Классическое уравнение Лиувилля

Уравнение для оператора плотности (11.36) называется уравнением Неймана и является основным уравнением статистической физики квантовых систем. Это уравнение аналогично классическому уравнению Лиувилля (11.8) для фазовой плотности распределения p(q, р, О- [c.194]

Классическое уравнение Лиувилля. В формулировке и доказательстве теоремы Лиувилля нигде не привлекаются какие-либо вероятностные соображения. Если теперь рассмотреть эволюцию ансамбля, представляющего макроскопическое состояние системы, то можно дать другую формулировку теорему Лиувилля, более удобную в статистической механике. [c.17]

Учитывая теперь уравнения Гамильтона (1.1.1), мы приходим к классическому уравнению Лиувилля [c.17]

Отметим, что, сравнивая уравнение (51.19) с классическим уравнением Лиувилля (44.10), нетрудно видеть, что левая часть уравнения (51.19) имеет классический вид. Напротив, правая часть этого уравнения, возникающая благодаря учету взаимодействия частиц и содержащая явно постоянную Планка к, обуслов- [c.210]

В этом смысле слагаемые в правой части уравнения (3.12) определяют квантово-механические поправки к классическому уравнению Лиувилля. [c.99]

Возможно ли, что временная эволюция квантовых состояний всё ещё управляется классической механикой даже при условии Н О Действительно, если рассматривается эволюция в потенциале, содержащем только слагаемые не выше второго порядка по координате, классическое уравнение Лиувилля тождественно квантово-механиче-скому уравнению движения для функции Вигнера. В этом случае каждая точка в фазовом пространстве функции Вигнера движется в соответствии с классическими уравнениями движения. Квантовомеханические свойства системы спрятаны в начальном условии. В то время как в классической механике допускается любая нормируемая неотрицательная функция распределения, в квантовой механике это уже не так. Класс функций, которые могут представлять квантовое состояние системы, определяется законами квантовой механики. [c.99]

Во многих учебниках по квантовой механике утверждается, что гармонический осциллятор является классической системой. Это аргументируется тем, что, как мы видели в предыдущем разделе, в случае квадратичного потенциала уравнение движения для функции Вигнера сводится к классическому уравнению Лиувилля. Однако собственные энергетические состояния зависят от постоянной Планка и являются [c.108]

Обратимся к уравнению на собственные значения для функции Вигнера, которое превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение благодаря симметрии, накладываемой классическим уравнением Лиувилля. С помощью соотнощений [c.110]

Из уравнения движения (3.12) мы знаем, что в случае гармонического осциллятора функция Вигнера эволюционирует в соответствии с классическим уравнением Лиувилля. Поэтому временная эволюция функции Вигнера в квадратичном потенциале может быть записана как [c.144]

Функция Вигнера в гармоническом приближении. Оставаясь в рамках гармонического приближения раздела 20.3.1, мы видим, что в сумму, стоящую в правой части уравнения движения (20.11) для вносит вклад только один член с / = О, поскольку д П/дх = О при всех п > 2, и, следовательно, приходим к классическому уравнению Лиувилля [c.646]

Вернемся к общим идеям 2 построения кинетических уравнений, исходя из классического уравнения Лиувилля для ЛГ-частичной функции распределения [c.298]

Вывод выражений для кинетических коэффициентов через временные корреляционные функции дан в лекциях Кирквуда, который исходит из классического уравнения Лиувилля и законов сохранения для динамических переменных (числа частиц, импульса и энергии) и использует некоторое усреднение по времени. Со- [c.7]

Основным уравнением статистической теории систем многих классических частиц является динамическое уравнение Лиувилля для фазовой плотности р (Яь рь. .., Ям> Р х, () [c.96]

Для этого обратимся прежде всего к основному уравнению статистической физики классических систем — уравнению Лиувилля (11.8а). Из него получаем [c.195]

Это четная часть уравнения, отвечающая производству энтропии . Подведем итоги. Мы получили новую форму уравнения для систем, рассматриваемых на микроскопическом уровне (подобного уравнению Лиувилля классической или квантовой механики), имеющего в явной форме член, который можно рассматривать как функцию Ляпунова. Иными словами, уравнение [c.151]

