Линейные кинетические уравнения

Другим примером линейного кинетического уравнения для функции распределения легкого компонента является кинетическое уравнение для нейтронов в реакторе масса нейтронов мала по сравнению с массой ядер атомов материала реактора я их плотность значительно меньше плотности атомных ядер поэтому можно пренебречь взаимодействием нейтронов между собой. [c.152]

В случаях развития трещин при постоянной деформации, когда зависимость СРТ или шага бороздок от длины трещины является линейной, кинетические уравнения имеют вид [c.498]

Помимо этого, обычно допускается, что именно перед стадией быстрого горения окисление подчиняется линейным кинетическим уравнениям. [c.71]

Линейные кинетические уравнения. Мы начнем с кинетического описания процессов переноса в квантовых системах ). Пас будет интересовать линейное кинетическое уравнение для неравновесной поправки к одночастичной матрице плотности [c.386]

Отметим, что уравнение (5.4.18) все еще является точным и поэтому весьма сложным, так как оно содержит точные восприимчивости и кинетические коэффициенты. Основное достоинство этого уравнения состоит в том, что оно может служить основой для вывода приближенных линейных кинетических уравнений. Например, во многих реальных ситуациях функция Вигнера 6f r,p t) координатно-импульсном представлении мало изменяется на расстояниях порядка средней волны де Бройля частиц Хв Тогда уравнение (5.4.18) можно упростить, выполняя разложение всех функций Вигнера по градиентам. В качестве иллюстрации мы выведем линеаризованное кинетическое уравнение в первом приближении по градиентам. [c.389]

Мы закончим наше краткое обсуждение линейных кинетических уравнений одним замечанием. Обратим внимание на то, что после линеаризации квазиравновесного статистического оператора (5.4.7) все равновесные корреляционные функции, определяющие статические восприимчивости и кинетические коэффициенты, вычисляются с полным гамильтонианом системы Н. Таким образом, в кинетическом уравнении (5.4.18) точно учитываются равновесные многочастичные корреляции. С этой точки зрения формализм функций памяти напоминает подход к кинетической теории плотных систем, который обсуждался в разделе 4.3.4 в связи с выводом квантового аналога уравнения Энскога ). [c.390]

Кинетические уравнения массообмена в фильтрующейся жидкости уравнения сорбции и десорбции примесных компонент. Интенсивности переходов масс между подвижными и неподвижными фазами /12 и /31 будем описывать линейными кинетическими уравнениями, определяемыми временами релаксации t 2. = = 21 И 34 — 43, равновесными объемными концентрациями, или насыщенностями (подвижных фаз) 82 и которые будем [c.310]

Для скорости переходов примесных компонент между нефтью, водой и твердой породой аналогично (8.2.20) примем линейные кинетические уравнения, определяемые временами релаксации tгj(k) И равновесными приведенными плотностями компонент примеси в фильтрующейся жидкости р ( ) и в твердой фазе р о(й) (за счет адсорбции) [c.312]

Подставляя в эти уравнения выражения кинетической и потенциальной энергий, получим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами [c.231]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Широкое использование такой формы кинетического уравнения Больцмана объясняется ее относительной простотой — оно является линейным и только дифференциальным. [c.146]

Этот подход, основанный на изучении линейной реакции системы на внешнее возмущение, оказывается эффективным как в классической, так и в квантовой неравновесной (и равновесной) статистической физике и, в частности, в теории явлений переноса. Таким образом, помимо метода кинетических уравнений кинетические проблемы могут решаться интенсивно развивающимся в последние годы методом функций Грина, [c.164]

Для каждого из этих предельных случаев главным членом разложения функции распределения в ряд является максвелловская функция распределения [1]. В общем случае можно попытаться построить интерполяционные формулы для расчета кинетических коэффициентов, используя их представление для каждого из предельных случаев. Однако гораздо удобнее прибегнуть к решению интерполяционного линейного интегрального уравнения, в этом случае интерполяционные формулы для кинетических коэффициентов получают как естественное следствие решения упомянутого линейного интегрального уравнения. Изложение указанного подхода (обобщенного метода Энскога), предложенного Б. В. Алексеевым, а также методов возмущений для уравнения Больцмана с неупругими столкновениями можно найти в [1]. [c.127]

Распространение трещины происходит в массивном по габаритам объекте, когда развитие процесса разрушения аналогично условиям нагружения с постоянной деформацией. Шаг усталостных бороздок или скорость роста усталостной трещины линейно зависят от длины трещины (см. рис. 10.8). В этом случае изменение шага усталостных бороздок по длине происходит с сохранением второй степени у коэффициента интенсивности напряжения, определяющего нарастание скорости роста усталостной трещины (см. главу 6). Поэтому далее определяем параметры следующего кинетического уравнения [c.563]

