ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрирование уравнений движения (равновесия) из "Нелинейное деформирование твердых тел " Определим, какую из формулировок (6.1), (6.2) предпочесть при решении задач. [c.183] Недостаток формулировки уравнений (6.3) по сравнению с (6.1) заключается в том, что высшие производные по времени в (6.3) имеют третий порядок, а в (6.1) — второй порядок. [c.184] 5) следует, что уравнения (6.4) представляют собой дискретные по времени уравнения пошаговой процедуры явной схемы Эйлера (первого порядка точности) интегрирования системы (6.2). Для интегриршания по времени уравнений (6.2) можно использовать другие схемы, более высокого порядка точности, чем схема Эйлера. Однако такие схемы требуют более высокой гладкости решения, не всегда достижимой при решении прикладных задач. В качестве примеров задач, в которых вектор перемещений не обладает непрерывной дифференцируемостью по времени можно привести задачи упругопластического деформирования, задачи с бифуркацией решений и т. д. Поэтому лучше использовать схему Эйлера с уравнениями (6.4) с последующим уточнением решения при помощи некоторой итерационной процедуры. [c.184] Из проведенного анализа следует, что в общем случае выгоднее использовать уравнения в приращениях (6.1), (6.4) для решения общего класса геометрически и физически нелинейных задач МДТТ. В настоящем разделе рассматриваются процедуры решения этих уравнений с их последующим итерационным уточнением. [c.184] Таким образом, после применения схемы Ньюмарка к уравнениям (6.1) получается система алгебраических уравнений (6.7), которая имеет тот же вид, что и уравнения квазистатического деформирования (6.4). [c.185] Матрица К называется эффективной касательной матрицей жесткости, а вектор — эффективным вектором внешних сил [49]. [c.185] Численную процедуру пошагового решения уравнений статики (6.4) или динамики (6.7) для задачи с одной степенью свободы иллюстрирует рис. 6.1. Недостатком такой процедуры интегрирования уравнений является то, что при относительно большом шаге Д численное решение может уйти достаточно далеко от истинного. Для исправления этой ситуации требуется применять итерационные процедуры уточнения решения. [c.186] Итерационная процедура заканчивается, как только выполняются некоторые критерии сходимости итерационного процесса и вектор становится малой величиной. [c.187] Схема процесса уточнения решения методом Ньютона — Рафсона представлена на рис. 6.2. [c.188] Недостатком итерационной процедуры стандартного метода Ньютона — Рафсона является то, что на всех итерациях при решении системы уравнений (6.9) надо формировать матрицу t+At (i-i) проводить ее факторизгщию. В модифицированном методе Ньютона — Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица жесткости не пересчитывается на каждой итерации. Вместо этого в уравнениях вида (6.9) на каждой итерации используется одна и та же матрица К (т обозначает некоторый момент времени на предыдущих шагах, например т = t или г = 0). Недостатками итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона являются ее более медленная сходимость и более частая расходимость по сравнению с процедурой стандартного метода Ньютона — Рафсона. [c.188] Графическая иллюстрация применения итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона для задачи с одной степенью свободы приведена на рис. 6.3. [c.189] В заключение отметим, что для всех итерационных процедур можно использовать линейный поиск [49] для ускорения сходимости. [c.191] Рассмотрим несколько критериев окончания итерационного процесса [49]. Контролировать сходимость можно одновременно всеми критериями или выборочно некоторыми из них. [c.191] Вьшолнение этого критерия соответствует тому, что вектор несбалансированных сил становится малым, т. е. внутренние силы почти уравновешивают внешние. [c.192] Выполнение этого критерия означает, что приращение внутренней энергии на итерациях мало по сравнению с начальным приращением энергии (с момента времени t до момента времени t + At). [c.192] В практических расчетах через несколько итераций после начала процесса надо проверить вычисления на расходимость решения. Проверкой служит выполнение критерия (6.13) или (6.14) с ер = или е = I соответственно. Если этого не происходит (итерационный процесс ргюходится), надо или уменьшить шаг по времени (параметру деформирования) или воспользоваться другой итерационной процедурой. [c.193] Вернуться к основной статье