредственно из определения корреляционных функций (5.1.10) [c.410]

Здесь все динамические переменные и равновесный статистический оператор (5Д.23) диагональны в представлении чисел заполнения для примесной подсистемы. Поэтому корреляционную функцию удобно преобразовать, используя групповое разложение по операторам п . Поскольку предполагается, что концентрация примесей мала, можно пренебречь оператором в (5Д.32) и применить следующее простое правило для [c.417]

В главе 5 было показано, что линейная реакция многочастичных систем на механические и термические возмущения описывается обобщенными восприимчивостями и кинетическими коэффициентами, которые связаны с равновесными временными корреляционными функциями и запаздывающими функциями Грина. В общем случае кинетические коэффициенты выражаются через корреляционные функции в квази-равновесном ансамбле (см. главу 2). Для слабо неидеальных газов интересующие нас величины можно вычислить элементарными методами, используя теорию возмущений по слабому взаимодействию или плотности. Однако во многих задачах корреляционные эффекты и взаимодействие отнюдь не малы, поэтому приходится суммировать бесконечные последовательности членов в рядах теории возмущений. В таких случаях необходимы более мощные методы, позволяющие, в принципе, производить подобное суммирование. [c.8]

Таким образом, вариация среднего значения (Л(/)>, связанная с реакцией системы на механическое возмущение Н(=В, определяется равновесным средним от произведения двух динамических величин (Л и В) с различными временными аргументами, т. е. двухвременной корреляционной функцией этих величин А(Р)В 1"))о—(Л)о(В)о, где последний член мы не будем выписывать явно, полагая, если он не равен нулю, Л- -Л—(Л)о или В- В—(В)о. Вследствие очевидной стационарности равновесного состояния корреляционная функция зависит только от разности времен [c.166]

КУБО ФОРМУЛЫ — выражают линейную реакцию статистической системы на пере.менное виеганее во.з-мущение. К. ф. позволяют выразить кинетические коэффициенты через равновесные временные корреляционные функции потоков. Установлены Р. Кубо (R. КнЬо) в 1957. [c.532]

В жидкостях теряют смысл понятия времени и длины свободного пробега частиц (неприменимо кинетич. ур-ние Больцмана для одночастичной ф-ции распределения). Аналогичную роль для жидкости играют величины Т1 II 1 — время и длина затухания пространственно-временных корреляционных функций динамич. переменных, описывающих потоки энергии и импульса Т1 и характеризуют затухание во времени и пространстве взаимного влияния молекул, т. е. корреляций. Для жидкостей полностью остается в силе понятие гид-родинамич. этапа Р. и локально-равновесного состояния. В макроскопически малых объемах жидкости, но ещё достаточно больших по сравнению с длиной корреляции локально-равновесное распределение устанавливается за время порядка времени корреляции (т т ) в результате интенсивного взаимодействия между частицами (а не только парных столкновений, как в газе) эти объёмы по-прежнему можно считать приближённо изолированными. На гндродивамич. этапе Р. в жидкости термодинамич. параметры и массовая скорость удовлетворяют таким же ур-ниям гидродинамики, теплопроводности и диффузии, как и для газов (при условии малости изменения термодинамич. параметров и массовой скорости за время т, и на расстояниях [c.328]

Примерно в это же время метод Р, Г был перенесён К. Вильсоном (К. Wilson) из КТП в теорию критических явлений и использован для вычисления характеристик фазовых переходов. Впоследствии этот метод был плодотворно использован в др. разделах теоретич. физики теории турбулентности, физике полимеров, теории переноса, маги, гидродинамике и нек-рых других, содержащих статистич. описание физ. явлений. Основой для применения методов Р. г. в отд. случаях служит теорема эквивалентности задачи вычисления корреляционных функций данной статистич. модели и задачи вычисления Грина функций век-рой квавтовоиоле-вой модели. Первоначально такая эквивалентность была установлена для статистич. моделей равновесной термодинамики, а затем этот результат был распространён иа ряд задач стохастич. динамики. [c.339]

При нагружении композита наблюдаются последовательно сменяющие друг друга стадии структурного разрушения. Пока степень повреждений не превышает 7% процесс структурного разрушения npКорреляционная функция, построенная для равновесного состояния, соответствующего точке / на рис. 7.8а, локальна, затухает на расстоянии 6 i. Значительное ослабление взаимного влияния при увеличении расстояния является признаком ближнего порядка во взаимодействии повреждений. Коэффициент корреляции снижается до 0,2 на расстоянии 2 f . Малое смещение а в пределах 10% корреляционных функций в положительную область обусловлено некоторой несимметрией относительно ортогональных осей формы структурного элемента, несмотря на то, что схема дискретизации макроскопически квазиизотропного композита выбиралась из условия минимального разброса эффективных модулей Юнга в трех взаимно ортогональных направлениях. Например, в случае зернистого композита с двумя изотропными компонентами модули Юнга которых равны 10 МПа и 10 МПа, при одинаковый коэ ициентах Пуассона 0,25 и совпадающих объемных долях ука занное отличие в эффективных модулях не превышало 2%. [c.142]