Подставляя в уравнения Лагранжа ( I) выражения (2) и (6) для кинетической энергии и для обобщенных сил, получим линейные дифференциальные уравнения движения для малых колебаний склерономной системы [c.260]

Предварительные замечания. Линейные дифференциальные уравнения в состоянии описать процесс колебаний лишь с определенной точностью. Если последняя недостаточна, приходится переходить к более высоким приближениям и удерживать члены более высокой степени, нежели вторая, в разложении по обобщенным координатам функции П (потенциальная энергия системы (17.80)), а также в разложениях по тем же координатам коэффициентов А (17.78) в выражении для кинетической энергии и коэффициентов В (17.79) в функции рассеяния. При этом дифференциальные уравнения, описывающие движение, получаются нелинейными. Причина нелинейности может быть и иного характера, что поясняется ниже. [c.220]

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ СИЛОВОГО ТИПА ПРИ ЛИНЕЙНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ [c.66]

При сложном напряженном состоянии кинетическое уравнение усталостных повреждений по своей форме не отличается от кинетического уравнения повреждений при линейном напряженном состоянии (3.54), поэтому и в случае сложного напряженного состояния показатели экономической эффективности отдельных конструкционных элементов и сохраняют прежнюю форму. [c.228]

Пусть в лабораторных условиях на образцах металла достоверно установлена закономерность роста трещин, заданная в виде кинетического уравнения I = f (а, I). Тогда по зафиксированной в эксперименте зависимости роста трещины I = I (t) из этого кинетического уравнения определяется искомая закономерность изменения напряжений в зоне трещины о = o t). Пусть, например, в расчетах живучести используются зависимости (5.5) и (5.6), а рост трещины в натурной конструкции происходит по линейному [c.225]

Используя принцип линейного суммирования повреждений, запишем кинетическое уравнение для поврежденности в виде [c.137]

В работе Л. Д1. Качанова эта задача решалась в предположении, что коэффициент А в кинетическом уравнении (6.34) является линейной функцией концентрации диффундирующего вещества. Применение энтропийного критерия длительной прочности не требует каких бы то ни было дополнительных гипотез, и в этом одно из существенных преимуществ этого критерия по сравнению с другими. [c.222]

Теперь не составляет труда получить замкнутое кинетическое уравнение для усредненной матрицы плотности g t) в линейном приближении по концентрации примесей. Сначала, используя соотношение [c.279]

Вообще говоря, это кинетическое уравнение включает эффекты памяти, но в линейном приближении по концентрации примесей его можно записать как марковское. В самом деле, интеграл столкновений уже имеет множитель rii и, следовательно, зависимость матрицы g t — T) от г описывается уравнением нулевого порядка (4.2.81). Поэтому exp irL f t) и уравнение (4.2.82) принимает вид [c.279]

Теперь мы хотим решить уравнение (4Б.8) и найти зависимость функции распределения /(р) от поля. Однако мы сталкиваемся с новой проблемой. Дело в том, что в изолированной электронно-примесной системе, находящейся во внешнем электрическом поле, не может установиться стационарное состояние из-за выделения джоулева тепла. В реальном кристалле энергия, получаемая электронами от поля, поглощается затем термостатом (атомами кристаллической решетки), но при выводе кинетического уравнения взаимодействие с термостатом не учитывалось. Поэтому физический смысл решения кинетического уравнения (4Б.8) и возможность его использования для вычисления проводимости вовсе не очевидны. Так как джоулево тепло пропорционально квадрату напряженности электрического поля, то фактически уравнение (4Б.8) применимо лишь для вычисления линейной реакции электронов на электрическое поле. [c.331]

Хотя мы получили точные уравнения для параметров отклика и точные выражения для поправок к средним значениям динамических переменных, следует отметить, что успех применения всего изложенного формализма к конкретным задачам в значительной степени зависит от удачного выбора базисным динамических переменных Р . Далее мы покажем, что все наборы базисных переменных оказываются эквивалентными, пока мы имеем дело с точными формулами линейной реакции. Однако это не так, если корреляционные функции вычисляются приближенно, скажем, методами теории возмущений. Как правило, чем меньше динамических переменных включено в базисный набор, тем выше порядок приближения, который приходится учитывать. Ситуация здесь во многом аналогична той, которая встречается в вариационном методе решения кинетического уравнения Больцмана [78]. Интересно, что для решения уравнений линейной реакции также можно сформулировать вариационный принцип, относящийся к различным наборам базисных переменных [68]. Этот вопрос обсуждается в приложении 5А. [c.344]