Как и всякое уравнение классической механики, уравнение Лиувилля обратимо во времени. Это значит, что при замене / на —/ оно остается неизменным. Следовательно, наряду с прямым движением экземпляров ансамбля, столь же возможным при соответствующем изменении начальных условий является и обращенное движение. [c.475]

Действительно, как мы уже упоминали в 86, уравнение Лиувилля, эквивалентное уравнениям классической механики для системы N материальных точек, строго обратимо, т. е. если Ем (г, V, t) есть решение этого уравнения [c.544]

В третьей части этой книги мы постараемся понять процесс эволюции во времени большой системы молекул. В принципе, вероятно, возможно рассмотреть поставленную задачу решив уравнение Лиувилля при надлежащем выборе начальных и граничных условий. Детальный анализ такого решения должен выявить все особенности, наблюдаемые в макроскопической физике. Сказанное основано на следующей фундаментальной идее если задана некоторая система, описываемая в момент времени f = О произвольным распределением ансамбля, то ее эволюцию во все последующие времена можно объяснить посредством точных законов классической или квантовой механики. Иными словами, мы утверждаем, что для понимания кажущегося противоречия между поведением большой совокупности молекул и основными законами движения не требуется никакой качественной модификации законов механики. [c.9]

Появление этих операторов обусловливает основное различие между классическими и квантовомеханическими системами. Кроме того, будем считать, что, как и в классическом случае, выполняются условия нормировки (14.2.10) и (14.2.11). Вектор распределения f (t) является решением уравнения Лиувилля [c.134]

Обращение времени в классической статистической механике. Мы хотим теперь обсудить одно важное свойство уравнения Лиувилля, связанное с симметрией микроскопических уравнений движения по отношению к обращению времени. Но сначала мы напомним, как вводится операция обращения времени в классической механике. [c.20]

Уравнение (1.2.65) называется также уравнением фон Неймана. Не желая никоим образом умалять заслуг фон Неймана в создании основ квантовой статистической механики, мы все же будем чаще использовать название квантовое уравнение Лиувилля . Это более удобно для параллельного рассмотрения квантовых и классических систем. [c.37]

Из квантового уравнения Лиувилля, как и из его классического аналога, можно вывести уравнения движения для средних значений динамических переменных. Пусть динамической переменной соответствует оператор который может явно зависеть от времени. Дифференцируя равенство [c.39]

Обращение времени в квантовой статистической механике. Квантовое уравнение Лиувилля, как и классическое, обладает свойством симметрии по отношению к обращению времени. Это свойство является следствием аналогичной симметрии основного уравнения квантовой механики — уравнения Шредингера. Поэтому прежде чем перейти непосредственно к обсуждению уравнения Лиувилля кратко напомним, как вводится операция обращения времени в квантовой механике. [c.39]

Итак, мы выяснили, что квантовое уравнение Лиувилля, как и классическое уравнение, инвариантно при обращении времени и, следовательно, оно может описывать только обратимую эволюцию квантовых статистических ансамблей. Дальше мы покажем, однако, что решение квантового уравнения Лиувилля неустойчиво по отношению к сколь угодно слабому возмущению, нарушающему симметрию. Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для неравновесной статистической механики. Из него следует, в частности, что квантовое уравнение Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени уже может иметь решения, которые описывают необратимую эволюцию макроскопических систем. Мы вернемся к этому важному вопросу в главе 2. [c.44]

Проблема выбора решения уравнения Лиувилля возникает даже в случае равновесного состояния. Так как равновесное статистическое распределение не зависит от времени, классическое (1.1.19) и квантовое (1.2.66) уравнения Лиувилля указывают лишь на то, что любое равновесное распределение eq должно удовлетворять соотношению [c.52]

В классическом случае упорядоченный по времени оператор эволюции возникает при решении уравнения Лиувилля [c.74]