Среднее (...) берется по равновесному состоянию. Таким образом, коэффициент трения предстлвляет собой интеграл по времени от автокорреляционной функции силы,. Подобные величины играют важную роль в статистической физике более подробно они будут исследованы в гл. 21. Мы уже видели в разд. 13.4, что коэффициенты переноса являются величинами такого типа. Эта автокорреляционная функция представляет собой очень сложный объект в общем случае точно ее вычислить невозможно. Таким образом, основной результат механического вывода состоит в установлении связи макроскопического параметра описывающего диссипацию, с микроскопической корреляционной функцией меж-молекулярных сил. [c.302]

Спектральная плотность, соответствзгющая равновесной корреляции плотность — плотность, может быть непосредственно измерена. Мы видели в разд. 8.1, что фурье-образ парной корреляционной функции непосредственно связан со структурным фактором [см. (8.1.5)]. Последний можно определить, измеряя интенсивность упругого рассеяния электромагнитных волн или нейтронов в жидкости. Если рассматривать неупругое рассеяние, сопровождаемое передачей не только импульса Йк, но и энергии Йсо, то можно определить форм-фактор Як (со), зависящий как от волнового вектора к, так и от частоты со рассеянного излучения. Ван Хов показал, чтоэтотформ-факторсовпадаетсоспектральнойплотностью (21.1.17). Со времени работы Ван Хова неупругое рассеяние нейтронов стало мощным орудием зкспериментальных исследований динамических, зависящих от времени явлений в жидкостях. [c.313]

Первый класс явлений — это флуктуации, которые довольно подробно обсуждались в разд. 21.1, где было показано, что эти случайные отклонения от равновесного состояния описываются совокупностью моментов различных типов. Наиболее известный момент — это двухвременная равновесная корреляционная функция А (ti) В (<г) ) В динамической теории флуктуаций исследуется поведение моментов как функций времени. [c.318]

Чтобы доказать это важное свойств перенормированных интегралов столкновений, нам нужно найти вид равновесной парной корреляционной функции д2 х х2) которая соответствует формуле (3.3.29). Заменив одночастичные функции распределения максвелловскими функциями (3.3.37), имеем [c.207]

Рассмотрим равновесные корреляционные функции вида (АЛ ( ) A 2( )) и AA2 t ) AA- t)), где AA t) = A t) — (А) и A t) — оператор в представлении Гайзен-берга (5.1.28). В этом параграфе символ (...) везде означает усреднение с равновесным статистическим оператором. [c.360]

Соотношения взаимности для кинетических коэффициентов были впервые получены Опсагером [133]. Он исходил из гипотезы, что затухание равновесных флуктуаций происходит так же, как и релаксация неравновесных средних значений, и использовал инвариантность уравнений движения частиц относительно обращения времени и магнитного поля ). Соотношения Онсагера играют исключительно важную роль в теории необратимых процессов. На них фактически основана вся неравновесная термодинамика (см., например, [70]). Как мы видели, в статистической механике эти соотношения выводятся из свойств симметрии корреляционных функций и функций Грина. [c.365]

Флуктуационно-диссипационные теоремы. В статистической механике флуктуационно-диссипационными теоремами принято называть соотношения между восприимчивостями или кинетическими коэффициентами, которые определяют реакцию системы на внешнее возмущение, и равновесными флуктуациями. В принципе, соотношения (5.2.1) и (5.2.2) можно рассматривать как частный случай таких теорем, поскольку они связывают корреляционные функции и функции Грина (и, следовательно, восприимчивости и кинетические коэффициенты) со спектральной плотностью равновесных флуктуаций. В этом разделе мы выведем другие флуктуационно-диссипационные теоремы. [c.370]

Итак, нам удалось выразить спектральную плотность равновесных флуктуаций через корреляционную функцию и функцию Грина. Теперь с помощью основных соотношений (5.2.1) и (5.2.2) мы можем исключить эти вспомогательные функции и связать спектральную плотность с наблюдаемыми физическими величинами — восприимчивостями и кинетическими коэффициентами. Мы рассмотрим наиболее интересный случай, когда оба оператора Ai и А2 эрмитовы. Возвращаясь к формуле (5.2.72), замечаем, что первый член в левой части уже есть не что иное как восприимчивость XaiA2( ) с обратным знаком. Что касается второго члена, то его также можно выразить через восприимчивость с помощью соотношения (5.2.13) [c.371]

В стационарном пределе а О это выражение переходит в j что совпадает с результатом равновесной термодинамики. Таким образом, для статических восприимчивостей формализм функций памяти дает точно такие же выражения, как и подход, изложенных в разделе 5.1.1. Конечно, это обстоятельство не является случайным, так как оба подхода основаны на одном о том же граничном условии к уравнению Лиувил-ля и поэтому должны быть эквивалентны. В разделе 5.3.3 мы покажем, что формализм функций памяти является, по существу, одним из возможных представлений для временных корреляционных функций. [c.377]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...