При обсуждении формализма функций памяти мы отметили, что в рамках теории линейной реакции уравнения (5.3.16) и (5.3.18) являются точными и, кроме того, они справедливы для произвольного набора базисных динамических переменных. Мы теперь применим эти уравнения к анализу линейных кинетических и гидродинамических процессов. Хотя по своей сути формализм функций памяти предназначен лишь для исследования состояний, которые близки к тепловому равновесию, в этой области он имеет преимущества перед стандартной кинетической теорией и гидродинамикой. Во-первых, многие аспекты теории переноса удается исследовать на строгом уровне, в отличие от сильно неравновесных ситуаций, где приходится использовать разложения по малой плотности (в кинетической теории) или по градиентам (в гидродинамике). Во-вторых, функции памяти, через которые выражаются линеаризованные интегралы столкновений и коэффициенты переноса, можно, в принципе, вычислить методами равновесной статистической механики. [c.386]

Из (7.2.67) ясно, что — линейный оператор и = Рдг. Таким образом, основное кинетическое уравнение для рассматриваемой системы можно получить непосредственно из уравнения (7.2.4), если положить ( ) = (р ,..., Рдг, ) и Р = Рдг. Нужно также учесть, что в данном случае L — классический Д/ -частичный оператор Лиувилля дг, действие которого на произвольную фазовую функцию. .., Ждг) выражается через скобку Пуассона с гамильтонианом [c.115]

Для скорости переходов примесных компопент между нефтью, водой и твердой породой аналогично (8.2.20) примем линейные кинетические уравнения, определяел1ые временами релаксации ifi(ft) и равновесными приведенными плотностями комноиепт примеси в фильтрующейся жидкости Рт) и в твердой е )азе Р1о(л) (за счет адсорбции) [c.312]

Возвратимся вновь к кинетической и потенциальной энергиям, выраженным формулами (11.170) и (11.173). В некоторых простейщих задачах можно непосредственно, без упрощений, выразить кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами. В этих случаях, а также тогда, когда членами высщих порядков малости в выралсениях кинетической и потенциальной энергии можно обоснованно пренебречь, закон движения системы определяется из системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если из некоторых соображений невозможно произвести упрощение выражений кинетической и потенциальной энергий, дифферехчциальные уравнения движения будут системами нелинейных уравнений второго порядка. [c.230]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Естественное развитие линейной механики разрушения состоит в приложении основных ее -концепций к задачам кинетики роста трещин во времени или в зависимости от числа циклов, если речь идет об усталостном разрушении. Важно при этом, что кинетика, линейная или нелинейная, предполагается чисто локальной, все процессы разрушения любой природы предполагаются происходящими в концевой области весьма малых размеров, вне этой области материал упруг. Тогда в любых кинетических уравнениях единственным представителем напряженного состояния будет коэффициент интенсивности. Разделы книг, носвященные усталостному разрушению, например, строятся именно таким способом. [c.12]

Уравнения движения многих механизмов могут быть пред-ставлены линейными дифференциальными уравнениями с nepe-менными коэффициентами. К этим механизмам, в первую очередь, относятся те механизмы, для которых инерционные коэффициенты (приведенные массы и моменты инерции), входящие в выражение кинетической энергии, представлены переменными величинами. Однако переменные коэффициенты в дифференциальном уравнении движения механизма могут появиться и при постоянной приведенной массе, если на механизм действуют силы, зависящие от положения звеньев и от времени. [c.174]

При оксидировании алюминия в растворе силиката натрия в области предпробнвных значений напряженности поля вклад электронной составляющей тока в процесс переноса, заряда составляет более 80 что делает невозможным использование традиционных кинетических уравнений для ионного тока. В связи с этим был выполнен теоретический анализ и экспериментальная проверка применимости уравнений Янга—Цобеля, Шоттки и Пула—Френкеля для описания полного тока и его электронной составляющей на границах раздела фаз ц в объеме оксида. Путем обработки кривых спада тока при вольтотатическом режиме формовки получены линейные характеристики в координатах Ini—VU и показано, что кинетика процесса контролируется контактными явлениями на границах раздела фаз. Энергетический расчет позволил предположить существование блокирующего контакта на границе металл— оксид. [c.238]

Действительно, изменение электродного потенциала Дфс , << <10 мВ, поэтому в данном случае справедливо линейное приближение кинетических уравнений. По этой же причине концентрационная поляризация могла не учитываться и условия опыта соответствовали требованиям методики Стерна [50] для расчета скорости растворения по величине поляризационного сопротивления. [c.67]

Известно, что в результате продолжительного нагружения при максимальном напряжении цикла порядка (0,8-4-0,9) t i в конструкционных сталях обычно наблюдается эффект тренировки, т. е. повышения сопротивления усталости при последующем циклическом нагружении напряжениями, превышающими абсолютные пределы выносливости при соответствующих коэффициентах асимметрии циклов. Ни одно из рассмотренных кинетических уравнений повреждений не может без дополнительных допущений описывать эффект тренировки, так как любое из этих уравнений предполагает, что напряжения могут с течением времени или числа циклов нагружения повреждать, но не упрочнять элемент рассматриваемого материала. Формально явление тренировки можно учесть при ступенчатом режиме циклического нагружения путем введения поправки в формулу линейного суммирования повреждений. Если /-й повреждающий блок циклов следует за таким, при котором Nu-Up и, следовательно, [c.125]

