Равновесный статистический оператор

Как следует из уравнения Неймана (11.36), равновесный статистический оператор коммутирует с гамильтонианом Й и для покоящейся системы является его функцией р=р[Я]. Поэтому необходимо задать зависимость коэффициентов Wu от энергии Если число квантовых состояний изолированной системы, имеющей энергию Е с определенным отклонением А <- , равно ЛГ( ), то в соответствии с постулатом равной априорной вероятности состояний таких систем имеем квантовое микроканоническое распределение [c.216]

В квантовой статистической механике равновесный статистический оператор, описывающий систему с заданным числом частиц, является некоторой функцией гамильтониана [c.53]

Требуя, чтобы равенство SS = О выполнялось для произвольного 6д, получаем экстремальный (равновесный) статистический оператор [c.58]

По своей структуре член Ii t) аналогичен интегралу столкновений Левинсона (4.5.13), за исключением того, что в формуле (4.5.47) поправки Хартри-Фока включены в невозмущенный оператор эволюции. Новый член Ii (t) учитывает вклад неравновесных корреляций в интеграл столкновений. Даже не производя явных вычислений, легко заметить, что в тепловом равновесии Ii t) и Ii t) точно компенсируют друг друга и, тем самым, полный интеграл столкновений (4.5.46) обращается в нуль. Чтобы убедиться в этом, проще всего вернуться к выражению (4.5.45) для статистического оператора. Мы уже отмечали, что в тепловом равновесии квазиравновесный статистический оператор (4.5.26) переходит в распределение Гиббса Заменяя в (4.5.45) Qq на равновесный статистический оператор и учитывая, что коммутирует с гамильтонианом системы, находим, что д = д . Отметим, что при этом каждый из интегральных членов уравнения (4.5.45) в равновесном состоянии не равен нулю [c.318]

Предполагается, что в отсутствие внешних полей система находится в равновесном состоянии, которое описывается большим каноническим ансамблем Гиббса. Соответствующий равновесный статистический оператор равен [c.339]

Здесь все динамические переменные и равновесный статистический оператор (5Д.23) диагональны в представлении чисел заполнения для примесной подсистемы. Поэтому корреляционную функцию удобно преобразовать, используя групповое разложение по операторам п . Поскольку предполагается, что концентрация примесей мала, можно пренебречь оператором в (5Д.32) и применить следующее простое правило для [c.417]

И усреднение ведется с равновесным статистическим оператором для одной моды [c.419]

Рассматривая средние значения НУ и СтУ как заданные неравновесные параметры состояния, частично-равновесный статистический оператор находится, как обычно, из условия максимума информационной энтропии и может быть записан в виде [c.28]

Другой пример процессов, для которых кинетические коэффициенты выражаются через временные корреляционные функции с обычным определением эволюции микроскопических потоков, это медленные (марковские) процессы в системах, состоящих из слабо взаимодействующих подсистем. В таких случаях корреляционные функции вычисляются с частично-равновесным статистическим оператором (6.2.7), где T t) = l/P t) — неравновесная температура подсистемы и — некоторый эффективный гамильтониан. Кинетический коэффициент в частично-равновесном состоянии имеет вид [c.36]

В линейном приближении по градиентам локально-равновесный статистический оператор gi t) под знаком интеграла в (8.4.82) можно заменить на оператор [c.201]

Пусть р0 есть статистический оператор в отсутствие возмущения, характеризующий систему в состоянии термодинамического равновесия. В дальнейшем для краткости мы будем его именовать просто равновесным статистическим оператором. Очевидно, [ро, // ] = 0. Положим [c.136]

Считая возмущение Я и отличие статистического оператора p(i) от равновесного ро малым, находим аналогично классическому случаю [c.170]

За последние двадцать лет метод неравновесного статистического оператора с успехом применялся ко многим проблемам кинетической теории, гидродинамики, физики твердого тела, химической физики и т. д. Кроме того, стали яснее основы этого метода и его связь с другими подходами. Таким образом, в настоящее время стало возможным дать систематическое изложение теории неравновесных процессов, основанное на методе статистических ансамблей. В этой книге предпринята попытка такого изложения на уровне, доступном для студентов, прослушавших стандартные курсы квантовой механики и равновесной статистической механики. [c.10]

Исторически теория информации заимствовала многие понятия из статистической механики. Среди прочих, к ним относится понятие информационной энтропии, введенное Шенноном [151]. Однако теперь, когда теория информации представляет собой хорошо разработанную теорию, можно, следуя Джейнсу [98, 99], принять ее положения за исходные и применить их к статистической механике. В частности, мы увидим, что все равновесные распределения Гиббса могут быть выведены из условия максимума информационной энтропии при соответствующих ограничениях, наложенных на статистический ансамбль. Отметим, однако, что подход, основанный на теории информации, не следует рассматривать как строгое обоснование статистической механики ). Но во всяком случае, он предоставляет собой очень удобный эвристический метод построения функций распределения и статистических операторов. Этот метод оказывается особенно полезным в неравновесной статистической механике. [c.49]

Равновесные статистические ансамбли. Основная задача статистической физики — определение статистического оператора системы g t) — имеет два аспекта [c.52]

