Интегрирование уравнений движения (равновесия)

Интегрирование уравнений движения (равновесия) [c.183]

Рис. 6.1. Пошаговое интегрирование уравнений движения (равновесия) без применения итерационной процедуры уточнения решения

Решение общей задачи теории упругости, а именно, интегрирование уравнений движения или равновесия при определенных граничных условиях, т. е. при заданных на поверхности тела напряжениях или смещениях, получено только для тел очень простой формы (например, для шара и эллипсоида). Инженер имеет дело с телами сложной формы (как, например, коленчатые валы) и вынужден обычно пользоваться приближенными решениями, которые мы дали для балок и пластинок. [c.480]

Задача о колебаниях диссипативной системы с двумя степенями свободы около положения равновесия рассмотрена в книге Уиттекера ) непосредственным интегрированием уравнений движения с учетом диссипативных сил. При вычислении частот Уиттекер пренебрег слагаемыми, пропорциональными, квадратам коэффициентов диссипативной функции и получил выражения которые совпадают с приве- [c.580]

Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения записать в форме уравнений равновесия. Этим, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как при этом лишь упрощается составление уравнений движения, задача же их интегрирования, вообще говоря, сохраняется. [c.361]

Принципом Даламбера задача динамики лишь формально сводится к задаче о равновесии сил, т. е. к задаче статики. Мы подчеркиваем словом формально , что уравнения в форме (20.5) остаются уравнениями движения и для своего полного решения требуют, вообще говоря, интегрирования. [c.364]

Полное интегрирование рассматриваемой системы представляет трудную задачу, и мы не будем ею заниматься. Мы ограничимся в нашем рассмотрении бесконечно малыми колебаниями маятника вокруг положения устойчивого равновесия. Покажем сначала, что при этом можно привести уравнения движения к линейной форме и найти их общее решение. [c.150]

В примерах 2 и 3 устойчивость положения равновесия устанавливалась с помощью конечных уравнений, полученных путем интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Эти конечные уравнения движения давали нам зависимость отклонений и обобщенных скоростей от времени t и начальных данных д°, ql (г = 1, л). В более сложных (в частности, нелинейных) задачах определение этих конечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно. Поэтому представляют интерес критерии устойчивости положения равновесия, не требующие предварительного интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. [c.192]

Они позволяют точно или приближенно рассчитывать напряженно-деформированное состояние и деформирующие силы, минуя, как и в методе линий скольжения и характеристик, интегрирование дифференциальных уравнений движения и равновесия в частных производных. Это достигается использованием экстремальных и вариационных принципов, которые основываются на законе сохранения энергии. Вариационные методы позволяют решать наиболее сложные задачи в общей их постановке с минимальным числом упрощений и допущений. Эти методы в настоящее время интенсивно развиваются и совершенствуются. Их успех обусловлен также широким внедрением в науку и производство современных быстродействующих электронных вычислительных машин. [c.294]

Наиболее примитивный подход к исследованию движения системы, состоящей из п материальных точек, будет, очевидно, сводиться к рассмотрению движений каждой отдельной точки системы. При таком подходе должны быть определены все силы, действующие на каждую точку системы, в том числе и все силы взаимодействия между точками. Определяя теперь ускорения каждой точки в соответствии с законом Ньютона, получим для каждой точки три скалярных дифференциальных уравнения движения второго порядка или Зп дифференциальных уравнений движения для всей системы. Дальнейшее исследование сведется в первую очередь к исключению лишних неизвестных и затем к интегрированию уравнений. Зачастую оказывается, что движение определяется меньшим числом параметров, чем имеется уравнений. Поэтому возникает проблема — отыскать такие методы решения задач, которые бы приводили к уравнениям, не содержащим лишних параметров и сразу дающим представление о движении механической системы. Первая такая попытка дать общие методы принадлежит швейцарскому математику и механику Якову Бернулли (1654—1705), который, изучая движение маятника, пытался сводить задачу о движении к задаче о равновесии. Дальнейшее развитие принципа принадлежит Даламберу. [c.299]

Подготовительный период рассчитывается по уравнениям (187) и (188) или (190) и (191) при подстановке в них л" Хо (X = 0) и л = О (X = 0). При этом уравнение движения поршня (189) или (192) теряет физический смысл. Начальные параметры интегрирования подготовительного периода t = О, х = х , р = ра или т = О, X = О, Y = Ya- Конечные параметры этого периода определяются при совместном решении указанных выше уравнений с уравнением равновесия, которое может быть получено 132 [c.132]

Уравнение движения (329) при интегрировании в этом периоде теряет физический смысл. Интегрирование проводится до момента, соответствующего равновесию, при котором давление в полости управления может быть определено из уравнения (329) после подстановки в него X = О, X = О, 2з = 1 [c.198]