Наш подход к теории неравновесных процессов основан на следующем свойстве макроскопических систем, тесно связанном с неустойчивостью классических фазовых траекторий X t) = q t) p t)) и квантовых состояний Ф( )) если нас интересует поведение системы на не слишком малых интервалах времени, то микроскопические детали ее начального состояния становятся несущественными и количество параметров, необходимых для описания системы, уменьшается. Эта идея сокращенного описания многочастичных систем была впервые высказана Боголюбовым и использована им для вывода кинетических уравнений из уравнения Лиувилля [7]. [c.79]

Обобщенные уравнения переноса. Покажем, как с помощью уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени можно вывести систему уравнений эволюции для наблюдаемых РтУ Мы воспользуемся формализмом, основанным на операторе Лиувилля, так что все дальнейшие рассуждения будут относиться в равной степени к квантовым и к классическим системам, если интерпретировать статистическое распределение q и операцию Тг соответствующим образом. [c.108]

Метод построения квантовых и классических неравновесных ансамблей на основе запаздывающих решений уравнений Лиувилля (2.3.11) и (2.3.69), известен как метод неравновесного статистического оператора. В отношении классических систем было бы более естественно говорить о методе неравновесной функции распределения , но и в этом случае мы предпочитаем употреблять название, которое уже давно используется в литературе. В зависимости от выбора базисных переменных, метод неравновесного [c.118]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Приступим теперь к выводу уравнений движения для приведенных матриц плотности. Мы будем исходить из квантового уравнения Лиувилля (4.1.3), в котором бесконечно малый источник определяет граничное условие для неравновесного статистического оператора ). Как было показано в главе 3, выбор квазиравновесного распределения Qq t) является определяющим при решении цепочки уравнений для классических функций распределения. Мы пока отложим обсуждение вопроса о выборе Qq t) в квантовом случае, ограничившись лишь замечанием, что квазиравновесный статистический оператор должен удовлетворять условию самосогласования для одночастичной матрицы плотности [c.267]

Ясно, что кинетическая теория, основанная на релятивистском (классическом или квантовом) уравнении Больцмана, непригодна для описания неравновесных процессов в произвольных квантово-полевых системах, поэтому естественно обратиться к более общим методам статистических ансамблей и попытаться вывести уравнения переноса для таких систем, исходя из релятивистского уравнения Лиувилля. На этом пути уже достигнут определенный прогресс. Метод неравновесного статистического оператора, изложенный в настоящей книге, применялся в некоторых задачах [13-15, 34, 88]). От- [c.282]

ОБОСНОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) 44. Уравнение Лиувилля [c.174]

После того как математики осознали невозможность решения в замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому, теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx = О Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов [207]. В 1887 г. появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал- [c.15]

Феноменологический вывод. Уравнение переноса, как и другие кинетические уравнения, можно получить дедуктивно из классических уравнений Максвелла или квантовомеханического уравнения Лиувилля. Мы, следуя книгам по теории переноса [44,70], дадим простой вывод, который приводит к правильному результату, хотя и не позволяет оценить область применимости полученного уравнения. [c.14]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

Это уравнение заменяет известное уравнение Лиувилля, справедливое в классической механике, В правой части ур-1ния (1П.2Л6) содержится коммутатор оператора р и [гамильтониана Н. Оператор L(t) представляет собой квантовые скобки hya oiHa, рассматриваемые как оператор, действующий на статистический оператор р. Формальное решение ур- ия (П.2. 15) имеет вид (если Н и, следовательно, L е зависят от времени) [c.203]

Последнее уравнение означает, что функции распределения постоянны вдоль прямолинейных траекторий невзаимодействуюшдх между собой частиц такое утверждение находится в полном соответствии с классической теорией Лиувилля. [c.146]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Итак, задача сведена к решению интегрального уравнения (5.16) относительно неизвестной функции А (и). Это уравнение является классическим уравнением Фредгольма второго рода с симметризуемым ядром. Можио показать, что соответствуюш ий ряд Лиувилля — Неймана сходится для любой данной положительной величины б (Черчиньяни [7]). [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...