Отметим, что равновесное распределение может зависеть от некоторых внешних макроскопических параметров, определяющих ансамбль. Например, статистический оператор eq( ) параметрически зависит от объема и полного числа частиц если оно сохраняется для всех систем ансамбля. [c.53]

Условия самосогласования (2.2.42) позволяют исключить параметры F lJ t) в формуле (2.2.40) и тем самым позволяют выразить любое среднее значение в квази-равновесным состоянии через одночастичную матрицу плотности. Чтобы явно решить уравнения (2.2.42), введем диагональное представление для квазиравновесного статистического оператора. [c.95]

Имеется тесная связь между методом источников для обратимых уравнений эволюции (типа уравнения Лиувилля или уравнения Шредингера) и методом квазисредних разработанным Боголюбовым [8] в равновесной статистической механике. Квазисредние вводятся для систем, обладающих некоторой симметрией. Математически симметрия описывается унитарным оператором f/, который действует на волновые функции системы и коммутирует с гамильтонианом [c.122]

Хорошо известно, что простейшими моделями в равновесной статистической механики ЯВЛЯЮТСЯ системы с малой плотностью или со слабым взаимодействием, так как изучение каждой из них можно начинать с очень простого нулевого приближения — системы свободных частиц. Аналогичная ситуация имеет место и в теории неравновесных процессов. Как отмечено в разделе 2.1.1, для разреженного газа и для систем со слабым взаимодействием можно ввести кинетическую шкалу времени или, как ее иногда называют, кинетическую стадию эволюции. На этой стадии все многочастичные функции распределения полностью определяются одночастичной функцией распределения. При этом основная задача состоит в том, чтобы получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. В настоящей главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к выводу кинетических уравнений для классических систем и рассмотрим несколько типичных примеров. [c.163]

В параграфе 2.1 уже обсуждалось лежащее в основе кинетического описания системы предположение о том, что неравновесное состояние может быть задано одночастичной функцией распределения fi x t) = /i(r,p, t). Тогда, согласно методу неравновесного статистического оператора, Д/ -частичная функция распределения д х , t) =. .., Ждг, ) должна выражаться в виде функционала от fi x,t). В соответствии с подходом, развитым в параграфе 2.3, первым этапом должно быть построение квази-равновесной Д/ -частичной функции распределения Qq x соответствующей максимуму информационной энтропии при заданной fi x,t). Это распределение уже было получено нами в разделе 2.2.2 в виде (2.2.32). Истинная неравновесная Д/ -частичная функция распределения д х t) = (ж ,..., Ждг, ) находится как решение уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени [c.164]

В соответствии с общей идеей сокращенного описания неравновесных систем, нормальным решением уравнения Больцмана (ЗА.З) можно назвать такое решение, которое в отдаленном прошлом совпадает с локально-равновесным максвелловским распределением (ЗА.19). Иными словами, нормальное решение уравнения Больцмана отбирается с помощью специального граничного условия точно так же, как неравновесный статистический оператор был найден в главе 2 с помощью граничных условий к уравнению Лиувилля. Продолжая дальше эту аналогию, введем в уравнение Больцмана бесконечно малый источник, отбирающий нормальное решение [27] [c.236]

Возвращаясь снова к уравнениям (5.3.18), мы видим, что основные величины, представляющие интерес в излагаемом формализме, — это частотная матрица и матрица функций памяти. Элементы частотной матрицы (5.3.19) выражаются через статические равновесные корреляционные функции и, в принципе, могут быть вычислены методами равновесной статистической механики. В частном случае, когда динамические переменные Рп коммутируют друг с другом ), частотная матрица равна нулю. С другой стороны, вычисление элементов матрицы функций памяти (5.3.20) или матрицы (5.3.23) в -представлении является, как правило, очень сложной проблемой. Главные трудности связаны с тем, что эволюция микроскопических потоков в кинетических коэффициентах (5.3.17) описывается приведенным оператором Лиувилля (5.3.15), который имеет гораздо более сложную структуру, чем обычный оператор L. [c.377]

Мы закончим наше краткое обсуждение линейных кинетических уравнений одним замечанием. Обратим внимание на то, что после линеаризации квазиравновесного статистического оператора (5.4.7) все равновесные корреляционные функции, определяющие статические восприимчивости и кинетические коэффициенты, вычисляются с полным гамильтонианом системы Н. Таким образом, в кинетическом уравнении (5.4.18) точно учитываются равновесные многочастичные корреляции. С этой точки зрения формализм функций памяти напоминает подход к кинетической теории плотных систем, который обсуждался в разделе 4.3.4 в связи с выводом квантового аналога уравнения Энскога ). [c.390]

Заметим, что в данном случае мы не имеем условий самосогласования для динамических переменных Jg и Лд. Тот факт, что их средние значения в квазиравновесном состоянии равны нулю, легко проверить, записав статистический оператор (5В.5) в линейном приближении по 6(3 г) и Sfj, r) (напомним, что F =0). Тогда средние значения Je)q и (J >g будут выражены через равновесные корреляционные функции динамических переменных различной тензорной размерности. Такие корреляционные функции равны нулю. [c.408]