Энергетические соотношения. Процесс интегрирования уравнения (2.58), который привел к уравнению фазовой траектории (2.59), тесно связан с энергией колеблющейся системы. Для рассматриваемых здесь недемпфированных осцилляторов имеет место закон сохранения энергии, который гласит, что для механического осциллятора сумма кинетической и потенциальной энергии является постоянной величиной. Это легко установить из уравнения движения, которое мы будем рассматривать не в упрощенной форме (2.51), а в виде условия равновесия сил, например в виде (2.4). Умножив это уравнение почленно на X и проинтегрировав, получим [c.49]

Способы определения компонентов тензора напряжений ао (способы разделения напряжений ). Широко применяемые в статической фотоупругости методы разделения напряжений, основанные на численном интегрировании дифференциальных уравнений равновесия, не могут быть применены в динамической задаче в связи с трудностями получения поля изоклин и определения правой части дифференциальных уравнений движения, в которую входят ускорения и(х 4), и(у, 1). [c.204]

Состояние равновесия К= АГ. устойчиво, если Ф (АГ.) <0, и неустойчив если Ф (АГ) > 0. Любое другое движение К = К () определяется непосред ственным интегрированием уравнения (8.11) [c.178]

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

В предлагаемом курсе основное место отведено математической постановке задач, анализу дифференциальных уравнений равновесия и движения и их решению, общим и частным методам их интегрирования. Некоторые конкретные задачи, имеющие принципиальное значение, проиллюстрированы числовыми примерами. [c.4]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

В ЭТИХ уравнениях и в их интегрировании и заключается, таким образом, вся теория гидродинамики. Даламбер для их нахождения сначала воспользовался несколько усложненным методом, позднее он предложил более простой метод однако этот метод, основанный на свойственных жидкостям законах равновесия, превращает гидродинамику в науку, обособленную от динамики твердых тел. Произведенное нами в первой части настоящего труда объединение в одной и той же формуле всех законов равновесия тел как твердых, так и жидких и сделанное нами применение этой формулы к законам движения, естественно, приводят нас к тому, чтобы точно так же объединить динамику и гидродинамику, как ветви единого принципа и как выводы из единой общей формулы. [c.308]

Дальнейшее движение поршня будет определяться уравнением (10. 10) со знаком минус перед ф и постоянные интегрирования определятся аналогичным путем. Таким образом, поршень маневрового тормоза совершает колебания с амплитудой, уменьшающейся в арифметической прогрессии. Это явление всегда имеет место, когда колебания происходят при наличии постоянных сил сопротивления (трения). Так как положение равновесия будет соответствовать перемещению, равному h, то отклонения от этого положения в рассмотренных случаях будут [c.352]

Если принять за основные функции неизвестные перемещения, то решение задачи теории упругости можно свести к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях. Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равновесия (движения) (2.22) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука (2.24), а затем с помощью геометрических уравнений Коши (2.23) представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях [c.74]

Вследствие внутреннего трения скорость Wx отдельных слоев жидкости, движущихся параллельно стенкам, является функцией их расстояния X от этих стенок. Уравнение (48), выражающее эту функцию, получается из условия равновесия силы, обусловленной внутренним трением, которая тормозит движение слоя жидкости, и силы гидростатического давления (напор Я), которая действует ускоряющим образом на этот же слой жидкости. Равенство этих сил при условии ламинарного потока и приводит к уравнению (48). После интегрирования этого уравнения получаем соотношение для скорости слоя жидкости на расстоянии X от стенки при ширине или раскрытия щели, равных 2р [c.108]

Представленное уравнением (2) колебательное движение называется гармоническим движением. Для определения постоянных интегрирования и нужно рассмотреть начальные условия. Положим, например, что в начальный момент (/—0) груз W имеет перемещение Xq от положения равновесия и что начальная скорость груза равна х . Подставляя t = 0 в уравнение (2), получим [c.11]

VI, (рис.). При возрастании темп-ры максимум М. р. (значение иь) смещается к более высоким темп-рам. М. р. не зависит от вз-ствия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно классич. описание. Оно справедливо также и для броуновских ч-ц (см. Броуновское движение), взвешенных в жидкости или газе. М. р. может быть получено из канонического распределения Гиббса для классич. системы интегрированием по всем координатам ч-ц, т. к. в этом случае распределение по скоростям не зависит от распределения по импульсам. М. р. есть решение кинетического уравнения Больцмана для частного случая статистич. равновесия. [c.389]