Массив А[1 17], элементами которого являются А[Г при поступлении в первую зону вулканизации, °С А[2 размер сектора изделия вдоль линии теплового потока, м А[3]—линейная скорость поступления профильной заготовки в непрерывный вулканизатор, м/с А[4] — плотность резиновой смеси до начала процесса порообразования, кг/м А[5] — минимальная плотность пористой резины, получаемая для данной партии резиновой смеси, отнесенная к комнатной температуре изделия или образца, кг/м А[6] — параметр А кинетического уравнения (8.14), с А[7] — параметр 6 в том же уравнении, К А[8] — температура начала разложения порообразо-вателя Го, °С в том же уравнении А[9] — порядок процесса а в том же уравнении А[10] — коэффициент расширения пористой резины при нагревании Кр в уравнении (8.15), кг/(мЗ-К) А[11] — коэффициент температуропроводности резины, принимаемый приближенно одинаковым для монолитного и пористого материала, м / А[12] — коэффициент теплопроводности резиновой смеси до начала порообразования, Bt/(m-K) А[13] — А[15] — последовательно увеличивающиеся значения шага по времени АТ], Атг, Атз при интегрировании уравнения теплопроводности, выбираемые программным путем в зависимости от градиента температуры вблизи поверхности изделия, с А[16] — А[17] — два последовательно увеличивающихся значения градиента температуры, разграничивающие выбор шага по времени, причем большему градиенту соответствует выбор меньшего шага. [c.236]

Кинетическая и потенциальная энергии системы имеют такой же вид, как при плоских колебаниях четырехосного грузового ваюна. Из системы дифференциальных уравнений силы Рj выражаются через обобщенные координаты и их производные, которые связаны с прогибами w (л) и неровностями пути т). Так получается система линейных алгебраических уравнений, решив которые определяют значение Pj при каждой частоте Сй . [c.418]

Настоящая глава посвящена взучеввю собственных значений (или спектра) кинетических уравнений. Разумеется, спектр некоторого оператора является чрезвычайно важной характеристикой, которая дает большое количество физической информации (что известно, нагфимер, из квантовой механики). Однако между основным уравнением квантовой механики и кинетическими уравнениями существует серьезное различие, поскольку первое линейно, а последние нелинейны. Поэтому понятие собственных значений для кинетических уравнений, вообще говоря, не определено. [c.85]

Однако вблизи равновесного состояния кинетическое уравнение можно аппроксимировать таюш уравнением эволюции, которое линейно по отклонению от равновесия. Изучение подобного линеаризованного кинетического уравнения позволяет получить достаточно полное представление о процессе эволюции, по крайней мере на заключительном этапе приближения к равновесию. Кроме того, как мы вскоре увидим, линеаризованное кинетическое уравнение дает всю информацию, необходимую для вычисления столь важных величин как коэффициенты переноса. [c.85]

Правая часть этого уравнения определяет линейный интегродиф-ференциальный оператор К. Уравнение (13.1.6) называется линеаризованным кинетическим уравнением, К — линеаризованным оператором столкновений. Изучим некоторые из его свойств. [c.86]

Таким образом, при указанных выше обычных начальных условиях эволюция системы точно описывается субдинамикой в подпространстве Р (t). Этот результат очень важен, так как он свидетельствует о том, что расчет механических коэффициентов переноса как в линейном, так и в нелинейном режимах производится без каких-либо приближений на базе обобщенного кинетического уравнения (17.8.26). Такое свойство, возможно, представляет собой наилучшую иллюстрацию п. Е нашей программы, предложенной в разд. 16.2. [c.216]

Первое основательное исследование механики прибора, опубликованное за рубежом (1932), принадлежит И. Геккелеру В своей работе автор пользуется прецессионной теорией. С самого начала. он полагает, что сфера не поворачивается вокруг вектора суммарного кинетического момента двух гироскопов и модуль его остается постоянным, углы а и Р отклонения северного диаметра сферы от плоскости меридиана и от горизонтальной плоскости считает малыми и, кроме того, принимает во внимание малость направляющего момента, отнесенного к единице угла а, сравнительно со статическим моментом маятника. Вместе с углами а и р в рассмотрение вводится еще угол 6 возвышения линии, соединяющей уровни жидкости в сообщающихся сосудах, над осью фигуры (т, е. над вектором сзшмарного кинетического момента) гироскопов. В результате получаются три линейных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами для трех независимых переменных а, р, 0. Решая эти уравнения, автор исследует девиации компаса, обусловленные движением основания, сначала в отсутствие демпфирования, а затем и нри наличии его. [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...