Отметим, что квазиравновесный статистический оператор (6.1.12) совпадает с равновесным распределением Гиббса, если множители Лагранжа в формулах (6.1.63) и (6.1.64) имеют вид [c.22]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Теперь, если /5 = /5 = квазиравновесный статистический оператор совпадает с равновесным (гиббсовским) распределением при температуре Т = 1//5. Однако Qq t) может описывать и сильно неравновесное состояние системы, в котором обратные температуры Pi t) и / 2( ) имеют смысл множителей Лагранжа, определяемых из условий самосогласования [c.91]

Рассмотрим равновесные корреляционные функции вида (АЛ ( ) A 2( )) и AA2 t ) AA- t)), где AA t) = A t) — (А) и A t) — оператор в представлении Гайзен-берга (5.1.28). В этом параграфе символ (...) везде означает усреднение с равновесным статистическим оператором. [c.360]

С помощью нового выражения (8.4.37) для локально-равновесного статистического оператора функционал Масье-Планка можно записать как [c.194]

Равновесный статистический оператор. Как отмечалось в 2.2, вся информация о произвольной квантовостатистической модели (называемой системой) содержится в статистическом операторе р. Термин равновесный означает, что система находится в контакте с термостатом и ее статистика описывается каноническим ансамблем Гиббса, для которого [c.112]

Сегодня имеется обширная литература, в которой излагаются конкретные вопросы теории неравновесных процессов. Однако, в отличие от равновесной статистической механики, основанной на универсальном методе ансамблей Гиббса, существует большое число различных подходов к неравновесным системам. Поскольку детали микроскопических взаимодействий тесно связаны с неравновесными свойствами многочастичных систем, может показаться, что общий статистический подход к необратимым процессам вообще невозможен. Как следствие такой точки зрения, во многих недавно изданных книгах отсутствует изложение неравновесной статистической механики как таковой. Вместо этого проводится мысль, что различные явления требуют различных подходов. Тем не менее, фундаментальная идея статистических ансамблей Гиббса применима и к неравновесных системам, так что задача состоит в том, чтобы использовать эту идею в форме, пригодной для описания различных неравновесных процессов, в рамках единого метода. Такой метод, известный теперь как метод неравновесного статистического оператора был развит Д.Н. Зубаревым и изложен в его книге Неравновесная статистическая термодинамика , которая появилась на русском языке в 1971 году, а затем была переиздана в США (1974 г.) и в Германии (1976 г.). Позже краткое введение в метод было дано в книге Г. Рёпке Неравновесная статистическая механика (на немецком языке книга вышла в 1987 году и на русском — в 1990 году). [c.10]

Выражение (4.5.26) напоминает большое каноническое распределение Гиббса, но оно может описывать состояния, которые сильно отличаются от равновесного, так как одночастичная функция распределения fi t) является произвольной. Ясно, что при установлении равновесия в системе статистический оператор (4.5.26) переходит в распределение Гиббса, т. е. величины /5 ( ) и /х ( ) стремятся, соответственно, к равновесной обратной температуре /5 и к равновесному химическому потенциалу /х, а параметры Л ( ) стремятся к нулю. Поэтому будем называть T t) = I/P t) квазитемпературой а — квазихимическим потенциалом. [c.315]

Здесь необходимо сделать еще одно замечание относительно полученного нами выражения (5.1.16) для статистического оператора. Мы предполагали, что равновесное состояние системы описывается большим каноническим ансамблем, поэтому гайзен-берговское представление для мнимого времени (5.1.7) определяется с эффективным гамильтонианом % = Н — jllN. С другой стороны, операторы эволюции (5.1.15) выражаются через Я независимо от равновесного распределения. То есть, строго говоря, динамические переменные в (5.1.16) можно считать функциями одного аргумента ti - -ij3hx только для канонического ансамбля. Отметим, однако, что в теории линейной реакции интересующие нас динамические переменные, как правило, коммутируют с оператором числа частиц N. Для таких переменных справедливы равенства [c.342]

Так как эти функции — основные математический объекты в теории линейной реакции, имеет смысл хотя бы кратко остановиться на их свойствах ). Для определенности мы рассмотрим квантовые системы и будем считать, что равновесное состояние описывается большим каноническим ансамблем со статистическим оператором (5.1.2). Тогда в (5.1.27) A t) и B t ) — некоторые квантовые операторы в представлении Гайзенберга с эффективным гамильтонианом 7/, т. е. [c.345]

Чтобы получить представление о том, как термические возмущения могут быть включены в теорию, рассмотрим систему заряженных частиц, скажем, электроны в плазме или электроны проводимости в кристалле. Тепловое равновесие системы описывается общей температурой Т и равновесным значением химического потенциала /1. Мы предположим, что неравновесное состояние достаточно хорошо описывается величинами T r,t) и /х(г, ), зависящими от координат и времени, т. е. систему можно разделить на малые подсистемы, каждая из которых находится в состоянии, близком к локальному равновесию. В континуальном пределе соответствующий локальноравновесный статистический оператор имеет вид [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...