Для получения двзгмерных уравнений тонких оболочек часто используются пo oiбы упрощения общих нелинейных уравнений равновесия или движения путем отбрасывания в них некоторых членов ввиду их малости или приближенного интегрирования уравнений движения по одной из координат, например толщине. Однако не всегда эти способы являются корректными, так как может быть нарушено свойство энергетической согласованности модели, т. е. закона сохранения механической мощности. [c.34]

Мы будем решать задачу методом епосредственного интегрирования по фазам уравнений движения с последующ лм подбором постоянных ингегрирования из условия непрерывносги процесса. В работе выводятся формулы процесса регулирования, до.чазы-вается (для возмущений типа скачка нагрузки) неустойчивость положения равновесия системы, устанавливается возможность существования периодических двилсений и доказывается их устойчивость, приводятся графики параметров автоколебаний. [c.113]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Следует быть осторожными и не относить к теореме Колемана — Нолла о замедлении результаты более сильные, чем те, которые они сформулировали и доказали. Эта теорема дает приближенные определяющие соотношения, а не приближенные ре шения конкретных граничных задач или задач с начальными условиями. Решение конкретных задач предполагает дифференцирование определяющего соотношения и затем интегрирование получающихся уравнений движения или равновесия -для определения деформации х. соответствующей конкретным силам, приложенным к конкретному телу. Если две функции отличаются на малую величину, то их производные могут отли- [c.393]

Помимо равновесий (3.1)-(3.7) у системы (2.5) могут существовать равновесия, которые не лежат на инвариантных плоскостях, т.е. равновесия общего положения [3, 4]. Они образуют. /-связанные пары. Каждому из них соответствует квазиперио-дическое двухчастотное решение амплитудной системы (2.4), поскольку интегрирование уравнений для фаз /(,, / , /2 дает, вообще говоря, три частоты, но эти частоты не являются независимыми, так как для равновесия моторной подсистемы фазовый инвариант Р = 2уо + Vj/, - У2 = onst. В итоге получается, что равновесию общего положения соответствует квазипериодическое двухчастотное решение как амплитудных уравнений (2.4), так и исходных уравнений движения жидкости (1.1)-(1.3). [c.102]

Равновесие и движение бесконечно тонкой, первоначально плоской, изотропной пластинки. Расширение малой части пластинки. Потенциал сил, производимых расширением. Бесконечно малая деформация. Равновесие при предельных пере-меьцениях. Дифференциальные уравнения поперечных колебаний свободной пластинки. Интегрирование последних для круглой пластинки. Поперечные колебания напряженной мембраны) [c.371]

Проверить, что всякому возможному положению Л1 равновесия в этом плоском движении соответствует в пространственной задаче меростатическое решение, а именно круговое равномерное движение с угловой скоростью с/р2, где р есть постоянная величина координаты р точки М (радиус круговой траектории). Постоянная интегрирования - с связана с Ро уравнением с° — — pje,, где в, обозначает величину dUjd в точке М. [c.413]

Первый мемуар Пуассона зб) по рассматриваемому вопросу был прочитан Парижской академии в апреле 1828 г. Этот мемуар интересен заключающимися в нем многочисленными приложениями общей теории к частным задачам. При рассмотрении вопроса об общих уравнениях Пуассон так же, как и Коши, начинает с вывода уравнений равновесия, выраженных в компонентах напряжения, и вычисляет усилие на какой-либо площадке, происходящее от интрамолекулярных сил. Формулу, выражающие напряжения через деформации, содержат суммы, которые берутся по всем молекулам , находящимся в области действия данной молекулы . Пуассон не находит возможным заменить все суммы интегралами и считает, что это может быть сделано лишь при суммировании по телесному углу вокруг данной молекулы , ро не при суммировании по величине,, расстояния, отсчитываемого от нее. Уравнения равновесия и движения, изотропного упругого твердого тела, которые получаются таким образом, не отличаются от уравнений Навье. Принцип, по которому суммирования могут быть заменены интегрированием, разъяснен Коши зз) следующим образом для, объема, содержащего очень много молекул и имеющего малые размеры по сравнению с радиусом той сферы, в которой проявляется заметное молекулярное действие, число молекул можно считать пропорциональным объему если теперь мы оставим в стороне молёкулы находящиеся в непосредственной близости к рассматриваемой молекуле, то действие всех молекул, заключенных в одном из малых объемов, о которых была речь, эквивалентно силе, ухиния действия которой проходит через центр тжкести объема, а величина пропорциональна этому объему и некоторой функции от расстояния между центром тяжести объема и данной рассматриваемой молекулой. Действие более удаленных молекул именуется регулярным , а действие более близких— нерегулярным . Пуассон считал, что нерегулярным действием более [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...